Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Matem.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
09.12.2018
Размер:
68.61 Кб
Скачать

Основы теории графов.

Теория графов важный раздел дискретной математики, практическая роль которой возросла за счёт развития различных АСУ и вычислительной техники дискретного действия, в теоретическом плане помимо связей с комбинаторикой и геометрией наметились сдвиги на стыке теории графов с алгеброй, математической логикой.

Что же такое граф? Начнём с поясняющего примера:

Вспомогательный Рисунок №1 чтобы посмотреть рисунок, щёлкните по гиперссылке и смотрите рис 0.1. На рис. изображён граф, вершинами которого служат пронумерованные вершины, а рёбрами - линии (со стрелками или без), соединяющие некоторые из этих кружков. Ребро а ориентированное (направленное): оно соединяет вершину 1 с вершиной 2, но не соединяет 2 с 1; к такому тину рёбер, называемых дугами, относятся так же e, f, g. Ребро h не ориентированное: оно одновременно соединяет вершину 1 с 4, так и 4 с 1; к таким рёбрам, называемым ещё звеньями, относятся также i, j. Наконец, каждое из рёбер b, c, d, k является петлёй - соединяет некоторую вершину с ней же.

О рёбрах a, b, e, f, g, h говорят, что они инцидентны вершине 1, а о вершине 1 - что она инцидентна каждому из этих рёбер; в отношении дуг можно уточнить: дуги а, e и f исходят из 1, а другая g заходит в неё. Вершины 3 и 5 изолированные: ни одно ребро не соединяет такую вершину с другой или другую с ней; вершину 3 иногда называют голой, желая иногда подчеркнуть, что при ней нет даже петель.

Рассмотренный граф является конечным: множество {1, 2, 3, 4, 5} его вершин и множество {a, b, c, d, e, g, h, i, j, k} его рёбер конечны.

Из выше сказанного можно сделать заключение и подвести итог. Рассмотрим конечное множество точек {V} - назовём его вершинами, а конечный набор линий {X}, соединяющих некоторые пары вершин - назовём рёбрами. Где V не равно пустому множеству, а X некоторый набор элементов вида (v, w). В общем случае в наборе X могут встречаться пары одинаковые, а также (v, v) петли. Одинаковые пары назовём кратными. Кол-во кратных рёбер называется кратностью. Про V и X будем говорить, что они определяют граф с кратными рёбрами и петлями. Или же будем этот граф называть псевдографом и дадим обозначение G=(V, X). Псевдограф без петель называется мультиграфом, если в наборе X ни одна пара не встречается более одного раза, то мльтиграф называется графом, если пары в наборе X являются упорядоченными, то граф называется ориентированным - орграф. Рёбра орграфа называются дугами. Ориентированный граф будем обозначать D, а не орграф G.

Далее будем ставить в соответствие некоторому графу геометрическую конфигурацию.

Вспомогательный Рисунок №1 на рис 0.2 гиперссылки показаны основные атрибуты графа.

Смежность, инцидентность, степень.

Если x={v, w} - ребро графа, то v и w называются концами ребра x, в этом случае так же будем говорить, что x соединяет v и w, и если v начало, а w конец, то будем говорить, что x выходит из v и заходит в w. Если x выходит из v или заходит в w, если v является концом(началом) ребра(дуги) x, то говорят, что v и x инцидентны. Вершины v и w графа G называются смежными, если рёбра их соединяющие принадлежат X. Два ребра называются смежными если они имеют общую вершину. Степенью вершины v графа G называется число  (v). Это число рёбер графа G инцидентных вершине v. Вершина графа со степенью 0 - изолированная, а со степенью 1 висячей. Полустепенью исхода, захода вершины v орграфа D называется число дуг орграфа, исходящих из v (заходящих в v).

Вспомогательный Рисунок №1 на рис 0.2 в вершину v2 входит дуга x1, а выходит x2, поэтому можно записать  +(v2)=1 полу степень исхода,  -(v2)=1 полу степень захода.

Изоморфизм, гомеоморфизм. Графы G1(V1,X1) и G2(V2,X2) называются изоморфными, если существует биективное отображение φ:V1→ V2, сохраняющая смежность, т.е.

{v, w} X1 {φ(v),φ(w)} X2.

Орграфы D1(V1,X1) и D2(V2,X2) называются изоморфными, если существует биективное отображение φ:V1→ V2, сохраняющая смежность, т.е. {v, w} X1{φ(v),φ(w)} X2.

Замечание: из определения видно, что изоморфные графы отличаются только обозначением вершин.

Признаки:

Если графы G1 и G2 изоморфны, то выполняется:

а)  v  V1:  (v)= (φ(v))

б) m(G1)=m(G2); n(G1)=n(G2).

Если орграфы D1 и D2 изоморфны, то:

а)  v  V1:  +(v)= +(φ(v))

 -(v)= -(φ(v))

б) m(D1)=m(D2); n(D1)=n(D2). Где m - количество рёбер, а n - вершин.

Вспомогательный Рисунок №1 на рис 0.3 показаны изоморфные графы.

Операция подразвиения: (измельчения дуги (u, v) в орграфе D) состоит в удалении из набора X дуги (u, v) и добавления к множеству V новой вершины w и добавлении к набору X двух дуг (u, w), (w, v). Орграф D1 называется подразвиением орграфа D2, если D1 можно получить из D2 путём последовательного применения операций подразвиения дуг. Аналогично с графами. Щёлкните на вспомогательный рис №1, чтобы посмотреть пример подразвиения, он показан на рис 0.4.

Гомеоморфными называются графы G1, G2 (D1, D2), если их подразвиение является изоморфным.

Маршруты, пути: последовательность v1, x1, v2, x2,…, xk,vk+1, в которой чередуются вершины и рёбра, называется маршрутом, соединяющим вершины v1, vk+1. Последовательность v1, x1, v2, x2,…, xk,vk+1, в которой чередуются вершины и дуги, называется путём, соединяющим вершины v1- vk+1. При этом v1 начальная вершина vk+1 конечная, а остальные внутренние. Одна и та же вершина может быть начальной, конечной и внутренней. Число рёбер (дуг) в маршруте (пути) называется длиной маршрута (пути). Маршрут (путь) называется замкнутым, если его начальная вершина совпадает с конечной. Не замкнутый маршрут (путь), в котором все рёбра (дуги) попарно различны называется цепью. Цепь, в которой все вершины попарно различны называется простой. Замкнутый маршрут(путь), в котором все рёбра (дуги) попарно различны называется циклом (контуром). Цикл, в котором все вершины попарно различны, называется простым.

 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]