Логические операции над предикатами

Если заданы два предиката P(x₁ , … , x_n ) и Q(x₁ , … , x_n) с одной и той же областью определения Aⁿ и одним и тем же набором переменных, то можно рассмотреть предикаты (x₁ , … , x_n), (P  Q)(x₁ , … , x_n), (P  Q)(x₁ , … , x_n), (P  Q)(x₁ , … , x_n), (P  Q)(x₁ , … , x_n), называемые соответственно отрицанием предиката P, а также конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией и эквивалентностью предикатов P и Q. Эти новые предикаты определяются следующим образом: для любых a₁ , … , a_n  A полжим (a₁ , … , a_n) = и при  { ,  ,  ,  } (P  Q)(a₁ , … , a_n) = (P(a₁ , … , a_n)  Q(a₁ , … , a_n)).

Примеры: 1. Пусть на R заданы два предиката: P(x) = “x > 3” и Q(x) = = “x  5”. Тогда для любого a  R имеем

(a) = = “a  3”, (a) = = “a > 5”,

(PQ)(a) = “a > 3”  “a  5” = “3 < a  5”,

(PQ)(a) = “a > 3”  “a  5” = “a  R” = 1,

(PQ)(a) = “a > 3”  “a  5”   “a  5” = “a  3”  “a  5” = “a  5”,

(PQ)(a) = “a > 3” “a  5”  ()  (“a > 3”  “a  5”) =

= (“a  3”“a > 5”)  “3 < a  5”  0  “3 < a  5”  “3 < a  5”.

Ясно, что в этом примере верны следующие равенства множеств:

D₁() = D₀(P), D₀() = D₁(P), D₁(PQ) = D₁(P)  D₁(Q),

D₀(PQ) = D₀(P)  D₀(Q), D₁(PQ) = D₁(P)  D₁(Q), D₁(PQ) = D₀(P)  D₁(Q),

D₁(PQ) = (D₁(P)  D₁(Q))  (D₀(P)  D₀(Q)) (проверьте !!).

2. Пусть P(x, y) = “x² < y”, Q(x, y) = “y  x” – два предиката на Z. Вычислим предикат P  Q и его область истинности.

По определению для любых a, b  Z : (P  Q)(a, b) = (P(a, b)  Q(a, b)) = = “a² < b”  “b  a”   “b  a”  “a²  b”  “b  a”. Когда истинна последняя дизъюнкция ? Она истинна, если b  a. Но учитывая, что a  Z, имеем a  a², так что из b  a следует b  a², и (P  Q)(a, b)  “b  a ”.

Как и ранее, нетрудно понять, что D₁(P  Q) = D₀(P)  D₁(Q).

Оказывается, что отмеченные в этих примерах соотношения, связывающие множества D₁(P  Q) и D₁(P), D₁(Q), D₀(P), D₀(Q), справедливы всегда.

Лемма (об областях истинности). Пусть P(x₁ , … , x_n), Q(x₁ , … , x_n) – два предиката на множестве А. Тогда верны равенства множеств:

D₁() = D₀(P) = D(P) \ D₁(P),

D₁(P  Q) = D₁(P)  D₁(Q),

D₁(P  Q) = D₁(P)  D₁(Q),

D₁(P  Q) = D₀(P)  D₁(Q),

D₁(P  Q) = (D₁(P)  D₁(Q))  (D₀(P)  D₀(Q)).

Доказательство. Все равенства доказываются однообразно, исходя из определения области истинности и логических операций над предикатами. Например,

D₁() = {(a₁ ; … ; a_n)  Aⁿ | (a₁ , … , a_n) = 1} =

= {(a₁ ; … ; a_n)  Aⁿ | P(a₁ , … , a_n) = 0} = D₀(P) = D(P) \ D₁(P) = Aⁿ \ D₁(P),

что и требовалось.

Аналогично доказываются и остальные равенства множеств (в приводимых ниже вычислениях для краткости полагаем a = (a₁ ; … ; a_n), P(a) = P(a₁ ; … ; a_n)):

D₁(P  Q) = {(a₁ ; … ; a_n)  Aⁿ | (PQ)(a₁ , … , a_n) = 1} =

= { a Aⁿ | (P(a)  Q(a)) = 1} = { a Aⁿ | (P(a) = 1)  (Q(a) = 1)} =

= { a  Aⁿ | P(a) = 1}  { a  Aⁿ | Q(a) = 1} = D₁(P)  D₁(Q),

D₁(P  Q) = { a  Aⁿ | (P  Q)(a) = 1} = { a  Aⁿ | (P(a)  Q(a)) = 1} =

= { a  Aⁿ | ((P(a)  Q(a))  ()) = 1)} =

= { a  Aⁿ | (P(a)  Q(a) = 1)  (= 1)} =

= { a  Aⁿ | P(a)  Q(a) = 1}  { a  Aⁿ | = 1} =

= ({ a  Aⁿ | P(a) = 1}  { a  Aⁿ | Q(a) = 1}) 

 ({ a  Aⁿ | = 1} { a  Aⁿ | = 1}) =

= (D₁(P)  D₁(Q))  ({ a  Aⁿ | P(a) = 0}  { a  Aⁿ | Q(a) = 0}

= (D₁(P)  D₁(Q))  (D₀(P)  D₀(Q)).

Лемма доказана.

Упражнения: 1. Вычислите области истинности предикатов P, Q , , , P  Q , P  Q , P  Q , P  Q , где P(x) = “x² > x ”, Q(x) = “x² – 4x + 3 < 0”.

