§ 7. Логическое следование

Понятие логического следования является одним из важнейших в математической логике и имеет непосредственное отношение к жизни. Нам часто приходится обосновывать те или иные утверждения: это значит, что на основании нескольких высказываний a₁ , … , a_n – посылок, делается вывод: “следовательно, верно утверждение (заключение) а”. Такой вывод является корректным в том и только том случае, если из истинности всех посылок следует истинность заключения, т.е. если истинно высказывание “если a₁ и a₂ , и … , и a_n , то a”. Это приводит к следующему определению логического следствия.

Пусть А₁ , … , A_n , A – формулы исчисления высказываний от переменных x₁ , … , x_k , Г = {А₁ , … , A_n }. Говорят, что формула А является логическим следствием множества формул Г (или просто формул А₁ , … , A_n) , если при любых интерпретациях  = (₁ ; … ; _k ) со свойством A₁() = … = A_n() = 1 выполнено условие A() = 1. В этом случае пишут А₁ , … , A_n A или кратко Г А. Последнее обозначение используется и в случае Г =  : пишут А, понимая под этим, что А – закон логики.

Примеры: 1. Будет ли a  b логическим следствием формул ,b ?

a	b		a  b
0	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1
1	1	0	1

Построим общую таблицу истинности для формул ,b, a  b и проверим выполнение требований определения логического следования. Видно, что в таблице ровно при одной интерпретации (a = 0, b = 1) обе формулы-посылки иb принимают значение 1. При этом значение формулы a  b также равно 1, т.е. формула a  b является логическим следствием формул иb.

2. Будет ли формула a  b  с логическим следствием формул ,a  b, b  c ?

Аналогично предыдущему, строим таблицу истинности и замечаем, что ровно

a	b	c		a  b	b  c	b  c	a  b  с
0	0	0	1	1	0	0	1
0	0	1	1	1	0	1	0
0	1	0	1	1	0	1	0
0	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	0	0	0	1	1
1	1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	1	1	1	1

при одной интерпретации (a = 0, b = 1 = c) все формулы ,a  b, b  c принимают значение 1. Однако при этой интерпретации фор­мула-заключение a  b  с принимает значение 0, так что она не является логическим следствием формул ,a  b и b  c.

Теорема (критерий логического следования). Для формул А₁ , … , A_n и А условие А₁ , … , A_n A выполнено тогда и только тогда, когда формула (А₁  …  A_n)  A является законом логики.

Доказательство. Пусть выполнено А₁ , … , A_n A. Докажем, что формула (А₁  …  A_n  A) – закон логики. При каких интерпретациях  = (₁ ; … ; _k) рассматриваемая формула может быть ложна ? Только при тех, для которых верно (А₁  …  A_n)() = 1, но А() = 0. Это значит, что A₁( ) = … = A_n() = 1, но A() = 0 – противоречие с условием А₁ , … , A_n A. Поэтому рассматриваемая формула (А₁  …  A_n  A) не может принимать значения 0, т.е. является законом логики, что и требовалось.

Пусть теперь (А₁  …  A_n  A) – закон логики. Рассмотрим любую интерпретацию  = (₁ ; … ; _k) со свойством A₁() = … = A_n() = 1. Тогда

1 = (А₁  …  A_n  A)() = (А₁()  …  A_n()  A()) = (1  A()),

и по аксиоме вычисления импликации A() = 1. Таким образом, А₁ , … , A_n A.

Теорема доказана.

Теорема (о дедукции). Для любого множества формул Г и формул А, B условие Г, А В выполнено тогда и только тогда, когда ГA  B.

Доказательство. Условие Г, А В, где Г = {A₁ , … , A_n } (n  0), имеет место (по доказанной выше теореме) в случае, когда (A₁  … A_n  A  B) – закон логики. Имеем ((A₁  … A_n  A  B)  1)  ((  B)  1)   {де Морган}  ((  B)  1)  (( (A  B))  1)   ((A₁  … A_n  (A  B))  1). Таким образом, (A₁  … A_n  A  B) – закон логики тогда и только тогда, когда законом логики является формула (A₁  … A_n  (A  B)), а это (по критерию логического следования) и означает, что Г, А Вимеет место тогда и только тогда, когда Г A  B.

Теорема доказана.

