Глава 2

Начальные свойства тригонометрических функций

§5. Часы, или современный взгляд на тригонометрию

5.1. Часы и процессы

До сих пор тригонометрия была для нас наукой о соотношениях сторон в треугольниках. Именно с этого развитие тригонометрии и начиналось (слово «тригонометрия» означает в переводе с древнегреческого «измерение треугольников»). Позднее, однако, акценты сместились, и сейчас тригонометрию правильнее рассматривать как науку не о треугольниках, а о периодических процессах. Чтобы понять, при чем тут периодические процессы, рассмотрим простейший из них — движение стрелок часов.

Задача 5.1. Предположим, что все стрелки часов имеют длину 1 см (видимо, это женские наручные часики). Какой путь проходит за сутки:

а) секундная стрелка;

б) минутная стрелка;

в) часовая стрелка?

19

Рис. 5.1. Часы фирмы «Тригонометрия».

(Мы имеем в виду, конечно, путь, проходимый концом стрелки.)

Задача 5.2. Секундная стрелка часов имеет длину 1 см. Часы завели в 12 часов дня 1 января. В котором часу и какого числа путь, пройденный концом секундной стрелки, составит 1 км? С какой точностью надо знать пройденный стрелкой путь, чтобы иметь возможность ответить на вопрос о дате?

Часы нам еще сослужат добрую службу, но чтобы не входить в противоречие с общепринятой терминологией и обозначениями, нам нужны часы не совсем обычные. Наши «часы для любителей тригонометрии» имеют всего одну стрелку. Эта стрелка движется в обратном (по сравнению с обычными часами) направлении. В момент пуска часов стрелка указывает вправо (туда, где на обычных часах написана цифра 3). За час стрелка поворачивается на 1 радиан.

Будем считать, что длина стрелки равна 1. Тогда, согласно определению радианной меры угла, длина дуги, описываемой концом стрелки за час, равна 1, за два часа — 2 и т. д.

Объясним теперь, какое отношение эти часы имеют к синусам и косинусам. Для этого рассмотрим систему координат, расположенную, как показано на рис. 5.2а.

20

Рис. 5.2. Часы и тригонометрия.

Каковы будут координаты конца стрелки в момент t (через t часов после запуска)? Из рис. 5.2б ясно, что, пока стрелка не успела выйти за пределы первой координатной четверти, ее координаты будут (cos t; sin t) (имеются в виду косинус и синус угла

вt радиан). В самом деле, из прямоугольного треугольника MAP видно, что cos MAP = AP , sin MAP = MP , а радианная мера угла MAP равна t.

Пусть теперь стрелка вышла за пределы первой координатной четверти (это означает, что пройденный ей путь t превысил π/2). Формально мы не можем сказать, что координаты конца стрелки равны (cos t; sin t), так как t больше не является радианной мерой острого угла, а синус и косинус мы определили только для острых углов. Однако мы можем обобщить наши определения. Можно определить косинус числа t как абсциссу конца стрелки

втот момент, когда пройденное этим концом расстояние составит t. Аналогично синус t определяется как ордината конца стрелки

втот же момент. Как мы видели, в тех случаях, когда t является радианной мерой острого угла, новые определения согласуются с прежними.

Задача 5.3. Как бы вы определили синус и косинус отрицательного числа t?

Задача 5.4. Найдите:

21

В следующем параграфе мы дадим более формальные определения синуса и косинуса произвольного числа и начнем систематическое изучение тригонометрии. Но некоторые важные свойства синуса и косинуса можно увидеть уже сейчас.

Заметим, что за время 2π стрелка наших часов делает полный круг и оказывается на прежнем месте. Поэтому координаты ее конца в моменты t и t + 2π одинаковы. Другими словами:

cos(t + 2π) = cos t

sin(t + 2π) = sin t

Как говорят, функции синус и косинус имеют период 2π.

Задача 5.5. Как меняется положение стрелки за время π? Чему равны cos(t + π) и sin(t + π)?

5.2. Скорость

Посмотрим теперь, как изменяются cos t и sin t при изменении t. Сделаем это для косинуса (ситуация с синусом аналогична).

Стрелка часов равномерно вращается, при этом в тот момент, когда конец стрелки прошел расстояние t, проекция этого конца на ось абсцисс отмечает число cos t (рис. 5.3а). Видно, что эта проекция совершает колебания от 1 до −1 и обратно. Далее, движение конца стрелки по окружности равномерно, но движение его проекции равномерным уже не будет. Чтобы это увидеть, нанесем на окружность положения конца стрелки через равные промежутки времени, а на ось абсцисс — их проекции (рис. 5.3б). Хорошо видно, что вблизи концов отрезка [−1; 1] точки идут гуще, чем в его середине. Однако отмеченные точки — не что иное, как проекции конца стрелки через равные промежутки времени. Стало быть, в середине отрезка [−1; 1] наша точка движется быстрее, чем у его краев. Это и понятно: в своих колебаниях по отрезку наша точка в концах разворачивается, а чтобы развернуться, надо сначала затормозить.

22

Рис. 5.3. Как меняется косинус.

Задача 5.6. а) Если для каждого целого n найти число sin(πn/30), сколько различных чисел получится?

б*) Каким должно быть число a, чтобы множество чисел вида cos(πna), где n пробегает все целые числа, было конечно?

в**) Существует ли такое натуральное число n, что | cos n| < < 1/1000?

Давайте подсчитаем поточнее, с какой скоростью движется проекция конца стрелки. Будем опять-таки рассматривать проекцию на горизонтальную ось, соответствующую косинусу. Мы считали, что стрелка движется со скоростью 1 / и имеет длину 1, так что ее конец движется со скоростью 1. Пусть в данный момент стрелка повернута на угол t (рис. 5.4) Через маленькое время τ конец стрелки переместится из точки A в точку B, а его проекция — из точки M в точку N. Найдем отрезок MN. Для этого заметим, что угол CAB можно приближенно считать прямым, так как хорда AB мала. Поэтому

BAK ≈ π/2 − CAK = π/2 − t

(углы измеряются в радианах). Следовательно,

MN ≈ AB cos(π/2 − t) = AB · sin t.

Далее, так как хорда AB мала, ее длина приближенно равна длине дуги AB, то есть τ. Следовательно, MN ≈ τ · sin t, и средняя скорость проекции конца стрелки на участке от M до N приблизительно равна MN/τ = sin t. На самом деле чем меньше, тем меньше ошибки наших

23