2. Прочувствуйте аналогию между логическими операциями над предикатами и операциями над множествами. Сформулируйте общее правило вычисления области истинности предиката, полученного с помощью логических связок из известных предикатов.

3. Сформулируйте и докажите лемму об областях ложности.

Рассмотренные логические операции над предикатами позволяют по заданным на множестве А предикатам строить новые предикаты. Другой способ построения новых предикатов дают кванторы. Квантор существования  и квантор всеобщности  – это специальные математические знаки, служащие для сокращённого обозначения выражений “существует” и “для любого” соответственно.

Примеры: 1. Фразу “квадрат любого действительного числа неотрицателен” математики записывают так:  x  R x²  0 (читается: для любого действительного числа x выполнено свойство x²  0).

2. Запись  m  Z ( n  Z n < m) (читается: для любого целого числа m существует целое число n со свойством n < m) выражает тот факт, что у любого целого числа есть предшествующие ему целые числа.

В приведённых примерах написанные с помощью кванторов формулы являлись высказываниями. Оба этих высказывания были истинны, но не следует думать, что все высказывания, записанные с помощью кванторов истинны: почувствуйте разницу, прочитав и осмыслив следующие высказывания  x  Z x  0,  m  N ( n  N n < m),  x  R ( y  R |x – y| < x).

Пусть теперь P(x) – предикат от одной переменной на множестве А. Тогда записи  x  A P(x) (для любого x  А выполнено свойство P(x)) и  x  A P(x) (существует x  А со свойством P(x)) являются высказываниями, не зависящими от переменной x. Говорят, что эти высказывания получены связыванием переменной x с помощью квантора всеобщности  (и квантора существования ) соответственно. При этом высказывание  x  A P(x) истинно тогда и только тогда, когда любой объект a из множества А принадлежит области истинности предиката P(x), оно ложно тогда и только тогда, когда хотя бы один объект a из множества А принадлежит области ложности предиката P(x). Высказывание  x  A P(x) истинно тогда и только тогда, когда хотя бы один объект a из множества А принадлежит области истинности предиката P(x), оно ложно тогда и только тогда, когда все объекты a из множества А принадлежат области ложности предиката P(x).

Примеры: 1. Если P(x) = “x делится нацело на 15” – предикат на Z, то высказывания  x  Z P(x) и  x  Z P(x) ложно и истинно соответственно.

2. Если P(x) = “x² + 6x + 100 > 0” – предикат на R, то  x  R P(x) – истинное высказывание. А каковы высказывания  x  R P(x) ,  x  R (x) ?

Аналогично предыдущему случаю предикатов от одной переменной можно связывать кванторами и любую переменную в предикате от n переменных, получая при этом предикат от (n–1)-й переменной: если P(x₁ , … , x_n ) – предикат от n переменных на множестве А, то можно, связывая переменную x_i кванторами, образовать предикаты  x_i  A P(x₁ , … , x_n ) и  x_i  A P(x₁ , … , x_n ) от (n–1)-й переменных x₁ , … x_i–1 , x_i+1 , … , x_n . Их области истинности состоят, по определению, из всех наборов (a₁ ; … ; a_i–1 ; a_i+1 ; … ; a_n)  A^n–1 значений переменных x₁ , … x_i–1 , x_i+1 , … , x_n , для которых при любом (соответственно хотя бы при одном) x_i = a  A истинно P(a₁ , … , a_i–1 ; a ; a_i+1 ; … ; a_n ) = 1.

Примеры: 1. Если P(x, y) = “x²+y² = 1” – предикат от двух переменных на множестве R, то предикат S(x) = ( y  R P(x, y)) от одной переменной x принимает значение 0 (ложь) при любом x  R (т.к., например, при y = 2 равенство x² + y² = 1 не верно, какой бы x  R ни взять). Предикат T(x) = ( y  R P(x, y)) имеет область истинности D₁(T) = [–1; 1] (при любом x = a  [–1; 1] можно найти y = со свойством x² + y² = 1).

2. Пусть А – множество всех прямых на плоскости, P(x, y, z) =”прямые x, y, z имеют общую точку” – предикат от трёх переменных x, y, z на А. Тогда предикат S(x, z) = ( y A P(x, y, z)) от двух переменных x, z имеет пустую область истинности (?!), а предикат T(x, z) = ( y A P(x, y, z)) обладает тем свойством, что (T(x, z) = 1)  (x  z  ).

Для удобства дальнейших рассмотрений введём следующие сокращения:

1) вместо выражения  x₁  A ( x₂  A ( … ( x_n  A P(x₁ , … , x_n))…)) будем писать  x₁ , … , x_n  A P(x₁ , … , x_n), а  x₁ , … , x_n  A P(x₁ , … , x_n) – вместо  x₁  A ( x₂  A ( … ( x_n  A P(x₁ , … , x_n))…)). Здесь важно, что кванторы при всех элементах x₁ , … , x_n однотипны, т.е. либо все являются кванторами существования, либо же все – кванторами всеобщности, а также то, что все элементы x₁ , … , x_n выбираются из одного и того же множества А.

2) обозначение  ! x_i  A P(x₁ , … , x_i , … , x_n) будет использоваться для сокращения выражения “существует единственный элемент x_i во множестве А со свойством P(x₁ , … , x_i , … , x_n)”. Формально это высказывание записывается так: ( x_i  A P(x₁ , … , x_i , … , x_n))  ( y_i  A (P(x₁ , … , y_i , … , x_n)  (y_i = x_i ))).