а) y = x2; |
б) y = sin(x2); |
в) y = x + sin x; |
г) y = sin |x|; |
д*) y = cos x + cos(kx), где k — иррациональное число.
Задача 8.6. Числа 5 и 8 являются периодами функции f. Докажите, что число 1 — тоже ее период.
Задача 8.7. Функция y = f(x) имеет наименьший положительный период 2, а функция y = g(x) имеет наименьший положительный период 6. Может ли функция y = f(x) + g(x) иметь наименьший положительный период 3?
Задача 8.8. Определим функцию f так:
1, если x — рациональное число;
0, если x — иррациональное число.
Докажите, что всякое рациональное число будет периодом функции f (отсюда следует, что у нее нет наименьшего положительного периода).
§ 9. Формулы приведения
Нанесем на тригонометрическую окружность точку M, соответствующую числу x. Ее координатами будут (cos x; sin x).
Опустим из точки M перпендикуляр на ось абсцисс. У нас получится прямоугольный треугольник (на рис. 9.1а он заштрихован).
Теперь повернем этот треугольник на 90◦ против часовой стрелки. Он займет положение, показанное на рис. 9.1б. Точка M на этом рисунке соответствует числу x + π/2 (так как угол MZM0, очевидно, прямой) и имеет координаты (− sin x; cos x). Поскольку координаты точки на тригонометрической окружности — это косинус и синус соответствующего этой точке числа, получаем такие формулы:
cos(x + π/2) = − sin x; sin(x + π/2) = cos x.
38
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 9.1. Точка M соответствует числу x, точка M0 соответствует числу x + π/2.
Поделим эти равенства одно на другое. Получится вот что:
tg(x + π/2) = − ctg x;
ctg(x + π/2) = − tg x.
Строго говоря, мы доказали эти формулы лишь в одном случае — если точка, соответствующая числу x, лежит в первой четверти. Проверьте сами, что эти формулы верны и в других случаях.
Итак, сравнив два положения треугольника на рис. 9.1а, мы получили несколько формул. Прикладывать этот треугольник к осям можно и разными другими способами, и каждый из этих способов дает свой набор формул. На рис. 9.2 изображены разные способы перекладывания треугольника, а под ними выписаны соответствующие формулы.
Задача 9.1. Заполните пустые места в подписях к чертежам на рис. 9.2.
Формулы, которые мы получили с помощью перекладывания треугольника, называются формулами приведения. Точнее говоря, пусть у нас есть число a, равное nπ/2 для какого-то целого числа n. Формулами приведения называются формулы, связывающие тригонометрические функции от x + a, x − a или a − x с тригонометрическими функциями от x. Как видите, этих формул много, и заучивать их наизусть было бы неразумно. На практике,
39
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 9.2. Формулы приведения.
40
если требуется воспользоваться формулой приведения, удобно нарисовать картинку наподобие тех, из которых составлен рис. 9.2, и посмотреть по ней, как должна выглядеть формула. Кроме того, есть и мнемоническое правило, позволяющее выписать любую формулу приведения. Сформулируем это правило.
1)Пусть в левой части стоит тригонометрическая функция от x + a, x − a или a − x, где a = nπ/2. Если π укладывается в числе a целое число раз (a = 0, π, −π, 2π, −2π,. . . ), то в правой части надо записать ту же тригонометрическую функцию, что и в левой части. Если же π укладывается в числе a не целое, а «полуцелое» число раз (a = π/2, −π/2, 3π/2, 5π/2,. . . ), то название тригонометрической функции надо заменить на похожее (синус на косинус и наоборот, тангенс на котангенс и наоборот).
2)Если при x, принадлежащем первой четверти, левая часть положительна, то перед правой частью надо поставить знак плюс, в противном случае — знак минус.
Вот как по этим правилам получается фор- |
|
|
|
мула для sin(3π/2+x): 3π/2 скобках указывает, |
|
|
|
|
|||
что название функции меняется, так что в пра- |
|
||
вой части будет стоять косинус; так как при |
|
|
|
|
|
|
|
x, лежащем в первой четверти, sin(3π/2 + x) |
|
|
|
отрицателен (рис. 9.3), перед косинусом будет |
|
|
|
|
|||
стоять знак минус. В итоге: sin(3π/2 + x) = |
|
|
|
− cos x. |
Рис. 9.3. |
||
С помощью формул приведения тригонометрические функции любого числа можно выразить через тригонометрические функции чисел, лежащих на отрезке [0; π/2] (от 0◦ до 90◦, если измерять углы в градусах). Поэтому тригонометрические таблицы составляются только для углов от 0◦ до 90◦; в современных калькуляторах и компьютерах программы, вычисляющие тригонометрические функции, также предварительно «приводят» аргумент к промежутку [0; π/2].
41
Из множества формул приведения стоит, возможно, отметить такие:
|
π |
− |
|
|
|
π |
− |
|
|
|
sin |
π |
|
x |
= cos x; |
cos |
π |
|
x |
= sin x; |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||
tg |
− x = ctg x; |
ctg |
− x = tg x. |
|||||||
|
|
|||||||||
2 |
2 |
|||||||||
Эти формулы называются «формулами дополнительного угла»; для острых углов они нам уже знакомы.
Полезно также запомнить, как меняются тригонометрические функции при изменении знака аргумента:
sin(−x) = − sin x; |
cos(−x) = cos x; |
tg(−x) = − tg x; |
ctg(−x) = − ctg x. |
Иными словами, синус, тангенс и котангенс — нечетные функции, косинус — четная функция.
Задача 9.2. Упростите выражения:
а) sin(x − π/2); |
б) sin(x − 1998π); |
в) sin(x − 1991π/2); |
г) sin(x − 3π/2); |
д) sin(2π − x); |
е) tg(x − π/2); |
ж) sin(x − 111π); |
з) cos(x + 7π/2); |
и) tg(−x − 3π/2). |
Задача 9.3. Вычислите:
а) cos(13π/6); |
б) sin(44π/3); |
в) cos(−21π/2); |
г) tg(77π/4); |
д) sin(123π/2); |
е) sin(−19π/3); |
ж) sin 3540◦; |
з) tg(−1050◦); |
и) cos 1575◦; |
к) sin(−1200◦). |
|
|
Задача 9.4. Выразите через тригонометрическую функцию числ´а, лежащего на отрезке [0; π/2]:
а) tg 19, 3π; |
б) tg 10; |
в) sin 46π/9; |
г) cos 114; |
д) sin(−9); |
е) sin 22π/7. |
Задача 9.5. Определите знаки следующих выражений:
а) sin(127π/5); |
б) cos(−26, 17π); |
в) tg 83, 1π; |
г) cos 17; |
д) sin(−46). |
|
42