§ 11. Графики синуса и косинуса

Пусть далее, π/2 6 x 6 2π (стрелка часов продолжает движение). Тогда, очевидно, ордината конца стрелки, то есть sin x, уменьшается от 1 до 0 — рис. 11.2а. Далее, когда x возрастает

53

от π до 3π/2, sin x уменьшается от 0 до −1, а когда x возрастает от 3π/2 до 2π, возрастает от −1 до 0. Итак, участок графика для 0 6 x 6 2π готов (рис. 11.2б). Заметим, кстати, что кривая на рис 11.2а симметрична относительно вертикальной прямой с уравнением x = π/2. В самом деле, формула приведения sin(π/2 − x) = sin x показывает, что точки с абсциссами x и π − x имеют на графике одинаковые ординаты и, стало быть, симметричны относительно прямой x = π/2 (рис. 11.3а).

Задача 11.1. Запишите уравнение прямой, касающейся графика функции y = sin x в точке с координатами (π; 0).

Кривая на рис 11.2б центрально симметрична относительно точки с координатами (π; 0); это следует из другой формулы приведения: sin(2π − x) = − sin x (рис. 11.3б).

После того, как у нас есть участок графика функции y = sin x для 0 6 x 6 2π, весь график строится уже просто. В самом деле, когда конец стрелки прошел путь 2π, стрелка вернулась в исходное положение; при дальнейшем движении все будет повторяться. Значит, график будет состоять из таких же кусков, как на рис 11.2б. Окончательно график функции y = sin x выглядит так, как на рис. 11.4. При этом участки графика при x [2π; 4π], [4π; 6π], [−2π; 0],. . . получаются из графика на рис 11.2б сдвигом вдоль оси абсцисс на 2π, 4π, −2π,. . . соответственно. Это — просто переформулировка того факта, что функция y = sin x имеет период 2π.

54

Рис. 11.4. y = sin x.

Рис. 11.5. y = cos x.

Теперь построим график функции y = cos x. Можно было бы строить его так же, как мы строили график синуса. Мы, однако, изберем другой путь, который позволит использовать уже имеющуюся у нас информацию.

Именно, воспользуемся формулой приведения sin(x + π/2) = = cos x. Эту формулу можно понимать так: функция y = cos x принимает те же значения, что и функция y = sin x, но на π/2 раньше. Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = π/2, а функция y = cos x = sin(x + π/2) принимает это же значение уже при x = 0. На графике это означает следующее: для каждой точки графика y = sin x есть точка графика y = cos x, у которой ордината та же, а абсцисса на π/2 меньше (рис. 11.5). Стало быть, график y = cos x получится, если сдвинуть график y = sin x вдоль оси абсцисс на π/2 влево. На рис. 11.5 график функции y = cos x изображен сплошной кривой.

Итак, мы выяснили, что график косинуса получается преобра-

55

зованием (сдвигом) из графика синуса. Случаи, когда график одной функции можно получить преобразованием из графика другой функции, интересны и сами по себе, поэтому скажем о них несколько слов.

Как, например, будет выглядеть график функции y = 2 sin x? Ясно, что ординаты точек этого графика получаются из ординат соответствующих точек графика y = sin x умножением на 2, так что наш график изобразится сплошной кривой на рис. 11.6. Можно сказать, что график y = 2 sin x получается из графика y = sin x растяжением в два раза вдоль оси ординат.

Рис. 11.7. y = sin 2x.

Теперь построим график функции y = sin 2x. Легко понять,

56

Рис. 11.8. y = sin(2x + π/3).

что функция y = sin 2x принимает те же самые значения, что и функция y = sin x, но при в два раза меньших значениях x. Например, функция y = sin x принимает значение 1 при x = π/2, а функция y = sin 2x — уже при x = π/4; иными словами, чтобы получить график y = sin 2x, надо абсциссы всех точек графика y = sin x уменьшить в два раза, а ординаты оставить неизменными. То, что получается, изображено на рис. 11.7. Можно сказать, что график y = sin 2x (сплошная линия на рис. 11.7) получается из графика y = sin x сжатием в 2 раза к оси ординат.

Попробуем еще построить график функции y = sin(2x + π/3). Понятно, что он должен получаться каким-то преобразованием из графика y = sin 2x. На первый взгляд может показаться, что это преобразование — сдвиг влево на π/3 вдоль оси абсцисс, по аналогии с тем, что изображено на рис. 11.5. Однако, если бы это было так, то вышло бы, например, что функция y = sin(2x + π/3) принимает значение 1 при x = π/4 − π/3 = π/12, что не соответствует действительности (проверьте!). Правильно рассуждать так: sin(2x + π/3) = sin 2(x + π/6), так что функция y = sin(2x+π/3) принимает те же значения, что и функция y = sin 2x, но на π/6 раньше. Так что сдвиг влево — не на π/3, а на π/6 (рис. 11.8).

Кривые, являющиеся графиками функций y = a sin bx, где a 6= 0, b 6= 0, называются синусоидами. Заметим, что кривой «косинусоида» вводить не надо: как мы видели, график косинуса — это та же кривая, что и график синуса, только иначе расположен-

57

ная относительно осей координат.

Задача 11.2. Каковы координаты точек, помеченных на рис. 11.8 вопросительными знаками?

Задача 11.3. Возьмите свечу, тонкий лист бумаги и острый нож. Намотайте лист бумаги на свечу в несколько слоев и аккуратно разрежьте эту свечу вместе с бумагой наискосок ножом. Теперь разверните бумагу. Вы увидите, что она оказалась разрезанной по волнистой линии. Докажите, что эта волнистая линия является синусоидой.

Замечание. Если вы строите графики тригонометрических функций на клетчатой бумаге, удобно выбрать немного разные масштабы по осям, с тем чтобы на оси абсцисс числу π соответствовало целое число клеточек. Например, часто выбирают такой масштаб: по оси ординат отрезок длины 1 занимает две клеточки, по оси абсцисс отрезок длины π занимает 6 клеточек.

Задача 11.5. Постройте графики функций:

а) y = arcsin x; б) y = arccos x.

Посмотрим, как выглядят на графиках уже известные нам решения уравнений sin x = a и cos x = a. Эти решения являются абсциссами точек пересечения горизонтальной прямой y = a с графиком функций y = sin x (соответственно y = cos x). На рис. 11.9, 11.10 хорошо видны две серии решений, получающихся при −1 < a < 1.

По графикам синуса и косинуса видно, на каких промежутках эти функции возрастают, а на каких убывают. Ясно, например, что функция y = sin x возрастает на отрезках [−π/2; π/2],

58

Рис. 11.9.

59