Аксиомы равенства:

Рефлексивность: ( x (x = x))

Симметричность: ( x ( y ((x = y)  (y = x)))

Транзитивность: ( x ( y ( z (((x = y)  (y = z))  (x = z))))

Схема подстановки: для любых арифметических выражений А, В, С с выделенным вхождением выражения В в А (символически А = А(В)) следующая формула является аксиомой ((В = С )  (А(В) = А(С))), где А(С) – результат замены выделенного вхождения подвыражения В в А на С .

Это – очень сильная форма подстановки, её можно значительно ослабить.

Условимся для арифметических выражений А(x₁ , … , x_n) и В(y₁ , … , y_m) использовать краткую запись А(x₁ , … , x_n)  В(y₁ , … , y_m) вместо отрицания .

Аксиомы операций сложения и умножения:

Существование и единственность следующего: ( x ( ! y (y = x + 1)))

Единица – наименьший элемент: ( x ((x + 1)  1))

Равенство следующих: ( x ( y ((x + 1) = (y + 1))  (x = y)))

Ассоциативность прибавления 1: ( x ( y ((x + (y + 1)) = ((x + y) + 1))))

Единица – нейтральна по умножению: ( x ((x1) = x))

Связь сложения и умножения: ( x ( y ((x(y + 1) = ((xy) + x)))))

Схема формальной индукции

Для любой формулы арифметики А(x) со свободной переменной x следующая формула является аксиомой: ((А(1)  ( y (А(y)  А(y + 1))))  ( x А(x))).

Правила вывода формальной арифметики, понятия доказательства формулы и доказуемой формулы в формальной арифметике такие же, как в формальном исчислении предикатов.

Примеры теорем формальной арифметики

Введём обычные обозначения: 2 = (1 + 1), 3 = (2 + 1) = ((1 + 1) + 1), 4 = (3 + 1) = (((1 + 1) + 1) + 1) , и.т.д.

1. (4 = (2 + 2))

1.  ( x ( y ((x + (y + 1)) = ((x + y) + 1)))) (аксиома ассоциативности +)

2.  ( y (((1 + 1) + (y + 1)) = (((1 + 1) + y) + 1))) (аксиома (x = 1+1))

3.  (((1 + 1) + (1 + 1)) = (((1 + 1) + 1) + 1)) (аксиома (y = 1))

4.  (((1 + 1) + 1) + 1) = ((1 + 1) + (1 + 1))) (аксиома симметричности)

5.  ((1 + 1) = 2) (определение)

6.  ((1 + 1) = 2)  (((1 + 1) + 1) + 1) = (2 + 2)) (подстановка)

7.  (((1 + 1) + 1) + 1) = (2 + 2)) МР(5, 6)

8.  ((((1 + 1) + 1) + 1) = 4) (определение)

9.  ((((1 + 1) + 1) + 1) = 4)  (4 = (2 + 2))) (подстановка)

10.  (4 = (2 + 2)) МР(8, 9)

2. (22 = 4)

1.  ( x ( y ((x(y + 1)) = ((xy) + x)))) (аксиома связи + и  )

2.  ( y ((2(y + 1)) = ((2y) + 2)))) (аксиома (x = 2))

3.  ((2(1 + 1)) = ((21) + 2))) (аксиома (y = 1))

4.  ( x ((x1) = x)) (аксиома о нейтральности 1)

5.  21 = 2 (аксиома (5))

6.  ((21 = 2)  ((21) + 2) = (2 + 2))) (подстановка)

7.  (((21) + 2) = (2 + 2)) МР(5, 6)

8.  ((2 + 2) = 4) доказано

9.  (((2 + 2) = 4)  (((21) + 2) = 4)) (подстановка)

10.  (((21) + 2) = 4) МР(8, 9)

11.  (2 = (1+ 1)) (определение)

12.  (2 = (1+ 1))  ((22) = ((21) + 2))) (подстановка в 3)

13.  ((22) = ((21) + 2)) MP(11, 12)

14.  ((22) = ((21) + 2))  (22 = 4) (подстановка 10 в 13)

15.  (22 = 4) MP(13, 14)

Приведём ещё пример неформального доказательства в формальной ариф­метике, использующий правила вывода и аксиому индукции. Докажем, формулу  x ((x = 1)  ( y ((x = 2y)  (x = 2y + 1)))), выражающую тот факт, что любое натуральное число либо чётно, либо нечётно.

Пусть А(x) = (x = 1)  ( y (x = 2y)  (x = 2y + 1)). Тогда ясно, что А(1) доказуемо, т.к. А(1) = ((1 = 1)  ( y (1 = 2y)  (1 = 2y + 1))) , и первый аргумент этой дизъюнкции является аксиомой (?!). Теперь, чтобы воспользоваться схемой индукции, нужно доказать ( z (А(z)  А(z + 1))).

Если доказано А(z) = ( y ((z = 2y)  (z = 2y + 1))), то А(z+1) означает, что ( t ((z + 1 = 2t)  (z + 1 = 2t + 1))). В том случае, когда z = 2y, имеем z + 1 = 2y + 1, и в качестве искомого t можно взять t = y. В случае z = 2y + 1 получаем z + 1 = (2y + 1) + 1 = 2y + 2 = 2(y+1), и в качестве искомого t можно взять t = y + 1.

Таким образом, неформально доказана формула ( z (А(z)  А(z + 1))) и по схеме индукции, можно заключить, что доказана и формула ( x А(x)).

Упражнения: 1. Что в этом доказательстве неформального ?

2. Формализуйте доказательство.

Как видно из приведённых примеров, доказательство даже простейших теорем в формальной аксиоматической теории довольно громоздко. Для того чтобы дать возможность при доказательствах теорем рассуждать менее формально и не повторять многократно одни и те же куски похожих доказательств удобно в любой специальной теории (как и в теориях формального исчисления высказываний и формального исчисления предикатов) ввести понятие выводимости формулы из конечной совокупности формул Г.

Пусть Г = {Ф₁ , … , Ф_k } – конечное множество формул (возможно пустое). Говорят, что формула В выводима из множества формул Г, если существует конечная цепочка формул В₁ , … , В_n , где В_n совпадает с В, а каждая формула B_i (1  i  n) либо является аксиомой, либо принадлежит Г, либо получена из некоторых предыдущих формул В_j и В_k (1  j < i, 1  k < i) по правилам вывода теории. Факт выводимости формулы В из совокупности Г обозначается через Г В.

Ясно, что формула В доказуема тогда и только тогда, когда она выводима из пустого множества формул: В. С другой стороны, если все формулы, входящие в Г = {Ф₁ , … , Ф_k }, доказуемы, а В выводима из Г, то В доказуема. Действительно, чтобы получить доказательство формулы В, достаточно к её выводу В₁ , … , В_n из формул Г присоединить доказательства формул Ф₁ , … , Ф_k :

<доказательство Ф₁ >, … , <доказательство Ф_k >, В₁ , … , В_n –

это доказательство формулы В. Таким образом, для доказательства формулы достаточно вывести её из уже доказанных ранее формул.

Понятие выводимости аналогично понятию логического следования. В дальнейшем эта аналогия будет прослежена более подробно. Так, в § 3 будет доказана эквивалентность этих понятий для формальной теории исчисления высказываний. То же справедливо и для формальной теории исчисления предикатов. Таким образом, можно пользоваться при доказательствах формул изученными ранее правилами вывода, применяя их к выводимости формул.

Для простоты изложения в дальнейшем все рассматриваемые формальные теории, кроме исчислений высказываний и предикатов, предполагаются специальными.