§3.3. Шектер

1. Нақты сандар тізбегі және оның шегі

Аныктама. Нақты сандар тізбегі деп натурал сандар жиынында анықталған f:NR функциясын айтады. Мұндай функцияның мәндері x_n=f(n),nN (немесе а_П,Ь_П т.с.с.) арқылы белгілейді де оларды тізбек мүшелері немесе элементтері, п - санын х„ – мүшесінің нөмірі деп атайды.

Тізбекті

{x_n}; x₁ х₂,...,x_n; х_1;х₂,...,{x_n j^_n=1; x_n, nN; х_n, n = 1,2,... символдарының бірімен белгілейтін

боламыз.

Анықтама. Егер әрбір (кез келген) >0 саны арқылы, барлық п>n_нөмірлері үшін

x_n-a< (1)

теңцсіздіг1 орындалатындай п_е оң саны ( - санына теуелді) табылса, онда "а" саны {х_n} тізбегенің шег1 деп аталады да

limx_n=a немесе\irnx_п= а немесех_па (и)

арқылы белгіленеді, және "{x_n} тізбегінің (айнымалысының) "а"-санына тең шегі бар" немесе "{х_n} тізбегі "а" - ға ұмтылады" немесе "{ x_n } тізбегі (айнымалысы) "а" - санына жинақталады" дейді.

Егер nN, х_п =а болса, онда \1тх_п =limа = а екені анық.

Ескерту. Егер limx_n=а болса, онда kN үшін limx_n+k =lima = a.

Кез келген оң > 0 саны арқылып > п_ нөмірібар барлықх_а нүктелері O_(a) = (a-,a + ) маңайында жататындай п_ саны табылса, онда"а" саных_n төбегініңшегіболады.

Ал п≤п_£ нөмірібарх„ нүктелеріO_(a) маңайында жатуы да, жатпауы да мүмкін, яғниО_(а) маңайыныңсыртындах_n нүктелері бар болса, онда олардыңсаны ақырлы. Сондықтан шек түсінігінбалайда анықтауға да болады: егер "а" нүктесініңкез келген маңайыныңсыртында жатқанх_т нүктелеріақылылы немесе бос жиын болса, онда "а" нүктесі х_n тізбегінің шегі болады.

Шегі бар тізбектердің қасиеттері.

1 - теорема. Егер х_n тізбегінің шегі бар болса, онда ол шек жалғыз.

2 - теорема. Егер Х_п тізбегі жинақты болса, онда ол тізбек шенелген. ~ •—— ——————

3 - теорема. Егер х_nе(а,b), онда_n=c[a,b]. Мысалы,

4 - теорема. Егер lim x_n = lim y_n = а және х_n ≤z_n ≤у_п, n = 1,2,... болса, ондаlimz_n = a.

5 - теорема. Егерх_n а, ондах_n а .

Шегі бартізбектерге арифметикалық амалдар.

Теорема. Егер lmх_n және limy_n шекгері бар болса, онда

Нт(х_n у_п), lim(x_n*y_n), lim- (limy_n0)шектері де бар, сонымен

6ipre келесі тендіктер орындалады:

lmc-x_n =c-limx_n, с-const;

lim(x_ny_H) = limx_nlimy_n;

lim(x_n*y_H) = limx_n*limy_n;

lim,limy_n0;

2. Шексіз азаятын және шексіз үлкейетін шамалар

Шегі нөлге тең а_n айнымалы шексіз азаятын шама немесе, қысқаша, шексіз аз деп аталады.

Сонымен, егер _ > 0 саны арқылы _n <, n > n_ теңсіздігі орындалатындай n_ саны табылса, онда х_n - шексіз аз шама.

х_n айнымалысының шегі"а" болуыүшін

х_n = а + а_n (а_n - шексіз аз) ,теңдігінің орындалуы кажетті және жеткілікті

Егер кез келген Е>0 саны арқылы \\>Е (п>п_) теңсіздігі

орындалатындай п_ саны табылса, онда_n - айнымалысы шеказ_ _¥лкейетін шама немесе жайғана шексіз улкен деп аталады да

lim_n=немесе_nm(1) деп жазылады және_n,шеказдікке ұмтылады дейді. Егер ақырсыз үлкен _n, қандайда 6ip n₀

- санынан бастап тек оңмәндер немесе тек теріс мәндерқабылдаса, онда сәйкес

lim_n=+, немесе _n+, (2) .

lim_n=-, немесе_n-(3)деп жазылады.

