имеющие длину 1, параллельные осям абсцисс и ординат и направленные в сторону положительного направления этих осей. Эти векторы называются единичными координатными векторами. Очевидно, e1 = (1; 0), e2 = (0; 1). Рассмотрим теперь произвольный вектор a = (a1; a2) и запишем такие равенства: a =

= (a1; a2) = (a1; 0) + (0; a2) = a1 · (1; 0) + a2 · (0; 1) = a1e1 + a2e2. Как видите, координаты вектора a — это коэффициенты, с помощью которых он выражается через единичные координатные векторы.

Если e1 и e2 — единичные координатные векторы, то вектор a имеет координаты (a1; a2) тогда и только тогда, когда a = a1e1+ a2e2.

Задача 17.10. Даны векторы a = (2; −1), b = (1; −6), c = (2; 24). Найдите такие числа x и y, что c = xa + yb.

17.4. О векторах в физике

Многие физические величины представляют собой векторы. В самом деле, такие величины, как скорость, ускорение, сила, напряженность электрического поля, характеризуются не только величиной, но и направлением (если нам известно, из какого порта и с какой скоростью вышел корабль, то мы не можем сказать, где он будет через час, не зная направления его движения). Поэтому, например, скорость изображают в виде вектора, длина которого соответствует величине скорости, а направление указывает на направление движения. При этом формулировка многих физических законов использует те самые операции над векторами, которые мы только что определили. Простейший пример векторной величины в физике — это перемещение. Если тело, размерами и формой которого мы пренебрегаем, передвинулось из точки A в точку B, то говорят, что перемещение нашего тела равно вектору AB (если не пренебрегать размерами тела, то вектора для описания передвижения тела будет недостаточно: по дороге тело может и повернуться). Если тело сначала переместилось на вектор S1, а затем на вектор S2, то в результате его перемещение

91

Рис. 17.14. Перемещение.

будет равно S1 + S2 (рис. 17.14а). Точно так же складываются перемещения, если тело совершило перемещение S относительно платформы, которая за это время сама совершила относительно нас перемещение S: перемещение тела относительно нас будет равно S1 + S2 (рис. 17.14б).

Так как скорость — это перемещение за единицу времени, то скорость тоже является векторной величиной. Свойство перемещений, изображенное на рис. 17.14б, для скоростей будет выглядеть так: если платформа движется относительно нас со скоростью u, а тело движется относительно платформы со скоростью v, то относительно нас тело движется со скоростью u + v.

Задача 17.11. а) Скорость течения реки равна 5 /, ширина реки равна 80 , гребец в лодке развивает скорость 3 / относительно воды. Гребец переправляется через реку, направив лодку перпендикулярно берегу. На какое расстояние снесет лодку?

б*) Как надо направить лодку, чтобы ее снесло течением как можно меньше? На какое расстояние ее при этом снесет?

Задача 17.12. Два корабля, находящиеся друг от друга на расстоянии 30 миль, движутся со скоростью 10 узлов1 (каждый) курсами, указанными на рис. 17.15. На какое наименьшее расстояние они сблизятся? Через какое время после момента, показанного на рисунке, это произойдет?

1Узел — единица скорости, равная одной морской миле в час.

92