чтобы получилось тождество, верное при всех достаточно малых положительных a и b?

§20. Формула вспомогательного угла, или сложение колебаний равной частоты

Повторить: § 13: Чему равно sin x + cos x?

В предыдущем параграфе мы с помощью формул сложения перешли от записи колебаний в виде u = A sin(ωt+ϕ) к записи u = = P cos t + Q sin t. Давайте теперь научимся переходить от второй записи к первой.

Если вместо t написать α, то задача будет такова: дано выражение P sin α+ Q cos α; требуется найти такие числа A и ϕ, чтобы выполнялось тождество P sin α+Q cos α = A sin(α+ϕ) (мы можем, очевидно, считать, что P и Q не равны одновременно нулю).

Предположим сначала, что нам удалось найти такое ϕ, что P = cos ϕ, Q = sin ϕ. Тогда наша задача решалась бы просто:

P sin α + Q cos α = cos ϕ sin α + sin ϕ cos α = sin(α + ϕ).

Однако в общем случае такого числа может и не существовать: ведь если P = cos ϕ, Q = sin ϕ, то P 2 + Q2 = cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1,

а сумма квадратов двух произвольных чисел P и Q равняться единице не обязана. Поэтому применим небольшой трюк, а именно

p

умножим и поделим наше выражение на P 2 + Q2:

102

тригонометрической окружности; пусть ϕ — какое-нибудь из соответствующих ей чисел. Тогда выполнены равенства

Итак, наша цель достигнута.

Если числа P и Q не равны 0, то

p

Эта формула называется формулой вспомогательного угла (вспомогательный угол — это ϕ).

Если поделить друг на друга выражения для sin ϕ и cos ϕ, то получится равенство tg ϕ = Q/P , так что возникает искушение написать попросту ϕ = arctg(Q/P ). К сожалению, так писать можно только если P > 0:

вэтом случае точка, соответствующая ϕ, лежит правее оси ординат, и поэтому ей соответствует число из интервала (−π/2; π/2), в котором лежат арктангенсы всех углов. Если P < 0, то это уже не так (тогда

вкачестве ϕ годится число arctg((Q/P ) + π)).

Теперь мы можем довести до конца исследование функции y = sin x+ cos x, начатое в § 13. Если преобразовать выражение sin x+ cos x по нашему рецепту, то получится вот что:

103

Рис. 20.1.

Стало быть, график нашей функции — действительно синусоида;

в) y = sin x − 3 cos x.

Задача 20.2. Найдите множество значений функции y = sin x −

− 2 cos x.

Нашу формулу вспомогательного угла можно получить и геометрически. Напомним для начала, что вектор длины r, образующий с осью абсцисс угол α, имеет координаты (r cos α; r sin α) (рис. 20.1а).

Теперь рассмотрим вектор OA, имеющий длину P и образующий с осью абсцисс угол α, и перпендикулярный ему вектор OB, имеющий длину Q и образующий с осью абсцисс угол α + π/2 (рис. 20.1б). Тогда

OA = (P cos α; P sin α), OB = (−Q sin α; Q cos α)

(второе равенство вытекает из формул приведения sin(α + π/2) = = cos α, cos(α + π/2) = − sin α), откуда

OA + OB = (P cos α − Q sin α; P sin α + Q cos α).

104

Однако сумму можно найти и по правилу параллелограмма: OA+

+OB = OC, где точка C — вершина прямоугольника OACB. По

√p

теореме Пифагора имеем OC = OA2 + OB2 = P 2 + Q2; если обозначить AOC через ϕ, то вектор OC образует с осью абсцисс угол α + ϕ, откуда

p p

OC = P 2 + Q2 cos(α + φ); P 2 + Q2 sin(α + φ) .

Приравнивая ординаты векторов OC и OA + OB, получаем, что

p

P sin α + Q cos α = P 2 + Q2 sin(α + ϕ).

Угол ϕ найдем также геометрически: из прямоугольного треугольника OAC видим, что tg ϕ = AC/OA = Q/P . Это также согласуется с предыдущими результатами (напомним, что числа P и Q положительны).

Задача 20.4. Если приравнять абсциссы векторов OC и OA+ OB, то для положительных P и Q получится формула

p

P cos α − Q sin α = P 2 + Q2 cos(α + ϕ),

где ϕ = arctg(Q/P ). Выведите эту формулу, не используя векторов.

Прием, которым мы воспользовались, позволяет придать геометрический смысл и другим тригонометрическим выкладкам. Давайте, например, упростим выражение sin α + sin(α + 120◦) + +sin(α−120◦) (задача 19.3 из предыдущего параграфа). Для этого отложим от начала координат следующие три вектора a, b и c, соответствующие точкам α, α − 120◦, α − 120◦ тригонометрической окружности: a = (cos α; sin α), b = (cos(α − 120◦); sin(α − 120◦)), c = (cos(α + 120◦); sin(α + 120◦)) (рис. 20.2а). Если искать сумму a + b + c геометрически (откладывая b от конца a и т. д.), то ясно, что наша ломаная из трех звеньев замкнется в правильный треугольник, так что a + b + c = 0 (рис. 20.2б). Записывая же сумму a + b + c в координатах, получаем равенства

sin α + sin(α + 120◦) + sin(α − 120◦) = 0, cos α + cos(α + 120◦) + cos(α − 120◦) = 0.

105

u1 = A1 sin(ωt + ϕ1), u2 = A2 sin(ωt + ϕ2). Как найти амплитуду и фазу их суммы u1 + u2? Если изобразить u1 и u2 вращающимися векторами, то очевидно, что сумма этих векторов также будет вращаться со скоростью ω, и u1 + u2 будет равно ординате их суммы. Стало быть, при изображении колебаний векторами сумме колебаний соответствует сумма векторов. В частности, из рис. 20.3б и теоремы косинусов ясно, что длина суммы векторов

p

равна A21 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ1 − ϕ2), так что

A1 sin(ωt + ϕ1) + A2 sin(ωt + ϕ2) =

q

=A21 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ1 − ϕ2) sin(ωt + ψ),

где угол ψ также может быть найден геометрически (например, с помощью теоремы синусов).

При таком соответствии между колебаниями и векторами разложение

A sin(ωt + ϕ) = P sin ωt + Q cos ωt

соответствует разложению вектора на сумму векторов, параллельных осям абсцисс и ординат (так что коэффициенты P и Q — не что иное, как координаты вектора). Сдвиг начала отсчета времени на τ, в результате которого к фазе прибавляется число ωτ = ψ, соответствует повороту на угол ψ. Теперь становится понятным, почему полностью аналогичны ответы к задачам 19.11 и 19.12.

Описанное нами изображение колебаний с помощью векторов применяется в электротехнических расчетах; там его называют методом векторных диаграмм.

Задача 20.5. Рассмотрим колебания, заданные формулами u1 = = A1 sin ωt и u2 = A2 sin(ωt + ϕ). Найдите с помощью векторной диаграммы амплитуду и фазу для u1 + u2.

107