В течение тысячелетий человечеством накоплен опыт построения правильных выводов. Соответствующие правила на математическом языке обычно записывают так: , гдеА₁ , … , A_n – посылки, а А – заключение. Такое правило означает, что из справедливости посылок А₁ , … , A_n логически следует справедливость заключения А . На самом деле правила (логического) вывода представляют из зебя схемы правил: они зависят от переменных-параметров, вместо которых можно подставлять любые формулы исчисления высказываний. Эти параметры будем выделять курсивом.

Пример. Правило modus ponens – “мост ослов”: ² .

Здесь А , В – любые формулы языка исчисления высказываний. Докажем это правило. Для этого проверим, что А, А  В В . Имеем (А, А  В В )   (А  В , А В )  (А  В А  В )  (((А  В )  (А  В ))  1), что справедливо.

Знак  здесь, как обычно, следует понимать как синоним выражения “тогда и только тогда, когда”.

Теорема (об основных правилах логического вывода). Справедливы следующие основные правила логического вывода:

–расширение modus ponens, – правила дедукции, – правило расширения посылок, –правило перестановки посылок, – правила объединения и разделения посылок, – правила удаления конъюнкции, – правила введения дизъюнкции, – правило введения конъюнкции, – правила силлогизма, – modus tollens ³, – правило опровержения, – правило контрапозиции, – правило резолюций.

Доказательство. Правила расширение modus ponens доказывается аналогично его основному варианту. Правило дедукции уже доказано в теореме о дедукции. Остальные правила доказываются примерно так же.

Правило расширения посылок . Действительно, условиеГ B означает, что формула B принимает значение 1 на всех наборах значений переменных, при которых все формулы из Г имеют значения 1. Значит B принимает значение 1 и на всех наборах значений переменных, при которых имеют значения 1 формула A и все формулы из Г , т.е. Г, A B , что и требовалось доказать.

Правило перестановки посылок: . ДаноГ A  (B  C ), т.е. (по теореме о дедукции) Г, A B  C или Г, A , B C , что равносильно утверждению Г, B , A C . По теореме о дедукции, получим Г, B A  C , и далее Г B  (A  C ), что и требовалось.

Правило объединения и разделения посылок . Можно рассудить иначе, чем раньше: нетрудно заметить, чтоA  (B  C )   (A  B)  C . Поэтому если любая из этих формул истинна при любых значениях пропозициональных переменных, при которых истинны все формулы множества Г, то это же верно и для второй формулы. Таким способом можно доказать и предыдущее правило вывода.

Правила удаления конъюнкции . Если при любых значениях пропозициональных переменных, при которых истинны все формулы множества Г, истинна формула A  B, то это верно и для формул A и B .

Правила введения дизъюнкции ивведения конъюнкции докажите самостоятельно.

Правила силлогизма: . Первое из правил следует из того, что еслиГ B и (B  C) – закон логики, то при любых наборах значений пропозициональных переменных, при которых истинны все формулы из множества Г, истинны B и B  C , а значит и C , что и требовалось.

Второе правило можно вывести так: если Г , A B и Г , B C , то (по теореме о дедукции) Г A  B и Г B  C , и по правилу введения конъюнкции верно Г (A  B)  (B  C). Закон логики (A  B)  (B  C ) (A  C) позволяет по первому правилу силлогизма (?!) получить Г A  С , а значит, Г , A С по теореме о дедукции, что и требовалось.

Правило modus tollens . Действительно, из Г A  B и Г по правилу введения конъюнкции следует Г (A  B )  . Учитывая закон логики (A  B )  , по первому правилу силлогизма получаем (?!) Г , что и требовалось.

Правило опровержения можно вывести изГ A  B , Г A  и равносильности (A  B )  (A  )  (восстановите детали самостоятельно).

Правило контрапозиции следует из Г A  B , теоремы о дедукции и закона контрапозиции.

Правило резолюций : если оно не верно, то для некоторой интерпретацииx₁ = ₁ , … , x_n = _n , при которой все формулы из Г имеют значение 1, будет A() = 0 = C(), что немедленно ведёт к противоречию: B() = (A()  B()) = 1 = (C()  ()) = ().

Теорема доказана.

Упражнение: Докажите все правила логического вывода при Г = .