Ряды_Доказательства

1)Відсутність рівномірної збіжності добутку для загального випадку

Розглянемо приклад: , , , . За побудовою очевидно, що , . Функція , . Тепер знайдемо при , що й треба було показати.

2) Властивості СР – диференційованість

3) Властивості СР – інтегрованість

4) Властивості СР – неперервність

Cлiдує з рівномірної збіжності СР в крузі

5) Єдиність рівномірної границі ФП

Якщо на множині , то її рівномірна границя єдина.

Доведення: Якщо на множині , то на також ,

а поточкова границя f – єдина.

6) Збіжність ряду Степеневий ряд збіжний, якщо , та розбіжний якщо .

Доведення. Якщо , то розбіжність цього ряду слідує з необхідної умови збіжності ряду, тобто загальний член ряду не прямує до нуля. Нехай тепер , використаємо теорему, розглянемо ряд , а це є геометрична прогресія із знаменником . Цей ряд збіжний при , тобто при , та розбіжний в іншому випадку.

7) Збіжність степенево-логарифмічного ряду

Ряд збіжний при , та розбіжний при .

Знову розглянемо рівнозбіжний ряд, про який йдеться у відповідній теоремі. , а далі залишається скористатися збiжнiстю

8) Зв'язок абсолютної та простої збіжності ЧР

Якщо ряд абсолютно збіжний, то він є збіжним

Доведення. Запишемо критерій Коші збіжності ряду : : . Але звідси слідує нерівність , а тому для ряду виконується критерій Коші, а тому цей ряд збіжний.

9) Зв'язок збіжності ЧР та його -залишку

Ряд збігається чи розбігається одночасно з своїм залишком. Якщо ряд збігається, то його залишок збігається до нуля.

Доведення. Якщо ряд збіжний і його сума , тоді , де послідовність як раз і є залишком цього ряду. З відомої теореми з теорії послідовностей слідує, що . Аналогічно розглядається випадок розбіжного ряду.

Наслідок доведено.

10) Зв'язок поточкової та рівномірної збіжності ФП

Якщо на множині , то на також .

Доведення. З означення рівномірної збіжності можемо записати оцінку: , з якої все слідує.

11) Інтегрування неперервної ФП

Якщо ФП на і , то і цю ФП можна інтегрувати почленно, тобто

.

Доведення. Умова безпосередньо слідує з умови .

З умови слідує, що : . З теореми 1 , а далі легко одержимо:

12) Критерій збіжності знакосталого ряду

Ряд збiжний  постiдовнiсть його часткових сум - обмежена.

Доведення:

Якщо х_n – додатня , то монотонно зростаюча.

збiжний  існує і є скінченною границя послідовності часткових сум ряду  - обмежена.

13) Критерій Коші для ЧР

Ряд збігається тоді і тільки тоді, коли : .

Доведення: Запишемо критерій Кошi для S_n.

: |S_n+p – S_n| = |x_n+1 + … + x_n+p | =

14)Критерій Коші рівномірної збіжності ФП

ФП рівномірно збіжна тоді і тільки тоді, коли вона рівномірно фундаментальна

Доведення. Необхідність. : необхідність доведена.

Достатність. маємо оцінку , яка виконується для всіх натуральних . З цього слідує фундаментальність числової послідовності при довільному фіксованому . А тому існує , яку ми позначимо . Виберемо довільне , оскільки - рівномірно фундаментальна, то : в останній нерівності перейдемо до границі при . Дістанемо, що виконується нерівність . Перейдемо до супремуму по одержимо, що , звідки і слідує, що .

Теорема доведена

15) Лінійність збіжності рядів

Нехай ряди та збігаються, , тоді ряд також збігається, та для його суми виконується рівність: .

16) Лінійність рівномірної збіжності

Якщо на множині , , то виконується умова: .

Доведення: ||α f_n + β g_n - α f - β g|| ≤ |α| || f_n – f || + |β| || g_n – g ||

17) Мажорантна ознака збіжності знакосталого ряду

Нехай послідовність є мажорантою для послідовності , то: якщо ряд збіжний, то ряд також збіжний; навпаки, з умови розбіжності ряду слідує також розбіжність ряду

Доведення: Нехай ряд збіжний, тоді послідовність його часткових сум монотонно зростає і обмежена. З умови слідує, що , де . Але тоді послідовність також є обмеженою, крім того вона монотонно зростає, а тому є збіжною. З цього і слідує збіжність ряду .

