10)Лінійне програмування. Задача о сумішах. Транспортна задача.

Лінійне програмування — один з важливих розділів дослідження операцій, що зводиться до оптимізації лінійної цільової функції на множині, яка описується лінійними рівняннями і нерівностями.

Лінійне програмування розглядає розв’язання задач, які виникають у господарчій, економічній, виробничій, військовій сферах діяльності людини. Лінійне програмування має вигляд лінійної математичної моделі, яка складається з трьох частин:

Функції мети F = c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n → max(min), для якої знаходимо оптимальне значення. Якщо змінити знаки коефіцієнтів c_j, (j є 1, n) на протилежні, то функція F→ max змінюється на F→ min і навпаки. Приклад функції мети: прибуток (треба збільшити до максимуму), збиток (треба зменшити до мінімуму). Тут x₁, x₂, …, x_n – фактори, які безпосередньо впливають на процес, що розглядається.

Приклад: c_j – це прибуток від реалізації одного з j-го варіантів виробів, а x_j – це кількість цих виробів.

Обмеження по запасу ресурсів запишемо у вигляді:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1nx_n < b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2nx_n < b₂

….... ……… …. …….. …..

a_m1x₁ + a_m2x₂ + …+ a_mnx_n < b_m

Або

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1nx_n > b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2nx_n > b₂

….... ……… …. …….. …..

a_m1x₁ + a_m2x₂ + …+ a_mnx_n > b_m

Вимоги невід’ємності змінних (факторів) Х₁ > 0, бо практичні дії (практична кількість приладів, що випускається і т.п.) не можуть бути від’ємними. Наведені системи нерівностей можна записати так:

1)до першої системи рівнянь додаємо додаткові додатні змінні

x_n+1, x_n+2, …, x_n+m;

2)від другої системи віднімаємо додаткові додатні змінні x_n+1,…, x_n+2, …, x_n+m;

В результаті ми повинні розглянути таку систему рівнянь:

1.Функція мети F = c₁x₁ + c₂x₂ +…+ c_nx_n → max(min). Призначення якої є отримання оптимального розв'язку для області, яка визначається системою рівнянь-обмежень.

2. Система рівнянь-обмежень:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1nx_n + x_n+1 = b1

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2nx_n + x_n+2 = b₂

….... ……… …. …….. …..

a_m1x₁ + a_m2x₂ + …+ a_mnx_n + x_{n+m =} b_m

Де x_j > 0, j=1, …, n+m; m <n.

Розв'язок X = (x₁, x₂, …, x_n+m), при якому функція мети F приймає оптимальне значення називається оптимальним розв'язком. Більшість задач лінійного програмування мають один оптимальний розв'язок. Але бувають випадки, коли система рівнянь є несуміснобю, в такому випадку задача не має оптимального розв'язку.

Графо-Аналітичний метод розв’язання задач лінійного програмування

Множина точок називається випуклою, якщо сумісно з його будь-якими двома точками множині належить і весь відрізок прямої лінії, який з’єднує ці дві токи. В іншому випадку множина не є випуклою.

В результаті отримуємо багатокутник 0АВС, всередині або на межі якого знаходиться множина точок, яка відповідає вимогам обмежень-неріностей.

Властивості випуклих множин

1)Перетин (загальна частина) двох випуклих множин є випуклою множиною.

2)Перетин (загальна частина) кінцевої кількості випуклих множин є також випуклою множиною.

3)Кількість кутових точок (А,В,С) множини багатокутника співпадає з числом допустимих базисних розв’язків системи.

4)Множиною розв’язків системи лінійних рівнянь з двома змінними є випуклий багатокутник.

Основні теореми лінійного програмування:

Теорема 1. Множина всіх допустимих розв’язків системи обмежень задачі ЛП є випуклою.

Теорема 2. Якщо задача ЛП має оптимальний розв’язок, то він співпадає з однією (двома) точками з кутових точок (вершин) множини допустимих значень.

Теорема 3. Кожному допустимому базисному розв’язку задачі ЛП відповідає кутова точка області допустимих розв’язків системи, і навпаки.

Задача про суміші

Початкові дані. Задачі про суміші виникають:

1)у сільськогосподарському виробництві при розрахунку складу добрив;

2)при розрахунку ряду видів пального для отримання пального іншої марки;

3)в металургії при виготовленні сталі із кількох марок сталі;

4)при складі раціону харчування худоби, спортсменів, сім’ї.

i = 1, …, m – порядковий номер матеріалу;

j = 1, …, n – кількість компонентів у матеріалах, що розглядаються;

c_i (грн../кг) – ціна 1 кг матеріалу;

x_i (кг) – загальна вага i-го матеріалу в суміші;

b_i (кг) – потрібна вага j-го компонента у вихідній суміші;

a_ij (кг/кг) – вага j-го компонента в 1 кг матеріалу.

Завдання:

Отримати суміш мінімальної вартості.

Транспортна задача

Початкові дані.

Транспортний цех повинен перевезти однотипну продукцію від 3-х постачальників до 3-х споживачів.

j = 1, 2, 3 – користувачі однотипної продукції;

i = 1, 2, 3 – постачальники однакової продукції;

x_ij – величина постачання i-го постачальника j-му користувачу, кг;

c_ij – витрати на перевезення від i-го постачальника до j-го користувача 1 кг однакової продукції.

Завдання:

Виконати перевезення за мінімальну вартість.