3. Анықталмаған өрнектер

1.limx_n limx_n =0 (у о)болса,тізбегінің шегі туралы алдын ала анық ешнәрсе айта алмаймыз. Мысалы,

егер

егер

егер

егер шегі шоқ

Сонымен, шегін табу үшін х_n  0, у_n 0 болатынын

білту жеткіліксіз. Бұл жағдайда х_n мен y_n айнымалыларының

езгерістерін сипаттайтын қосымша мәліметтер, шегін табуға

х_п арнайы тәсілдер колдану қажет. x_n0,y_n 0боллс онда өрнегі-түріндегі анықталмағанөрнек деп атайды.

Осы сияқты, егер:

1. x_n,y_nболсаб, онда -түріндегі

2. x_n0,y_nболсаб, онда У_n* y_n- (0*)түріндегі;

3 x_n+,y_nболсаб, онда x_n+y_n- (-)түріндегіанықталмаған өрнек деп аталады.

Анықталмағандыкты ашу сәйкес ернектің шегш (егер ол бар болса) табу деген сез, алайда бұл әрдайым оңай бола бермейді.

4. Монотонды тізбектер.е — саны

Анықтама.Егер

nN, x_n<x_n+1 (x_nx_n+1 ) (4)

теңсіздігі орындалса, онда {x_n } кемтейтін (өспейтін) тгзбек деп аталады.

Егер (4) қатыс катаң теңсіздіктер арқылы: x_n<x_n+l, (х_n>х_п+1) орындалса, онда\х_п } -өспелі(кемшелі) тізбек деп аталады.

Кемімейтін(өсетің) тізбектерәрдайым төменненx_l - санымен,

өспейтін(кемитін)тізбектерәрдайым жоғарыданх_{ - саныменшенелген.

Теорема. Егер {a_n } кемімейтін(өспейтің) тізбек және жоғарыдан М санымен (төменненm- санымен) шенелсе, онда

(15)

орындалатындай "а" саны табылады.

шеггі алғашқы рет Л. Эйлер үсынғандай "е"

арқылы белгілейміз,

(6)

е - саныньщ дәлірек мәні е = 2,7128....

5. ТізбектіңжинақталуыныңКоши шарты

"а" - нақты санға жинақталатын тізбек болсын: x_n=a.

Бұл дегеніміз, "  > 0 берілсе n > п_ нөмірлері үшін

x_n-a\<

тенсіздігі орыналатындай п_ε > О саны бар" деген сөз.

Онда n >n_, m>n_ натурал сандары үшін теңсіздігі орындалады. Сонымен, егер х_п айнымалының ақырлы шегі бар болса, онда ол үшін келесі Коши шарты орындалады: Егер кез келген  > О саны берілсе n,m> п_ нөмірлері үшін

теңсіздік дұрыс болатындай п_ саны табылады.

Коши шартын қанағаттандыратын сандар тізбегі фундаменталды (іргелі) тізбек деп атайды.

Коши шартына кері тұжырым да орындалады екен: егер нақты сандар тізбегі Коши шартынқанағаттандырса, яғниіргелі тізбек болса, онда х_nа, п   болатындай "а" – ақырғы саны табылады.

Сонымен келсі теорема орындалады:

Теорема (шектіңбар болуыныңКоши белпсі). нақы сандартізбегініңақырлы шегібар болуыүшін, оныңіргелітізбек болуықажеті және жетклікті.

Қорытынды. № 27-28 лекциялардан кейін студенттер шек, аймақ, тізбек, шексіз және шексіз үлкен шама түсінігін меңгеретін болады. Сандық тізбектің шегін табу тәсілдерін меңгереді.

№ 29-30 лекциялар. Функцияның шегі оны анықтау. Шексіз аз, шексіз үлкен функциялар және функция үзіліссіздігі.

6. Функцияның шегі.

y-f(x) функциясы а нүктесінің қандайда 6ip U(a) маңайында анықталған болсьш. ("а" - нүктесінде функция анықталмауы да мүмкін).

1 - анықтама. Егер кез келген >0 саны үшін f функциясының анықталу жиынында жататын және

О < х - а < () теңісіздіктері орындалатын барлық X сандары үшін

\f(x)-A\<

теңаздігі орындалатын ()>0 саны табылса, онда А саны f(x) функциясының "а"нүктестдегі шегі деп аталады да

f(x)A (xa) x  а  (х)  А (7)

символдарының бірімен белгіленеді.

1' - анықтама. Егер кез келген >0 саны үшін.

