Ответы и указания к некоторым задачам

1.2. sin 10◦ ≈ 0,17, sin 30◦ = 0,5, sin 60◦ ≈ 0,87. Радианные меры углов в 10, 30 и 60 градусов приближенно равны 0,17, 0,52 и 1,05. Радианные меры углов в 30 и 60 градусов больше их синусов приблизительно на 4% и 21% соответственно; радианная мера угла в 10 градусов совпадает с его синусом с точностью до двух знаков после запятой.

2.1.Указание: два прямоугольных треугольника с равными острыми углами подобны.

2.2.sin α < tg α.

p

2.3. tg α = sin α/ 1 − tg2 α.

2.4. tg 10◦ ≈ 0,18, tg 30◦ ≈ 0,58, tg 60◦ ≈ 1,73. Тангенсы углов в 10, 30 и 60 градусов больше их радианных мер приблизительно на 1%, 10% и 65% соответственно.

3.4. а) 2a cos α. б) a sin α. в) a sin 2α, если α < 45◦, и a sin(180◦ −

− 2α), если α > 45◦ (когда мы познакомимся с тригонометрическими функциями произвольного угла, вы увидите, что этот ответ во всех

случаях записать в виде a sin 2α).

√

3.5. ( 5 + 1)/4.

3.7. cos 25◦ = sin 65◦ ≈ 0,91.

4.1. б) 60. в) 6◦.

4.3.0,012 радиана, или приблизительно 430.

4.4.Примерно 1850 метров.

4.6. Указание. Тысячная равна π/3000 ≈ 1/1000 радиана (если принять, что π ≈ 3, что при таких измерениях и делают). И не надо считать военных неучами: ошибка порядка 15%, получающаяся при вычислениях по формуле тысячных, несущественна, поскольку измерить угол подручными средствами с б´ольшей точностью нереально.

5.1.а) Примерно 90 метров. б) Примерно полтора метра.

5.2.12 января, в двенадцать часов три минуты пополуночи. Чтобы не ошибиться с датой, достаточно знать путь, пройденный секундной стрелкой за сутки, с точностью до 4 метров.

5.4.а) cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1. г) cos(5π/2) = 0, sin(5π/2) = 1.

5.6.а) 30 различных чисел. б) Число a должно быть рациональным.

в) Да.

6.1.Если вы не ошиблись, должно получиться 4 различных точки.

6.3.а) Две точки. б) Одна точка.

6.4.В первой четверти.

6.5.214 точек.

6.6.Рациональным.

185

√ √ √ √

6.11. (1/2; 3/2), (−1/2; 3/2), (−1; 0), (−1/2; − 3/2), (1/2; − 3/2).

6.13.При пользовании формулой cos α ≈ 1 для малых углов α относительная погрешность (отношение погрешности к точному значению) будет мала, а если для столь же малых углов использовать формулу sin α ≈ 0, то погрешность будет близка к 100% точного значения — столь грубые приближенные формулы в этой ситуации бесполезны.

6.14.б) (t − sin t, 1 − cos t).

7.8. а) 2. б) 2(tg2 α + ctg2 α). в) 2/ sin α.

8.1. а) 2π/3. б) 4π. в) 2. г) 200π. 8.2. а) 100π. б) 1/50.

8.6.Указание. 2 · 8 − 3 · 5 = 1.

8.7.Ответ: да. Когда вы освоите § 22, вы сможете проверить, что

такими свойствами обладают функции f(x) = sin πx, g(x) = sin 2πx3 −

− sin πx. Можно, однако, построить пример, в котором тригонометрические функции вообще не используются.

9.4.б) tg(10 − 3π). г) cos(114 − 36π). е) − sin(π/7).

9.5.а) −. д) −.

9.6.а) (−a; b). в) (−a; −b). д) (b; a).

10.4. а) 1/2. б) Нет решений. в) − 3/2.

10.6. а) Указание: sin(arcsin x) = x по самом´у определению арксинуса, но не от всякого числа можно взять арксинус. в) Указание: эта

186

функция — периодическая с периодом 2π.

10.7.а) 2π/5. б) 3π/10. д) 92π − 11.

10.8.а) −1 6 x 6 1. б) x > 0. в) −π2 6 x 6 π2 . г) −1 6 x 6 1.√√

10.9. а) 2 13/13. в) 1/3. д) 2 2/3.

10.10.а) 10.

11.1.y =√π − x.

11.2.(0; 3/2), (5π/6; 0).

11.7.б) sin(11,2π) < cos(−6,4π). г) sin 7 < cos 7;

11.8.sin 5 < cos 4 < cos 2 < sin 3 < sin 1 < cos 6.

