9. Лопиталь ережесі

Лопиталь ережесі және т.б. анықталмаған өрнектердің шегін функциялардың туындыларының қатынасының шегі арқылы есептеуге әкеледі.

Теорема (Лопиталь ережесі). f(x) пен g(x) х = а нүктесінің маңайында (а-нүктесі алыньш тасталуы да мүмкін) анықталған, | дифференциалданатын және ( немесе), a- нүктесінің маңайында шарттары орындалатын. функциялар болсын. Онда, егер - шегі бар болса, онда шегі де бар және = теңдігі орындалады.

Егер өрнегі де-түріндегі анықталмағандық болып функциялары теорема шартын қанағаттандырса, онда ==

Бұл теңдіктерді, егер үшінші шек (бар) болса, онда екінші және бірінші шектерде (бар) болады деп түсінуі керек. түріндегі анықталмағандықтар алгебралық түрлендірулер арқылы - немесе — анықталмағандығына келтіріледі.

а) анықталмағандығын

түрлендіруі ал - түрлендіруі — түріне әкеледі.

б) анықталмағандықтарын түрледірулер арқылы түріне (а - жағдайына) келпруге болады.

в) анықталмағандығын - түріне келтіруге болады:

10. Тейлор формуласы

Көпмүшелікке арналған Тейлор формуласы. Берілген

(13)

көпмүшелігін х-х₀ биномы (х₀ - қандайда бip сан) бойынша жіктеу керек болсын. Бұл есепті шешудің әдістерінің бipi төмендегідей.

(14) арқылы ізделінген жіктелуді белгілеп А₀,А,,...,Аn - коффициенттерін табайық. (14) — те х = х₀ деп алсақ А₀=Р(х₀) аламыз. дифференциалдасақ

шығады да, бұдан х=х₀ деп алсақ табамыз. Екінші peт дифференциалдаудан соң

-шығады да, бұдандеп алсақ Осы процесті қайталай берсек келесі жалпы формула шығатынын көру қиын емес (оны математикалық индукция әдісімен дәлелдеуге болады).

Бұл коэффициенттерді (13)-ке қойып көпмүшелкке арналған Тейлор формуласын аламыз: \

нсмесе қысқаша

Функцияларға арналған Тейлор формуласы.

1 - теорема. Егер f функциясы х₀ нүктесінің қандайда бip маңайында n — рет үзіліссіз дифференциалданса, онда үшін келесі теңдік орындалады:

(14)

(14) - теңдікті Пеано мағынасындағы қалдық мүшесі бар Тейлор формуласы деп атайды.

Дербес жағдайда х₀ =0 болса, онда (14) - тендік келесі түрге ие болады:

(15)

(15) - теңдік Пеано түріндегі (мағынасындағы) қалдық мүшесі бар Маклорен формуласы деп аталады.

Егер маңайында функцияның үзіліссіз туындысы бар болса, онда қалдық мүшені дәлірек жазуға болады.

2 - теорема. Егер — нүктесінің маңайында f функциясының (n + l)-i үзіліссіз туындысы бар болса, онда кез келген үшін

(16)

теңдігі орындалатындай нүктесі табылады.

(16) - теңдік Лагранж түріндегі қалдық мүшесі бар Тейлор формуласы деп аталады. (16) - теңдікте болса, онда Лагранж түріндегі қалдығы бар Маклорен формуласын жазуға болады:

(17)

(мұндағы х оң немесе тepic болуы мүмкін).

Ескерту. Тейлор формуласының қалдық мүшесінің басқа да түрлері бар екені белгілі. Мысалы, Коши түріндегі қалдық мүше

түрінде жазылады.

Қорытынды. № 39-40 лекциялардан кейін студенттер туындыны пайдаланып Лопиталь ережесімен анықталмағандықтарды шеше алады және Тейлор қатарына функцияны жіктей отырып оның жуық мәнін таба алады.

№ 41-42 лекциялар. Туынды көмегімен функцияның өсу, кему аралықтарын табу. Функция экстремумдарын табу. Функцияны экстремумға зеттеу.