а<х<а +  (а-<х<а)

теңсіздіктері қанағаттандыратын барлық X үшін

\f(x)-A<

теңсіздігі орындалатындай () >0~~саны табылса анда "А" саны f(x) функциясының "а" нүктедегі оң жақ (сол жақ) шeгi деп аталады да

(x)=А; (x)=А, f(a+) =А,

(x)=А; (x)=А, f(a-) =А, m.c.c

символдарының бірімен белгіленеді.

Теорема. (x)шегібар болуыүшін (x)пен(x)

шектері бар және олардың өзара тең болуы қажетті және жеткілікті, яғни

(x)= (x)<=> (x)= A (8)

Мұнда да жоғарыдағыдай 6ipжақты шектерұғымын анықтауғаболады. оны оқырманға ұсынамыз.

(1) және (2) анықтамалар эквиваленто. Біз мұнда оныңдәлелдеуіне тоқталмаймыз. 1 және 2 - анықтамаларды сәйкес Коши және Гейне анықтамасы дейді.

Ескерту. "функцияның "а" нүктеден шегі" деген сейлемді кебінесе "x - а - ға ұмтылғанда функцияныц шегі", немесе, кысқаша " ха функция шегі " - деп айтады.

2- анықтама.Егер кез келген >0саны үшін x\>() теңсіздігін қанағаттандыратын барлық хХ үшін \f(x)-A\< теңсіздігі орындалатындай () > 0 саны табылса, онда -ке ұмтылғанда f(x) функциясының шегі бар және ол "А" санына тең дейді де (x)= А немесе f(x) А

(х  )т.с.с.' символдарының бірімен белгілейді.

Бұл жағдайға да "Біржақты шектер" ұғамын келтірейік. 3' - анықтама. Егер кез келген>0 саныүшінх>(} (х < -() теңсіздігінқанағаттандыратын барлык.X - терүшін \f(x)-A\<

теңсіздік орындалатындай S() > О саны табылса, онда х → -ке (- - ке) ұмтылғанда /(х) функциясының шегі бар және ол "А" санына тең дейді де

(x)- А немесе (x)= А

символдарынң бір мен белгілейді.

7. Шегі бар функциялардыңқасиетгері.

jc  о шeri бар f(х) функциясының қасиеттерін карастырайық (мұндағы а - нақты сан немесе , +, - шексіздіктерінің 6ipi).

1 - теорема, (x)шегі бар болса, ол шек жалғыз.

2 - теорема. Егер (x)= A және А - нақты сан болса, онда f(х) функциясы "а"- нүктесінің кандай да 6ip U(a) маңайында шенелген, яғни кез келген X :

х: xU(a)ха х - тер үшін |(х)|М

теңсіздігі орындалатындай М > 0 саны табылады

3 - теорема. Егер (x)= (x)= A

Және қандай да 6ipU(a), ха аймағындағых - терүшін(х)≤(х)≤₂(х) теңсіздіктері орындалса, онда (x)= А.

4 - теорема. Егер

шектері бар және олар нақты сандар болса, онда:

, (9)

(10)

c0

5 - теорема (шектерде аймымалы ауыстыру). Егер(x)=b (y) шектері бар және f(x)b (ха) болса, онда [f(x)] шегі бар және [f (х)]= (у).

6 - Теорема. (Шектің бар болуының Коши 6eлirici).

(x)- шегінің накты мәні болуы үшін, берілген әрбір  >0 саны бойынша

О < х' - а <  және 0 < х" - а <  теңсіздіктерін қанағаттандыратын кез келген х',х" сандары ушін

f(x')-f(x^)<

теңсіздік орындалатындай  () > 0 санының бар болуы қажетті және жеткілікті.

8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.

Осы пункттегі қарастырылатын функциялар "а"- нүктесінің қандай да 6ip U(a) маңайында анықталған (оның "а" нүктенің өзінде анықталуы шарт емес).

Анықтама. Егер (x)= 0, онда f(х) функциясы х а - ға ұмтылғанда шексіз аз) (ш.а.) деп аталады.

1 - Теорема. (x)= А тендігі орындалуы үшін

f(x) = A + α(x) (α(х) х а- ға ұмтылғандаш.а.) теңдігіорындалуықажетті және жеткілікті. Сонымен,

(x)= Аf(x) = A + (x), (x)0 (xа)

2 - Теорема. Егер ха ₁(х),₂(х),...,_n(х) шексіз аз болса,онда олардың косындысы мен көбейтіндісі де шексіз аз болады.

3 - Теорема. Шексіз аз бен шенелген функцияныңкөбейтіндісі шексіз аз болады.

