§4.6. Жоғары peттi дербес туындылар мен толық дифференциалдар. Тейлор формуласы

1. Жоғары peттi дербес туындылар. z = f(x,y) функциясының (х,у)Gнүктелерінде дербес туындылары:

бар болса, онда бұл туындьшарды G -жиынында берілген жаңа функциялар деп қарастыруға болады.

Осы функциялардан алынған дербес туындылар f(x,y) функциясының екінші peттi дербес туындылары деп келесі түрде белгілінеді (олар төртеу):

жэне - туындыларыаралас деп аталады; оның бipiншісі алдымен х, содан соң у бойынша, ал екіншісі, керісінше, алдымен у, содан соң х бойынша дифференциалдау арқылы алынған.

Егер (x,y)Gнүктелерінде екінші ретті туындылар (барлығы немесе қандай да бipeyi) бар болса, онда үшiнші peттi туындылардың бар болуы туралы сұрақ туады.

Жалпы, n-шi peтті дербес туынды деп қандай да бip n -1)-ші ретті туындының кез келген бip айнымалысы бойынша дербес туындысын айтады. Мысалы,

бipiнші peттi дербес туындылар, ал f-функциясының өзін нөлінші peтті дербес туынды деп атайды.

Дербес туындыларды келесі символдармен де белгілейді:

Егер координаталарытepic емес бутін сандар болатын вектор болса, онда,

деп жазады.

Дифференциалдау нәтижесі дифференциалдау ретіне тәуелді ме деген сұрақ тууы мүмкін.

Теорема (аралас туындылар туралы). Функция u = f(x,y) пен оның дербес туындылары

нүктесінің қандай да бip маңайында анықталсын.

Егер

Р₀ нүктесінде үзіліссіз болса, онда

(1)

яғни, дифференциалдау нәтижесі дифференциалдау ретіне тәуелді болмайды.

Ескерту. Егер үзіліссіздік шарты орындалмаса, онда Р₀ нүктесінде аралас туындылар өзара тең болмауы да мүмкін.

2. Жоғары ретті дифференциал. z = f(x,y) функциясының бірінші peттi дербес туындылары P = (x,y)G нүктесінде үзіліссіз болсын. Онда оның толық дифференциалы

(2)

түрінде жазылады. Мұнда dz теуелсіз айнымалы х пен у-ке және олардың дифференциалына dx, dy тәуелді Р(х,у) нүктесінде үзіліссіз дербес туындылары болатын кез келген и = и(х,у) және v = v(x,y) функциялары үшін келесі қасиеттер орындалады:

сонымен бipгe, жақшадағы функциялардың дербес туындылары Р(х,у) нүктесінде үзіліссіз болады.

Енді z = f(x,y) функциясының екінші peттi дербес туындылары үзіліссіз болсын. Анықтама бойынша оның екінші peттi дифференциалы деп бірінші peттi dz толық дифференциалдың толык, дифференциалын айтады және мұнда dx пен dy тұрақты, яғни х пен у-ке тәуелсіз деп саналады. Сонымен,

Бұдан, екінші ретті аралас туындылардың үзіліссіздігін ескертіп

аламыз.

Дәл осылайша кез-келген жоғары peттi дифференциалды анықтауға болады, мысалы,

Математикалық индукция әдісін қолданып, n-i peттi дифференциалды жазуға болады. Оны бiз символ арқылы жазайық:

(5)

Біз мұнда алдымен өрнекті n-дәрежеге дәрежелейміз де, содан соң ⁿ символының астынаzжазамыз.

3. Тейлор формуласы. z - f(x,y) функциясының р₀(x₀,y₀) нүктесінің маңайында l-шi peттi қоса алғанға дейінгі дифференциалдарының барлығы үзіліссіз болсын. Осы маңайдан p₁(x₀ + х., у₀ + у) нүктесін аламыз.

z = f(x,y) функциясының р_о(х_о,у_о) нүктесінің маңайындағы толық, өсімшесі

мынадай формуламен өрнектеледі.

(6) формула z = f(x,y) функциясының Тейлор формуласы деп аталады.

Қорытынды. № 45-46 лекциялардан кейін студенттер көп айнымалылы функцияның туындысы мен дифференциалын табуды меңгереді және оның геометриялық мағынасын біліп қолдыну бағытын білетін болады. Айқындалмаған функцияның туындылары мен дифференциалдарын табуды үйренеді.

№ 47-48 лекциялар. Көп айнымалылы функцияның экстремумын табу тәсілі көрсетіліп көптеген мысал арқылы айтылады және шартты экстремум ұғымы беріліп оны табу жолдары көрсетіледі.