§ 5.12. Анықталған интегралдың колданылуы

1. Қисық доғасының ұзындыгы. Егер

(1)

теңдеулеріндегі φ мен ψ функциялары [а,b]-да үзіліссіз болса, онда ол теңдеулер t параметрінің көмегімен берілген жазықтағы үзіліссіз қисықты анықтайды. t параметрі өссе, (φ(t),ψ(t)) нүктесі жазықтықта қозғалып отырады. t-нің әр түрлі мәндеріне, мысалы, t =t₁, t=t₂ (t₁≠t₂) мәндерінде жазықтықтын бiр ғана нүктесі сәйкес келуі де мүмкін:

Егер φ(t) мен ψ(t) функцияларының [а,b]-да үзіліссіз туындылары бар болса және

(2)

орындалса, онда (1) – тегіс қисық деп аталады.

Егер

(3)

теңдеулеріндегі φ,ψ,x функциялары [а,b]-да үзіліссіз болса, онда олар кеңістіктегі үзіліссіз қисықты анықтайды. Ол қисықты Г арқылы белгілейік. Егер φ,ψ,x функцияларының [а,b]-да үзіліссіз туындылары бар және олар бip мезгілде нөлге тең емес, яғни

(4)

болса, онда Г - тегіс қисық деп аталады.

Теорема.

теңдеулерімен берілген тегіс қисық – түзуленетін қисық және оның ұзындығы

(5)

тең.

Осы доғаның дифференциалы

(6)

Г R₂ қисығы үзіліссіз дифференциалданатын

Г: y = f(x), а≤х≤b (7)

функциясы арқылы берілсе, онда

яғни, қисықты х - параметрі арқылы берілді деп есептеуге болады. Олай болса, (5) бойынша

(8)

ал доға дифференциалы

(9)

тең.

Егер Г R₂ қисығы поляр координаттары арқылы

Г: р = р(φ), α≤φ≤β берілсе, онда

(10)

2. Жазық фигура ауданы. Егер [а,b] кесіндісінде функция f(x)≥0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасы бойынша y = f(x) қисығымен, Ох-өсімен және х=а, х=b түзулерімен шенелген қисық сызықты трапеция ауданы

(11)

тең.

Егер [а,b]-де f(x)≤0 болса, онда (11) анықталған интегралда ≤0 болады, ал оның абсолют шамасы сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына тең.

Егер f(x) таңбасы [а,b]-де ақырлы сан рет өзгерсе, онда y = f(x), Ох, х=а, х=b қисықтарымен шенелген жазық фигура ауданы үшін [а,b] кeciндiciн f(x) таңбасы тұрақты болатындай бөліктерге бөліп, осы бөліктер бойынша алынған интегралдардың абсолют шамаларының қосындысын алуға болады немесе

(12)

интегралын есептеу керек (29-сурет)

29-сурет

Егер y=f1(x), y = f₂(x), x=a, х=b (f₁(x)≤f₂(x), ) қисықтарымен шенелген фигура ауданын табу керек болса, онда

(13)

аламыз (30-сурет)

30-сурет

Егер қисық x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β (φ(α) =a, φ(β) =b) параметрлік теңдеулермен берілсе, онда (11)-интегралда x=φ(t) айнымалы алмастыруын жасай отырып

(14)

31-сурет

О полюстен шығатын φ = α, φ= β сәулелерімен және поляр координаталары бойынша үзіліссіз r = f (φ) функциясымен берілген қисықпен шенелген фигураның S ауданын келесі түрде анықтауға болады (31-сурет).

(15)

тең деп саналады

3. Айналу дененің көлемі. Тік бұрыш х,y координаталар жуйесіне үзіліссіз оң y = f(x), a≤x≤b функциясымен сипатталған Г қисығы берілсін. Г қисығының х өсін айналуынан шыққан бетпен және х = а, х=b жазықтықтарымен шенелген

32-сурет

айналу денесінің V көлемінт есептеу керек болсын (32-сурет). Айналу денесінің көлемі

(16)

Қорытынды. № 59-60 лекциялардан кейін студент анықталған интегралды пайдаланып күрделі қисықтармен шектелген ауданды, айналу денесінің көлемін, пластинканың массасын т.с.с. үйренеді әрі есептер шығарып машықтанады.