Анықтама. Егер әp6ip  > 0 саны арқылы, 0 < х - а < _ теңсіздікстерін қанағаттандыратын х - тер үшін ((x)> теңсіздік орындалатындай _ > О саны бар болса, онда (x) функциясы ха шекіз үлкен функция немесе қысқаша хa шексіз үлкен деп аталады да \(x)=  немесе f(x)  (ха) симводдарының бірімен белгіленеді.

4 - теорема. Егер а - нүктесініңқандай дабipU(a) маңайында \f(x)\>M>Q және (x)= ((x)0,ха] болса, онда (x) • (х) = .

5 - теорема. Егер кез келген ха нүктелерінде(x)0, болса, онда,

(x)=0.

6 - теорема. ха ұмтылғанда бірдей таңбалы шексіз үлкен функциялардьң қосындысы (осы таңбамен алынған) шексіз үлкен болады, яғни

(x)=+  (x)=+  немесе (x)=- _; (x)=-  болса, онда

(x)+ (x)]= (x)+ (x).

7 - теорема.ха ұмтылғанда шексізүлкенболатын функция мена нүктесініңмаңайында шенелген функцияқосындысых а ұмтылғанда шексізүлкен функция болады.

9. Функциялардың үзіліссіздігі.

Анықтама. Егер y = f(x) функциясы:

1. х₀ - нүктесінде анықталған;

2. х₀ - нүктесінің қандай да 6ip U_(x₀) маңайында анықталған;

3. (x) = f(x₀) (12)

болса, онда ол х₀ - нүктестде функция үзілісіз деп аталады. Бұл анықтаманы кванторларды пайдаланып былайша жазуға болады:

(x) - функциясых₀ - нүктедеүзілісіз >0, _>0:xU_(*o)|(x)-(x₀)|<. (12)-теңдікгі (x) =f() (13).

деп те жазуға болады. Бұдан үзіліссіз функция белгісінің астына шекке өтуге болатынын көреміз.

Анықтама. Егер f(x) функциясы:

1. х₀ - нүктесінде анықталған;

2. х₀ - нүктесінің қандай да бip оң жақ

маңайында сол жақ маңайында) анықталған;

3.

болса, онда ол х₀ - нүктесінде оң жағында (сол жағында) үзіліссіз функция деп аталады.

y-f(x) функциясых₀ - нүктесінде үзіліссіз болуы ушін олх₀

- нүктесінің оң жағында және сол жағында үзіліссіз болуы қажеттіжәне жеткілікті:

функциясының - нүктесінде үзіліссіз болуының анықтамасы келесі түрлерде де жазылады:

т.с.с.

Мұндағы саны «аргументтің нүктедегі өсімшесі» , ал саны функцияның х₀ - нүктесіндегі (х - ке сәйкес) өсімшесі деп аталады.

1-теорема (монотонды функцияның үзіліссіздігі туралы).[а,b]-кесіндісінде y = f(x) монотонды және [f(a),f(b)] кесіндісіндегі барлық мәндерді қабылдайтын функция болса, онда ол (а, b) аралығының әрбipнүктесінде үзіліссіз, ал"а" мен"b" нүктелерінің,сәйкес, оң және сол жақтарында үзіліссіз болады.

Бұл теоремадан барлық негізгі элементар функциялардың өздерінің анықталу аймағының ішкі нүктелерінде үзіліссіз, ал анықталу аймағының шекаралық нүктелерінде біржақтан (оң, сол жақтан) үзіліссіз болатыны шығады. Өйткені, негізгі элементар функцияның анықталу аймағының кез келген нүктесін, функция монотонды және[f(a)<f(b)] кесіндісіндегі барлық мәндерді қабылдайтындай [a, b] кесіндісіне енгізуге болады.

2 - теорема. Егер жәнеg(x) функцияларых₀ – нүктесінде үзіліссіз болса, ондафункциялары, ал ондафункциясых₀ нүктесінде үзіліссіз болады.

3 - теорема (күрделі функцияның үзіліссіздігі). Егер y = f(x) x₀ - нүктесінде үзіліссіз және ал нүктесінде үзіліссіз болса, онда z = g[f(x)] күрделі функциясы -нүктесінде үзіліссіз болады.

Қорытынды. № 29-30 лекциялардан кейін студенттер функция шегін оның шексіз аз немесе шексіз үлкен екендігін және функция үзіліссіздігін анықтай алатын болады.

№ 31-32 лекциялар. Тамша шектерді табу, анықталмағандықтарды ашу, шексіз аз функциялар мен шексіз үлкен функцияларды өзара салыстыру, біржақты шектерді табу қарастырылады.

