Приложение: формальная теория множеств

§ 1. Азы наивной теории множеств

В фундаменте современных математических теорий лежат понятия множества, элемента множества, отношения принадлежности элемента множеству. Интуитивный смысл этих понятий ясен: под множеством понимают совокупность некоторых объектов (которые называются элементами данного множества), мыслимых как единое целое. Для обозначения того, что объект a является элементом множества А, пишут a  А (а принадлежит А). Вместо отрицания используется записьа  А (а не принадлежит А).

Наиболее употребительны следующие два способа задания множеств:

 перечисление элементов (используется в основном для множеств, состоящих из конечного числа элементов). Например, А = {1, 2, –5, 3} – множество А состоит из элементов 1, 2, –5, 3. Элементами множеств могут быть и объекты различной природы. Так, множество А = {1, {1}, a} состоит из числа 1, одноэлементного множества {1} (содержащего единственный элемент – число 1) и буквы а.

 выделение множества в другом множестве с помощью характеристического свойства его элементов: если В – множество и P(x) – некоторое свойство (высказывание о произвольном элементе x  B), то можно определить новое множество А всех элементов x множества В, удовлетворяющих свойству P, написав А = {x  B | P(x) (= 1)}. Так, R₊ = {x  R | x > 0} – множество всех положительных действительных чисел.

Замечание: одно и то же множество можно задать различными способами: например, {–1, 1} = {r  R | r² = 1} = {n  Z | |n| = 1}. Поэтому важно ввести понятие равенства двух множеств.

Два множества А и В называются равными (символически А = В), если они состоят из одних и тех же элементов. Это значит, что для любого элемента а  А выполнено а  В, и для любого элемента b  B выполняется b  A. В противном случае множества А и В называются неравными: А  В.

Множество А называют подмножеством множества В (говорят также, что А содержится в В или В содержит А) и записывают А  В, если любой элемент множества А принадлежит множеству В.

Для удобства вводят в рассмотрение пустое множество  , не имеющее ни одного элемента. Ясно, что для любого множества А верно  = {x  A | x  A}.

Примеры: 1. {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Хотя порядки перечисления элементов этих множеств и различны, но каждый элемент одного множества является элементом другого множества, что и обеспечивает их равенство.

2. {1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3, 2, 1, 3}. Второе множество, хотя и выглядит толще первого, но на самом деле состоит их тех же элементов.

3. {1, 2, 3}  {3, {1}, 2}. Элемент 1 первого множества не является элементом второго множества. Точно так же Элемент {1} второго множества не является элементом первого множества. Кстати, почему 1  {1} ?

4. А = {1, 2}  {1, 2, –1} = В, т.к. –1  В, но –1  А, но {1, 2}  {1, 2, –1}, т.к. 1  В и 2  В.

5. N = {1, 2, 3, …}  Z = {… , –2, –1, 0, 1, 2, …}  Q = { R | m  Z  n  N}  R .