Алгоритм Евклида

1-й шаг. Делим а на b 0. Если а b, то (а, b) = b по лемме 8.2. Если а = bq₀ + r₁, то (а, b) = (b, r₁).

2-й шаг. Делим b на r₁. Если b r₁ , то (b, r₁) = r₁. Если b = r₁q₁ + r₂, то (b, r₁) = (r₁, r₂).

3-й шаг. Делим r₁ на r₂ b и т.д.

Лемма 8.4. Алгоритм Евклида состоит из конечного числа шагов.

Действительно, остатки, получаемые в процессе деления убывают и являются натуральными числами | b | < r₁ < r₂ < …, поэтому не более, чем за | b | шагов получим остаток равный нулю, т.е. (r_n-1, r_n) = r_n и тогда (r_n-1, r_n) = r_n.

Теорема 8.5 (о нахождении НОД(а, b) с помощью алгоритма Евклида). Последний отличный от нуля остаток в алгоритме Евклида является наибольшим общим делителем целых чисел а и b (а0,b0).

Доказательство. Применим к числам a и b алгоритм Евклида:

а = bq₀ + r₁, 0 r₁ < b

b = r₁q + r₂, 0 r₂ < r₁

………………………….

r_n-2 = r_n-1 ∙ q_n-1 + r_n, 0 r_n < r_n-1

r_n-1 = r_n ∙ q_n + 0

Из первого равенства по лемме 8.3 будем иметь (а, b) = (b, r₁). Из второго равенства алгоритма Евклида по лемме 8.3 будем иметь: (b, r₁) = (r₁, r₂) и т.д.

Из последнего равенства (r_n-1, r_n) = r_n.

Итак, (а, b) = r_n.

Пример. Вычислим НОД (154, 48) с помощью алгоритма Евклида.

_ 154 | 48

144 3

_ 48 | 10

40 4

_10 | 8

8 1

_ 8 | 2

8 4

0

Процесс деления можно записывать в виде последовательности равенств деления с остатком, называемой последовательностью Евклида.

154 = 48 ∙ 3 + 10

48 = 10 ∙ 4 +8

10 = 8 ∙ 1 + 2

8 = 2 ∙ 4

Итак, НОД (154, 48) = 2.

Следствие 1 (о линейном разложении НОД(a, b)). Наибольший общий делитель НОД(a, b) любых целых чисел a0, b0 можно представить в виде линейной комбинации чисел a и b c целыми коэффициентами u и v: НОД(a, b) = u ∙ a + v ∙ b (1)

Определение 8.3. Представление (1) называется линейным разложением наибольшего общего делителя чисел a и b.

Пример. Найдем линейное представление НОД(154, 48). Воспользуемся последовательностью Евклида из предыдущего примера, выразим остатки: 2 = 10 + 8 ∙ (-1), 8 = 48 + 10 ∙ (-4), 10 = 154 + 48 ∙ (-3). Подставим в первое равенство выражение 8 из второго, затем для 10 из третьего, получаем: 2 = 10 + [48 + 10∙ (-4)] ∙ (-1) = 48 ∙ (-1) + 10 ∙ 5 = 48 ∙ (-1) + [154 + 48 ∙ (-3)] ∙ 5 = 154 ∙ 5 + 48 ∙ (-16).

Итак, 154 ∙ 5 + 48 ∙ (-16) = 2 – линейное разложение (154, 48).

Нок целых чисел и его вычисление

Определение 8.4. Общим кратным конечного множества целых чисел a₁, a₂,…, a_k, отличных от нуля, называют целое число m, которое делится на все числа а_i (i = 1, 2, … , k).

Определение 8.5. Целое число m называется наименьшим общим кратным чисел a₁, a₂, …, а_k , отличных от нуля, если:

1. m – является их общим кратным;

2. m делит любое другое общее кратное этих чисел.

Обозначение: m = НОК(a₁, a₂, …, а_k) или m = [a₁, a₂, …, а_k].

Теорема 8.6. Наименьшее общее кратное целых чисел а и b определяется однозначно с точностью до знака.

Действительно, если предположить, что m₁ = [a, b] m₂ = [a, b], то m₁ m₂ m₂ m₁, поэтому m₁ = m₂ m₂ = - m₁.

Замечание. Обычно берется положительное значение [a, b] .

Пример. Даны числа 3, 4, 6, 8. Числа 24, 48, 96 являются общими кратными чисел 3, 4, 6, 8. Наименьшим общим кратным будет число 24. [24, 48, 96] = 24.

Между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух целых чисел существует зависимость, которая выражается формулой:

[a, b] =

Эта связь позволяет утверждать, что для любой пары целых чисел, отличных от нуля, существует наименьшее общее кратное.

Пример. 1. Вычислим НОК [154, 48] = = 3696.

2. Наиболее просто НОД двух целых чисел вычисляется в том случае, когда (а, b) = 1, тогда [a, b] = = |a ∙ b |. Например,

[21, 5] = = 105.