10. Екі тамаша шек

— және түріндегі анықталмағандықтарды ашуға көбінесе

келесі екі мысалды пайдалануға болады:

(бipiншi тамаша шек). (14)

(екінші тамаша шек). (15)

11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамаларды салыстыру

а нүктесінің қандайда бip U(a) маңайында анықталған (а -нүктесінде анықталмаса да болады) а(х) пен (x) функцияларынан қарастырамыз.

Анықтама. Егер және (16)

шарттары орындалатындай U(a) маңайында анықталған функциясы табылса, онда (ұмтылғанда) функциясы — функциясымен салыстырғанда шексіз аз деп атайды да

(17)

арқылы белгіленеді және (ұмтылғанда) (х) функциясын -пен салыстырғанда кішкене" немесе, қысқаша, "а - да -қе қарағанда кішкене" деп оқылады.

Егер болса, онда .

Егер (17) қатыста (ұмтылғанда) шексіз аз, яғни болса, онда (ұмтылғанда) функциясы-пен салыстырғанда жоғарғы peттi шексіз аз" деп, ал пен (ұмтылғанда) шексіз үлкен, яғни

болса, онда " (ұмтылғанда) функциясы - пен салыстырғанда төменгі peттi шексіз үлкен" деп аталады.

Егер (18) теңдігі орындалса, онда "х->а (ұмтылғанда) функциясы -ке эквивалентті (асимптоталық тең)" деп аталады да (19) арқылы белгіленеді.

Теорема. Егер болса онда

(20)

(21) 2. Үзілісті нүктелер және олардың түрлері.

функциясы х = а нүктесінде және оның қандайда бip U(a) маңайында анықталған, сонымен бipre f(a+) мен f(a-) шектері бар және

(22)

теңдіктері орындалса, онда х-а нүктесінде үзіліссіз функция деп аталатды.

Егер болса, онда х=а нүктесі біріншітекті үзілісті нүктесі деп аталады. Егер шектері бар, бірақ, (22) - теңдіктердің ең болмағанда бipeyi орындалмаса, онда х = а нүктесінде бірінші текті үзіліссіз функция деп аталады.

Егер біржақты шектерінің ең болмағанда бipeyi жоқ болса немесе шексіздікке тең болса, онда нүктесі ешнші текті үзілісті нүктесі функция деп аталынады.

13. Кесіндіде үзіліссіз функциялардың қасиетттері

Егер f функциясы (а,b) аралығының барлық нүктелерін үзіліссіз, "а" нүктесінің оң жағынан және "b" нүктесінің сол жағынан үзіліссіз болса, онда ол [а,b] кесіндісінде үзіліссіз деп аталады.

Алдымен келесі Больцано-Коши теоремаларын (1 - теорема мен салдар) қарастырайық.

1 - Теорема. Егер f функциясы [а, b] кесіндісінде үзіліссіз және f(a)-f(b)<0, яғни f(a) мен f(b) мәндерінің таңбалары әртүрлі болса, онда теңдігі орындалатындай(а, b) аралығынан кем дегенде бip "с" нүктесі табылады

(25-сурет).

2-Теорема.(Вейерштрасстың бірінші теоремасы) Егер кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда ол –де шенелген, яғни

теңсіздігі орындалатындай К > 0 саны табылады.

3 - Теорема. (Вейерштрасстың екінші теоремасы). Егер fфункциясы кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болса, онда оның [а, b] - да ең үлкен және ең кіші мәндері болады, яғни

орындалатындай нүктелері табылады.

Анықтама. f(x) X - жиынында анықталған функция болсын. Егер әрбір саны бойыншатеңсіздігін қанағаттандыратын кез келген сандары үшінтеңсіздігі орындалатын саны табылса, онда f функциясы X жиынында бірқалыпты үзіліссіз дейдi.

Ескерту: 1) Үзіліссіздікті бip нүктеде ғана анықтау мүмкін болса, бірқалыпты үзіліссіздік тек қана жиында анықталады;

2) егер f функциясы х жиынында бірқалыпты үзіліссіз болса, онда сол жиында үзіліссіз болады, ал кері тұжырым келесі теорема шарты орындалса ғана дұрыс.

Теорема (Кантор). Егер f [а,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндідеде бірқалыпты үзіліссіз болады.

Қорытынды. № 31-32 лекциялардан кейін студенттер тамаша шектерді табу, анықталмағандықтарды ашу, шексіз аз функциялар мен шексіз үлкен функцияларды өзара салыстыру, біржақты шектерді табу тәсілдерін меңгеретін болады.

№ 33-34 лекциялар. Бір айнымалылы функцияның туындысы, оның геометриялық және механикалық мағынасы. Туындыны есептеу жолдары.