§ 3.2. Функциялар

1. Функция. Оның бepілyi.

D мен Е сандар жиыны болсын. Эрбір х  D санына Е " ~"Жынының у  Е санын сәйкес қоятын / ережесі D жиынында берілген сандык функция деп аталады жене ол

у = f(x), xD немесе : D  Е

деп жазылады. D - функцияның анықталу аймағы (облысы), ал Е = {у  R: у = f(x),x  D} - функцияның мәндер аймағы деп аталады. х - аргумент немесе тәуелаз айнымалы шама, ал аргументтің берілген х₀ мәніне сәйкес келетін у₀ = f(x₀) саны, х = х₀ - нүктесіндеп функция мэш деп аталады, жене оны кейде (x)_{x=x0арқылы} да белгілейді.

Функция түсінігі қарастырылған сандық функциялармен ғана шектелмейді. D мен Е - кез келген жиындар болсын.

Анықтама. Әp6ip xD элементте жалғыз у = f(x)  Е элементы сәйкестендіретн бейнелеуді D жиынында анықталған функция деп атайды. Е – оның мәндер аймағы деп аталады. Сандык, функцияларды түрлі тәсілдермен беруге болады.

1. Кестелік. Функция кесте түрінде берліуі мүмкін. Мысалы, ауа температурасы Т әрбір сағат сайын өлшенсін. Сонда әрбір уақыт мезетіне

t = 0, 1, 2, ..., 24 белгілі бір сан Т сәйкес келер еді (кесте):

Солай етіп 0 дан 24 - ке дейін бүтін сандарда анықталған кестемен берілген Т - f(i) функциясын аламыз.

Бұл тест функцияны толық сипаттай алмайды, өйткені, кестеге функцияның анықталу аймағындағы барлық нүктелерді кіргізу мүмкін емес.

2. Графиктік тәсіл. OXY жазықтығының xeD және y = f(x)

болатын (х,у) нүктелер жиыны y = f(x) функциясыныц графип деп аталады. График функция түрін өрнекті сипаттайды.

3. Аналитикалық тәсіл. Мұнда формула көмегімен х. аргументінің әрбір мәні үшін y = f(x) функциясының сәйкес келетін мәнін есептеу алгоритмі нақты керсетіледі. Бұл жағдайда әдетте функцияның D анықталу аймағын керсетпейді, анықталу аймағы деп осы берілген формуланың мағнасы бар х - аргументінің жиынын түснеді (функцияның табйғи анықталу аймағы).

Функция анапитикалық тәсілімен берілсе, онда оны кесте және графикық туүрде де беруге болады.

/: DE функциясы x_l,x₂D, х₁х_г мәндеріне f(x,) f(x₂) шарты орындалатындай мәндерді сэйкестендіретін функция болсын. Онда әрбір у е санына х)=y болатындай—^андай да 6ip анықталған xD санының сәйкес қойылыуы мүмін: Осылай анықталған жаңа f^-1:ED функция берілген  функциясына Kepi функция деп аталады.

f;XY және g:YZ функциялары берілсе, онда олардың композициясы (немесе күрделі функциясы) деп h(x) = g(f(x)), x

X тендігімен анықталған

h = g°f:XZ'

h = g^of:XZ функцияны айтады.

Егер y = f(x) функциясыньшың "D" анықталу аймағы х = 0 нүктесіне салыстырғанда симметрия.™ және

xD, f(-x) = f(x) (xD /(-x) = -/(x)) тендік орындалса, онда f(x) жуп (так) функция деп аталады. Егер xR, f(x + T) = f(x) тендігі орындалатындай Т— оң саны табылса, онда функция периодты (периоды Т тең) деп аталады. Егер x₂ <х₂ болатын x₁x₂ D() сандары үшін:

(x₁)</(x₂) орындалса, онда y = f(x) - кемімейтін;

f(x_l)>f(x₁) орындалса, онда y = f(x) - өспейтін;

f(x₁)<f(x₂) орындалса, онда у = f(x) - өспелі;

f(x₁)>f(x₂) орындалса, онда y = f(x) - кемімелі : функция деп аталады.

X жиынында осы төрт қасиеттің тек бірше ғана ие болатын функцияны X - жиынында монотонды деп атайды.