19π

10π

10π

23π

23π

Интервал

h

;

h

;

i

h

; 4πi

6

3

3

6

6

2 sin x + 1

−

−

+

2 cos

x

− 1

−

+

+

2

Левая часть

+

−

+

Теперь, выделяя промежутки, на которых левая часть неот-

рицательна, и прибавляя к их концам 4πk, получаем

πk;

2π

+ 4πk

7π

+ 4πk;

11π

+ 4πk

19π

+ 4πk;

10π

;

h 6

i;

h

Ответ: h4

23π

3

6

6

3

+

+ 4πki; h

+ 4πk; 4π + 4πki (k Z).

6

h

7π

11π

i

h

19π

10π

i

h

23π

и так:

+ 4πk;

+ 4πk ;

+ 4πk;

+ 4πk ;

+

6

6

6

3

6

+ 4πk;

14π

+ 4πk

(k

Z). Убедитесь, что ответ в этой форме

3

задает

то же

самое множество значений x.

Задача 26.8. Решите неравенства:

sin 3x

π

а)

6 0;

б) cos 2x > cos x +

;

sin 5x

6

в)

3 sin x + 1

< 1.

2 cos x + 1

Задача 27.1. Решите уравнения:

а) sin x + cos x = cos 2x;

б) sin2 x + cos2 3x = 1;

cos2 3t

cos2 t

в)

+

= 0;

г) sin6 x + cos6 x = sin 2x;

tg t

tg 3t

е) tg 3x − tg x = 4 sin x;

д) ctg x + ctg 3x = tg 2x;

π

π

н) sin 3x sin x +

;

м) 2 cos 2x − 3

+ 1 = cos

x + 3 ;

1 = cos 2x

7π

о) cos 2x + 2 cos x + 7 = 2 sin

+ x

+ 4 sin2

x

;

2

2

2

п) 4(sin 4x − sin 2x) = sin x(4 cos

3x

+ 3)

;

р) sin 3x − sin x + cos 2x = 1;

с)

√

3

sin x + 2 cos x = √

3

+ sin 2x;

т) sin x + cos 4x + 2 sin 5x = 4.

Задача 27.2. Решите уравнения

а)

√

+ 2 sin x = 0;

5 cos x − cos 2x

б)

√

=

√

;

1 − 4 sin x

1 − 4 cos 2x

г)

1

+ sin x =

1

+ sin 3x;

√

2

2

√

д) √

2 sin x sin 2x =

5 cos x + 4 sin 2x;

е)

5 sin x − cos 2x + 2 cos x = 0;

r

r

x

x

ж)

cos 2x + sin

= sin x + sin

.

2

2

a = b2;

Указание. Уравнение √

a

= b равносильно системе b > 0,

урав-

a = b;

a = b;

нение √

a

= √b равносильно любой из систем a > 0

или b > 0.

Задача 27.3. Решите уравнения:

x

1

а)

cos2

−

= 3 cos x + 1;

2

3

cos x

б) |cos x|

= cos

2x − 1;

в) 4| cos x| + 3 = 4 sin2 x;

1

1

г) cos

sin x

=

2

;

;

√

1

√

д) sin π 8 cos2x =

cos

π

8 sin x

е) cos(π arcctg

x) =

;

13π

2

√

3

ж) sin

· sin x = −

.

9

2

Задача 27.4. Решите системы уравнений:

tg x + ctg x = 2 sin y −

π

;

(

3

а)

4

tg y + ctg y = 2 sin x +

3π

.

4

б)

(2

cos 2y

π

= 0.

sin2 x

√cos 2x cos x = 0;

−

−

1

3

в) (sin x cos y = −

;

2

tg x ctg y = 1.

(cos(2x + y) + cos x cos y = 0.

г)

sin(x − y) = 2 cos x sin y;

д)

(2 cos x− cos y = 0.

4 sin x

2 sin y = 3;

е)

(

−

2 sin x ctg y + 1 = 0.

p

1 + sin x sin y = cos x;

Задача 27.5. Решите неравенства:

а) cos 2x > sin x;

б) cos 2x > cos x − sin x;

√

в) 2 cos x(cos x −

8 tg x) < 5;

г) 4 sin x sin 2x sin 3x > sin 4x;

д) (cos x − cos 5x)(2 sin x + 3 cos x + 4) > 0;

√

√

1

1

>

| tg x −

3| +

3

е)

cos2 x −

.

ctg x

Задача 27.6. Решите уравнения:

а) sin2 x + cos2

14x = sin x + cos 14x −

1

;

2

б) x2 + 2x sin(xy) + 1 = 0;

в) sin10 x + cos16 x = 1;

1

г) sin2 x − 2 sin x sin y − 2 cos2 y + cos4 y +

= 0;

4

√

√

д) 2 3 sin 5x −

3 sin x = cos 24x cos x + 2 cos 5x − 6.

Задача 27.7. Найдите sin α, если sin 2α >

3

и tg α 6

1

.

5

3