Якщо ряд розбіжний, то послідовність необмежена, але тоді і послідовність також не обмежена, бо вона мажорує послідовність . З цього слідує розбіжність ряду .

18) Не еквівалентність абсолютної та простої збіжності рядів

Для цього достатньо розглянути такий ряд: .

Як слідує з збіжності степеневого ряду ряд, що складається з модулів є розбіжним.

З теорії послідовностей ми знаходили границю такої послідовності: а це означає збіжність вказаного ряду.

19) Необхідна умова збіжності ряду

Якщо ряд збігається, то послідовність його загальних членів прямує до нуля.

Доведення. Якщо - збіжний, то послідовність його часткових сум має границю, позначимо її як . Але тоді .

20) Необхідна умова розвинення функції в СР

Для того, щоб функцію можна було розкласти в СР на проміжку , необхідно, щоб вона мала на цьому проміжку неперервні похідні довільного порядку.

Доведення: наслiдок з властивостей СР.

21) Ознака Абеля

Якщо ряд збігається, а послідовність (з обмеженою варіацією), то ряд - збіжний.

Доведення. Із збіжності ряду слідує, що послідовність його часткових сум - збіжна, а тому і обмежена, крім того послідовність збіжна, як добуток двох збіжних послідовностей, а далі усе слідує з ознаки Абеля-Діріхле

22) Ознака Абеля-Діріхле

Нехай для послідовностей виконуються такі умови: , , послідовність збіжна в , то ряд - збіжний.

Доведення. Оскільки ряд абсолютно збіжний, а , то ряд також абсолютно збіжний (а тому і просто збіжний), що слідує з мажорантної ознаки для рядів. Із збіжності послідовності та з теореми про рівнозбіжність рядів, що пов’язані перетворенням Абеля

слідує також збіжність ряду , що й треба було довести.

23) Ознака Вейєрштрассса рівномірної збіжності ФР

Нехай для ФР існує така числова послідовність , що ряд - абсолютно збіжний та , тоді ряд збігається рівномірно.

Доведення. З відповідної теореми про мажорантну ознаку збіжності слідує, що ряд - збіжний, а тому ряд - рівномірно збіжний.

24) Ознака Гаусса

Якщо для ряду виконується умова , де , , - сталі, а послідовність , то ряд :

-збіжний, якщо , або ;

- розбіжний , якщо , або .

Доведення. Випадок безпосередньо слідує з ознаки д’Аламбера. Випадок - це наслідок з ознаки Раабе. Залишається розглянути випадок . Тобто ми маємо рівність: . Застосуємо ознаку Куммера, вибравши в якості послідовності , степенево-логарифмічний ряд розбіжний. Тоді маємо:

.

Перший доданок прямує до нуля, а другий до , тому що для логарифму можна скористатися відомою формулою еквівалентності: . Таким чином , і з ознаки Куммера цей ряд розбіжний.

25) Ознака д’Аламбера

Якщо для ряду існує границя , тоді: якщо , то ряд - збіжний; якщо , то ряд - розбіжний

Доведення. випливає з узагальненої ознаки д’Аламбера

Виберемо число таким, щоб виконувались умови: . Тоді, починаючи з деякого номера , одержимо, що , і за порiвняльною ознакою ряд розбіжний.

26) Ознака Діріхле

Якщо послідовність , і , а для послідовності , то ряд - збіжний

Доведення. З умов та слідує, що послідовність , тобто збіжна, а далі все слідує з теореми Абеля-Діріхле.

27) Ознака Лейбниця

Якщо послідовність , і , то ряд - збіжний

Доведення. Покладемо , тоді очевидно, що послідовність , і далі за ознакою Дiрiхле.

28) Ознака Раабе

Якщо для ряду виконується умова , то при цей ряд збігається, а при - розбігається.

Доведення. Застосуємо ознаку Куммера, поклавши , зрозуміло, що при цьому ряд - розбіжний. Тоді

, а далі залишається використати ознаку Куммера в граничній формі.

29) Перетворення Абеля

Для будь-якого натурального та послідовностей виконується рівність (перетворення Абеля):

Доведення.

30) Перехід до границі ФП

Нехай ФП на і ( - гранична точка множини ), то та виконуються рівності:

.

Доведення: Це є переформулювання теореми на випадок ФП

31) Порівняльна ознака збіжності знакосталого ряду

Якщо ряд збіжний, та існує номер , починаючи з якого виконуються нерівності , то ряд також збіжний.

