Раздел 2. Непосредственное интегрирование

А) Перечислите, какие свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной), Вы знаете.1.,

т.е. производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

2.,

т.е. неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

3., гдеk – произвольная константа. Следовательно, коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

4., т.е.

неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Б) Прочитайте текст «Непосредственное интегрирование» (Задание 2).

Задание 2

Непосредственное интегрирование

Задача отыскания первообразной функции не всегда имеет решение, в то время как продифференцировать мы можем любую функцию. Это объясняет отсутствие универсального метода интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла позволяют по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. Таким образом, используя равенства и можно из таблицы производных основных элементарных функций составить таблицу первообразных.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Непосредственное интегрирование базируется на использовании свойств неопределенных интегралов , , правила интегрирования и таблицы первообразных.

Пример 1: Найти интеграл .

Решение: Сначала преобразуем подынтегральную функцию dx. Затем применим свойство, которое утверждает что интеграл суммы функций равен сумме интегралов:

.

Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:

.

Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем

.

Для нахождения второго интеграла воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции

и правилом . То есть,

.

Следовательно,

, где .

Ответ: .

Обычно, подынтегральное выражение сначала требуется слегка преобразовать, чтобы можно было использовать таблицу основных интегралов и свойства интегралов.

Пример 2: Найти интеграл .

Решение:

Коэффициент 3 можно вынести из под знака интеграла на основании свойства: .

Преобразуем подынтегральную функцию (по формулам тригонометрии):

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то

Пришло время обратиться к таблице первообразных:

Ответ: .

Пример 3: Найти интеграл .

Решение: Применим правило интегрирования и таблицу первообразных, получим:

Ответ: .

Таким образом, таблица первообразных вместе со свойствами и правилом интегрирования позволяют найти массу неопределенных интегралов.

Пример 4: Найти интеграл .

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию так, чтобы можно было воспользоваться свойством и таблицей первообразных, получим:

Ответ: .

Далеко не всегда можно преобразовать подынтегральную функцию, чтобы использовать таблицу первообразных. К примеру, в таблице первообразных отсутствует интеграл от функции логарифма, функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, функции тангенса и котангенса. Для их нахождения применяются специальные методы.

Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.

В) Представьте прочитанный текст в виде кластеров или «грозди» - это графический способ организации учебного материала). Для этого выделите смысловые единицы различного ранга и представьте их в графической форме, учитывая связи между ними:

₪