Рис.44. Факторное пространство трехфакторной модели Геометрическая интерпретация:

Для модели и выше трехфакторной – поверхность отклика – гиперповерхность. Для их исследования их надо разбивать на 2-х факторные условно.

Поверхность внутри куба - совокупность всех возможных комбинаций трех параметров, вершины - строки плана эксперимента.

y (xi )

Грань куба определяет значение фактора: «+» или «-» единица.

Грани ограничивают факторное пространство состояния факторов. В эксперименте мы работаем на гранях куба (реже внутри куба). За пределами факторного пространства (куба) наша математическая модель работать не будет, не будет давать достоверных результатов. Следовательно, модель работает по интерполяции.

Куб - отражение факторного эксперимента.

Вершина - геометрическая интерпретация одного опыта.

2. План дробного факторного эксперимента ДФЭ

N=mk-p,

где m - число уровней, p - показатель дробности (p≥1), k - число факторов.

Планы ДФЭ позволяют уменьшить количество опытов в 2 и более раз, но при этом получается накладка влияния факторов и их взаимодействия друг на друга можно определить с помощью специальных действий.

Чтобы сократить число опытов, нужно новому фактору присвоить вектор-столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь. Тогда значение нового фактора в условиях опытов определяется знаками этого столбца.

Пример плана ДФЭ: 24-1

X0 – фиктивный фактор – отсутствует. N=24-1=8, N=24=16.

59

Рис.45. Пример плана ДФЭ 24-1

1) Планирование дополнительного столбца выполняется с помощью планирующих соотношений.

ПС: x4=x1x2x3

Выбирается такое планирующее соотношение, которое дает минимальный эффект на выходной параметр.

2) Записываются определяющие соотношения.

ОС: x4x4=x1x2x3 x4 1 = x1x2x3 x4

3) Построение эффектов смешения для каждого члена математической модели (т.е. умножаем обе части уравнения, определяющего соотношения, на соответствующий член).

β1 – истинный эффект от воздействия x1

1∙x1= x1x1x2x3 x4 x1x1 = 1

Таким образом, построив смешивающие эффекты, можно узнать какой из факторов имеет наибольшую погрешность в отображении математической модели, полученной по дробному факторному эксперименту.

β234

0 β2 Yj

Смещение истиной оценки, вызывается эффектом смешивания.

Рис.46. Смещение истиной оценки

Пример плана ДФЭ: 25-2

N=25-2, 2- говорит о том, сколько факторов из ядра плана заменяется на взаимодействие и одновременно показывает насколько сокращается число опытов.

N=25-2=8, N=25=32.

60

Алгоритм плана ДФЭ:

1. В соответствии с показателем q выбираются планирующие соотношения

x4 = x2x3 x5 = x1x2x3

Планирующие соотношения:

1.В ДФП замещаемые факторы планируются как взаимодействия, при этом выбираются наиболее слабые взаимодействия, 3 или более из парных выбираем из таблицы взаимодействий.

2.Описание планирующего соотношения, планирующее соотношение расписывается для факторов, являются дополнительным к ядру плана ДФЭ.

Ядро ДФЭ включает в себя количество факторов ядра k-p, т.е. 5-2=3, т.е. в ядре 3 фактора.

3.Построение ПЭФ для факторов ядра.

4.Строим планирующие соотношения для дополнительных факторов.

5.Запись определяющего соотношения, ОС строится для оценки эффектов смешивания факторов и взаимодействий, они выявляются для каждого элемента математической модели для ДФЭ (оценивается наложение искажающих эффектов):

Обе части ПС умножаются на левую часть

x4x4 = x2x3 x4 x5x5 = x1x2x3 x5

x4x4 = 1 → 1 = x2x3 x4 x5x5 = 1 → 1 = x1x2x3 x5

ГОС (генеральное определяющее соотношение) получается в результате перемножения. ГОС: 1=x2x3x4=x1x2x3x5=x1x4x5 говорит о том, что каждый из факторов будет иметь 3

составляющих погрешности.

6.Введем bi- истинное значение коэффициента регрессионной модели.

7.Определение эффекта смешивания

x - оценочное значение коэффициентов относительно него. Составляющие погрешности – B1, В2,В3, …

Эффекты двойные и одинарные, как правило, имеют один количественный уровень, поэтому необходимо избегать смешивающих эффектов и применять ДФЭ только для k>4 (смешивание эффектов больше 3 порядка оказывает min смещение на оценке основных коэффициентов). Смешивание воздействий вызывает смещение оценок от истинного значения. ГОС умножаем на x1:

x1=x1x2x3x4=x1x1x2x3x5=x1x1x4x5

Говорит о том, что при получении значений регрессионного уравнения вi на значении коэффициента на в1, например, оказывают воздействие так называемые смешивающие

коэффициенты 123, 235, 45 они вызывают смещение значения Bi относительно истинного. Таким

61