Доведення. Перепишемо задану нерівність у вигляді: , а тому виконується така оцінка . А тому , тобто , і за мажорантною ознакою ряд збіжний.

32) Приклад до зв’язку між ознаками д’Аламбера

Покажемо, що з умови не обов’язково слідує розбіжність ряду .

Розглянемо ряд , де , , . Легко зрозуміти, що цей ряд збіжний, бо послідовність її часткових сум обмежена, бо , а тому і ряд - збіжний. Якщо ж розглянути відношення , то для непарних одержимо: , , а тому й .

33) Про додатну та від’ємну частини збіжного ряду (умовно чи абсолютно)

Якщо ряд збігається абсолютно, то також збігаються одночасно і ряди , . Якщо ж ряд збігається умовно, то обидва ряди , одночасно розбігаються.

Доведення. Нехай ряд збігається абсолютно, позначимо , тоді послідовності та монотонно зростають та обмежені числом , а тому вони збіжні, що означає збіжність рядів , .

Нехай тепер ряд збігається умовно. Якби збігалися обидва ряди , , то з рівності слідує абсолютна збіжність ряду , що суперечить умові. Якщо ж збігається рівно один з двох рядів, то з рівності , де ми маємо рівність між двома збіжними та однією розбіжною послідовностями, що неможливо. Тому обидва ряди є розбіжними

34) Про збіжність в крузі збіжності СР поточкова та рівномірна збіжність

Нехай - радіус збіжності СР. Тоді СР збігається в крузі збіжності . Якщо , то СР розбігається поточково зовні круга збіжності, тобто в тих точках, де .

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді СР в крузі збігається рівномірно.

Наслiдки з теореми про нормальну збiжнiсть степеневого ряду.

35) Про збіжність в крузі збіжності СР, обмеженість та абсолютна збіжність

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді . Якщо , то .

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді СР - абсолютно збіжний. Якщо , то цей СР абсолютно розбіжний

Наслiдки з теореми про нормальну збiжнiсть степеневого ряду.

36) Про монотонну обмежену послідовність

Якщо послідовність монотонна й обмежена, то.

З теореми Вейєрштрасса послідовність збігається, а тому збігається ряд , , послідовністю часткових сум якого як раз і є послідовність . З монотонності цієї послідовності ряд - знакосталий, а тому його збіжність рівносильна абсолютній збіжності, що й означає, що

37) Про нормальну збіжність СР

Нехай - радіус збіжності СР і . Тоді СР в крузі збігається нормально

Доведення. З означення верхньої межі і при цьому . Тоді , але ряд - абсолютно збіжний, а тому і ряд - збіжний, що й завершує доведення теореми.

38) Про перестановку абсолютно збіжного ряду

Якщо ряд збігається абсолютно та має суму , то будь-яка його перестановка також збігається та має ту ж саму суму

Доведення. Нехай - часткові суми перестановки ряду, а , тоді послідовність - монотонно зростає та обмежена числом , а тому ця послідовність збіжна, з чого слідує абсолютна збіжність будь-якої перестановки, а тому і проста її збіжність.

З критерію Коші маємо: :

. (1)

Нехай - найбільший з індексів, який мають числа , коли вони є членами перестановки . Зрозуміло, що . Розглянемо довільне , тоді в різниці , члени ряду з номерами від до скорочуються, і залишаються лише члени з номерами, більшими за . Внаслідок (1) , а тому , що й треба було довести.

39) Про послідовність з обмеженою варіацією

Якщо , то

Запишемо вказану послідовність у вигляді: , . Тоді з того, що має обмежену варіацію, слідує абсолютна збіжність ряду , а тому і просто збіжність того ж ряду, але це означає, що збіжною є послідовність його часткових сум, тобто послідовності

40) Про рівнозбіжність рядів та …

Нехай послідовність не зростаюча. Тоді ряд збіжний чи розбіжний одночасно з рядом

Розглянемо такі позначення для часткових сум , .

Якщо , то

, а тому

. (1)

Якщо , то

, тобто

. (2)

Якщо ряд збіжний, то послідовність обмежена, а тому обмеженою є також послідовність , що слідує з нерівності (1), тоді й ряд є збіжним. Якщо ж ряд розбіжний, то відповідна послідовність часткових сум необмежена, а тому й послідовність також необмежена, що слідує з нерівності (2). А з останнього слідує, що ряд - розбіжний. Повністю аналогічно в зворотному порядку.