8. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар.

Осы пункттегі қарастырылатын функциялар "а"- нүктесінің қандай да 6ip U(a) маңайында анықталған (оның "а" нүктенің өзінде анықталуы шарт емес).

Анықтама. Егер (x)= 0, онда f(х) функциясы х а - ға ұмтылғанда шексіз аз) (ш.а.) деп аталады.

1 - Теорема. (x)= А тендігі орындалуы үшін

f(x) = A + α(x) (α(х) х а- ға ұмтылғанда ш.а.) теңдігі орындалуы қажетті және жеткілікті. Сонымен,

(x)= Аf(x) = A + (x), (x)0 (xа)

2-Теорема. Егер ха ₁(х),₂(х),...,_n(х) шексіз аз болса, онда олардың косындысы мен көбейтіндісі де шексіз аз болады.

3 - Теорема. Шексіз аз бен шенелген функцияның көбейтіндісі шексіз аз болады.

Анықтама. Егер әp6ip  > 0 саны арқылы, 0 < х - а < _ теңсіздікстерін қанағаттандыратын х - тер үшін ((x)> теңсіздік орындалатындай _ > О саны бар болса, онда (x) функциясы ха шекіз үлкен функция немесе қысқаша хa шексіз үлкен деп аталады да \(x)=  немесе f(x)  (ха) симводдарының бірімен белгіленеді. 4 - теорема. Егер а - нүктесінің қандай да бip U(a) маңайында \f(x)\>M>Q және (x)= ((x)0,ха] болса, онда (x) • (х) = .

5 - теорема. Егер кез келген ха нүктелерінде (x)0, болса, онда,

(x)=0.

6 - теорема. ха ұмтылғанда бірдей таңбалы шексіз үлкен функциялардьң қосындысы (осы таңбамен алынған) шексіз үлкен болады, яғни

(x)=+  (x)=+  немесе (x)=- _; (x)=-  болса, онда

(x)+ (x)]= (x)+ (x).

7 - теорема. ха ұмтылғанда шексіз үлкен болатын функция мен а нүктесінің маңайында шенелген функция қосындысы х  а ұмтылғанда шексіз үлкен функция болады.

9. Функциялардың үзіліссіздігі.

Анықтама. Егер y = f(x) функциясы:

1. х₀ - нүктесінде анықталған;

2. х₀ - нүктесінің қандай да 6ip U_(x₀) маңайында анықталған;

3. (x) = f(x₀) (12)

болса, онда ол х₀ - нүктестде функция үзілісіз деп аталады. Бұл анықтаманы кванторларды пайдаланып былайша жазуға болады:

(x) - функциясы х₀ - нүктеде үзілісіз  >0, _>0:xU_(*o)|(x)-(x₀)|<. (12)-теңдікгі (x) =f() (13).

деп те жазуға болады. Бұдан үзіліссіз функция белгісінің астына шекке өтуге болатынын көреміз.

Анықтама. Егер f(x) функциясы:

1. х₀ - нүктесінде анықталған;

2. х₀ - нүктесінің қандай да бip оң жақ

маңайында сол жақ маңайында) анықталған;

3.

болса, онда ол х₀ - нүктесінде оң жағында (сол жағында) үзіліссіз функция деп аталады.

y-f(x) функциясы х₀ - нүктесінде үзіліссіз болуы ушін ол х₀

- нүктесінің оң жағында және сол жағында үзіліссіз болуы қажетті және жеткілікті:

функциясының - нүктесінде үзіліссіз болуының анықтамасы келесі түрлерде де жазылады:

т.с.с.

Мұндағы саны «аргументтің нүктедегі өсімшесі» , ал саны функцияның х₀ - нүктесіндегі (х - ке сәйкес) өсімшесі деп аталады.

1-теорема (монотонды функцияның үзіліссіздігі туралы). [а,b]-кесіндісінде y = f(x) монотонды және [f(a),f(b)] кесіндісіндегі барлық мәндерді қабылдайтын функция болса, онда ол (а, b) аралығының әрбip нүктесінде үзіліссіз, ал "а" мен "b" нүктелерінің, сәйкес, оң және сол жақтарында үзіліссіз болады.

Бұл теоремадан барлық негізгі элементар функциялардың өздерінің анықталу аймағының ішкі нүктелерінде үзіліссіз, ал анықталу аймағының шекаралық нүктелерінде біржақтан (оң, сол жақтан) үзіліссіз болатыны шығады. Өйткені, негізгі элементар функцияның анықталу аймағының кез келген нүктесін, функция монотонды және [f(a)<f(b)] кесіндісіндегі барлық мәндерді қабылдайтындай [a, b] кесіндісіне енгізуге болады.

2 - теорема. Егер жәнеg(x) функциялары х₀ – нүктесінде үзіліссіз болса, ондафункциялары, ал ондафункциясых₀ нүктесінде үзіліссіз болады.

3 - теорема (күрделі функцияның үзіліссіздігі). Егер y = f(x) x₀ - нүктесінде үзіліссіз және ал нүктесінде үзіліссіз болса, онда z = g[f(x)] күрделі функциясы -нүктесінде үзіліссіз болады.

№ 31-32 лекциялар. Тамша шектерді табу, анықталмағандықтарды ашу, шексіз аз функциялар мен шексіз үлкен функцияларды өзара салыстыру, біржақты шектерді табу қарастырылады.