12.1.Например, относительно прямой с уравнением x = π/4.

12.2.y = π/2 − x.

12.3.а) tg(13π/11) < tg 3,3π.

12.4.tg 5 < tg 2 < tg 3 < tg 4 < tg 1.

12.7.Указание: эта функция нечетная.

14.1.Указание: каковы знаки косинуса острых и тупых углов?

14.2.Указание: обозначьте стороны параллелограмма буквами a и b,

аугол между ними буквой α; выразите диагонали через a, b и α.

14.5.Указание: выразите косинус угла ABM через стороны треугольника, после чего примените теорему косинусов еще раз.

15.1. Указание: диагонали разбивают четырехугольник на четыре треугольника.

p

15.4.а) r = (p − a)(p − b)(p − c)/p.

√

15.7. 6 14/5.

15.10. arccos(43/48), arccos(29/36), arccos(−11/24).

16.2.2R2 sin α sin β sin γ.

√

16.4.a√10/4.

16.5.a 21/6.

16.6.Указание: докажите, что четырехугольник является ромбом.

187

17.10.x = 3611 , y = −5011 .

17.11.а) На 400/3 ≈ 133,9 м. б) Лодку надо направить против тече-

ния под углом arctg(4/3) к берегу; при этом ее снесет на 320/3 ≈ 106,7 м.

17.12. Наименьшее расстояние — 15 миль; на этом расстоянии ко-

√

рабли окажутся через 3 3/2 ≈ 2,6 часов.

19.4. а) 1/2. √

19.5. а) (3 + 4 3)/10. б) π/4.

√ √ √ √ √

19.8. 4a/( 2 + 6), 2a 2/( 2 + 6).

√

19.9. 22 5/5.

19.12.(x cos ϕ + y sin ϕ; y cos ϕ − x sin ϕ).

√√

20.2.[− 5; 5].

20.3.б) −π4 + (−1)n π4 + πn, n Z.

24.2.а) ±π3 + 2πn, n Z. б) πn, n Z.

24.3.Объединение прямых, заданных уравнениями y = x и y =

188

+ 4πn, n Z.

24.11. К первой группе относятся тождества (а), (б), (г) и (е), ко

+πn, n Z.

25.1.а) πn3 , n Z. г) 10π + 2πn, 910π + 2πk, 1310π + 2πm, 1710π +

+2πl, n, k, m, l Z.

25.2.а) −π2 + 2πn, n Z. г) Решений нет. д) Решений нет.

25.3.а) 34π + πn, n Z. г) 15π + 60πn, n Z.

25.4.а) 0. б) При рациональных a и только при них.

25.5.k = 2 + 5t, t Z.

25.6.а) x = −10 + 19t, y = 9 −17t, t Z. б) Решений нет. в) Решений

189

28.1.i5 =√i, i6 = −1, i1999 = −i.

28.2.а) ( 3 + i)3 = 8i.

28.3.2 ± i.

28.4.а) 8 − 10i. б) −i.

√√

28.7.1, −12 + i 23 , −12 − i 23 .

28.8.±(3 − 2i).

29.2. а) cos π2 +i sin π2 . в) 2 cos π6 +i sin π6 . г) cos(ϕ+π)+i sin(ϕ+π). 29.10. а) (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6.

б) cos 6ϕ = cos6 ϕ − 15 cos4 ϕ sin2 ϕ + 15 cos2 ϕ sin4 ϕ − sin6 ϕ. sin 6ϕ =

=6 cos5 ϕ sin ϕ − 20 cos3 ϕ sin3 ϕ + 6 cos ϕ sin5 ϕ.

30.4.а) πi + 2πin, n Z.

30.9.б) π2 + πn, n Z.

30.10.Нет.

190

Предметный указатель

191

192

193

Оглавление

§14. Теорема косинусов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

§15. Вокруг площади треугольника . . . . . . . . . . . . . 69

195

§17. Векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

17.1.Направленные отрезки и векторы . . . . . . . . 79

§21. Двойные, тройные и половинные углы . . . . . . . . 108

§22. Преобразование произведения в сумму

§24. Как решать тригонометрические уравнения . . . . . 133

§25. Отбор чисел на тригонометрическом круге . . . . . 147

§26. Как решать тригонометрические неравенства . . . . 155

§27. Задачи на повторение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

§28. Что такое комплексные числа . . . . . . . . . . . . . 164

§29. Модуль и аргумент комплексного числа . . . . . . . 169

§30. Показательная функция и формула Эйлера . . . . . 178