Задача 6.12. Тот же вопрос, что и в предыдущей задаче, но для правильного пятиугольника (указание: см. задачу 3.5).
Задача 6.13. В задаче 4.8 было сказано, что в качестве приближенного значения косинуса малого угла α можно взять число 1, то есть значение функции косинус в нуле. Что, если в качестве приближенного значения для синуса малого угла α, не мудрствуя лукаво, взять 0 = sin 0? Чем это плохо?
|
|
Рис. 6.4. Точка M движется по циклоиде.
Задача 6.14. Рассмотрим колесо радиуса 1, касающееся оси абсцисс в начале координат (рис. 6.4). Предположим, что колесо покатилось по оси абсцисс в положительном направлении со скоростью 1 (т. е. за время t его центр смещается на t вправо).
а) Нарисуйте (примерно) кривую, которую будет описывать точка M, касающаяся в первый момент оси абсцисс.
б) Найдите, каковы будут абсцисса и ордината точки M через время t после начала движения.
6.1. Ось тангенсов
Синус и косинус мы в этом параграфе определили геометрически, как ординату и абсциссу точки, а тангенс — алгебраически, как sin t/ cos t. Можно, однако, и тангенсу придать геометрический смысл.
Для этого проведем через точку с координатами (1; 0) (начало отсчета на тригонометрической окружности) касательную к тригонометрической окружности — прямую, параллельную оси
29
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 6.5. Ось тангенсов.
ординат. Назовем эту прямую осью тангенсов (рис. 6.5). Название это оправдывается так: пусть M — точка на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Продолжим радиус SM до пересечения с осью тангенсов. Тогда оказывается, что ордината точки пересечения равна tg t.
В самом деле, треугольники NOS и MP S на рис. 6.5, очевид-
но, подобны. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tg t = |
sin t |
= |
MP |
= |
NO |
= |
NO |
= NO, |
||
cos t |
P S |
OS |
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
что и утверждалось. |
|
|
|
|
|
|
|
или (0; −1), то пря- |
||
Если точка M имеет координаты (0; 1) |
||||||||||
мая SM параллельна оси тангенсов, и тангенс нашим способом определить нельзя. Это и не удивительно: абсцисса этих точек равна 0, так что cos t = 0 при соответствующих значениях t, и tg t = sin t/ cos t не определен.
6.2. Знаки тригонометрических функций
Разберемся, при каких значениях t синус, косинус и тангенс положительны, а при каких — отрицательны. Согласно определению, sin t — это ордината точки на тригонометрической окружности, соответствующая числу t. Поэтому sin t > 0, если точка t на
30
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 6.6. Знаки синуса и косинуса.
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Рис. 6.7. Знаки тангенса.
окружности лежит выше оси абсцисс, и sin t < 0, если точка t на окружности лежит ниже оси абсцисс (рис. 6.6а). На рис. 6.6б аналогичным образом изображено, когда положителен и когда отрицателен cos t. Увидеть, когда положителен, а когда отрицателен tg t, проще всего с помощью оси тангенсов: tg t положителен, если точка на окружности, соответствующая числу t, лежит в первой или третьей четверти, и отрицателен, если эта точка лежит во второй или четвертой четверти. Схематически это изображено на рис. 6.7.
Задача 6.15. Нарисуйте картинки, аналогичные рис. 6.7, для знаков ctg t.
Задача 6.16. а) Изобразите на числовой оси множество точек t,
31