В математической модели размерность имеют коэффициенты bijk.

Рис.38. Ось координат безразмерных величин

Построение эксперимента с безразмерным обозначением факторов осуществляется по принципу Адамара, и соответствующие планы называются матрицами Адамара.

В плане первым проставляется фактор X0 – фиктивный, записываемый для расчета значений выходного параметра и оценки свойств члена уравнения.

План ПФЭ выражается математической моделью:

Количеством точек l можно описывать уравнение (l -1) – го порядка.

- описывает взаимодействие 3-х факторов (t˚, влажность, P) и это только первый плюс такого плана.

N = g∙n,

где N – число опытов, n – число опытов в одном эксперименте, g – число повторных экспериментов.

В связи со сложностью технических систем и с тем, что испытания не всегда могут быть повторены по всем входным параметрам и условиям проведения эксперимента (т.е. в точности эксперимент воспроизвести невозможно), все технические эксперименты являются невоспроизводимыми.

Число g = 3 дает возможность подтверждения результатов эксперимента и рассчитать статистические характеристики.

Рандомизация – опыты должны быть произведены в случайном порядке и отличаться в разных экспериментах.

Свойства планов ПФЭ: ПЭФ 2х2

1. Симметричность (симметричность относительно центра эксперимента) – алгебраическая сумма элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или в каждом из столбцов

55

количество факторов на низшем уровне равно количеству факторов на высшем уровне.

N

x ji 0 ,

i 1

где j – номер фактора, N – число опытов, j = 1, 2,…, k.

2. Нормированность (либо условие нормировки) – сумма квадратов элементов каждого

N

столбца равна числу опытов, или x2ji N .

i 1

3. Ортогональность (ортогональность матрицы планирования) – сумма почленных

N

произведений любых двух вектор-столбцов матрицы равна нулю, или xi x j 0

Это говорит о том, что векторы факторов направлены перпендикулярно друг другу и не оказывают существенного влияния друг на друга. Влияние определяется по значению выходного параметра. Приводит к тому, что из уравнения можно выбросить незначительные члены без перерасчета других коэффициентов.

Xi

Xj

Рис.39. Свойство ортогональности

4. Рототабельность – точки в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.

Так же данное свойство говорит о том, что в этом плане получаемые погрешности выходного параметра будут одинаковы на сфере радиуса ρ = 1. Свойство рототабельности позволяет сравнивать значение выходного параметра и количественно определять эффект влияния на него факторов включаемых в модель.

Yj = 4; X3 = -1

ρ

Yj+1 = 10; X3 = +1

Рис.40. Свойство рототабельности

Yj и Yj+1 – измерены с одной погрешностью.

Это позволит оценить влияние факторов с высокой достоверностью.

При включении факторов в план эксперимента необходимо определить их взаимную коррелированность или техническую совместимость.

Геометрическая интерпретация плана и его математической модели. ПЭФ 2

56

План эксперимента может быть (в зависимости от числа факторов) представлен различными геометрическими моделями.

а) yj=f(x1) – однофакторная

Линия

регрессии

Yj

Геометрическая

интерпретация Рис.41. Интерпретаци однофакторной модели

1 уровень геометрической интерпретации - факторная ось. Однофакторный план ему соответствует уравнение регрессии - однофакторное, линейное, которое интерпретируется линией

б) yj=f(x1,x2) – двухфакторная

0

Рис.42. Факторная плоскость двухфакторной модели

57