1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом,

2) Любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Определение 3.5. Число векторов в любом базисе ненулевого конечномерного векторного пространства V называется его размерностью и обозначается через dim V.

Замечание 4. По определению, считают размерность нулевого векторного пространства равной 0.

Примеры: 1. Векторное пространство геометрических векторов V₂ двухмерно (dim V₂ = 2). Его базисы – это любые системы из двух неколлинеарных вектора.

2. Векторное пространство геометрических векторов V₃ трёхмерно (dimV₃ = 3). Его базисы – это любые системы трёх некомпланарных векторов.

3. Арифметическое векторное пространство Rⁿ является n-мерным. Его стандартным базисом служит система векторов e_i = (0, … , 0, 1, 0, … , 0), где 1  i  n. (dim R ⁿ = n).

4. Векторное пространство решений однородной системы линейных уравнений А  Х = 0 , где А  M_{m n}(F) имеет размерность n – rg(A). Его базисом будет любая фундаментальная система решений.

Теорема 3.4. Любой вектор b  V единственным образом разлагается по базису (1) (e₁, e₂, …, e_n) конечномерного векторного пространства V, то есть представляется в виде b = ₁  e₁ + ₂  e₂ + … + _n  e_n.

Определение 3.6. Пусть b= ₁  e₁ + ₂  e₂ + … + _n  e_n – разложение вектора b по базису (1) векторного пространства V над полем F. Упорядоченный набор чисел (₁, ₂, …, _n) из поля F называется координатами вектора b в базисе (1).

Пример. В пространстве R³ система векторов e₁ = (1, 0, 0), e₂= (0, 2, 0), e₃ = (0, 0, 3) базисом. Вектор а = (2, 4, 9) имеет координаты (2, 2, 3) в этом базисе, так как

b = 2  e₁ + 2  e₂ + 3  e₃.

Изоморфизм векторных пространств

Определение 3.7. Биективное отображение :U V называется изоморфизмом векторных пространств U и V над одним и тем же полем F, если:

1) а, bV (а + b) = (a) + (b); 2) аV F, (а) = ((a))

Теорема 3.5. Два конечномерных векторных пространства U и V над одним и тем же полем F изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают, то есть: U V dimU = dimV.

Пример. 1. V₂ R², так как dim V₂ = dim R² = 2, аналогично: V₃ R³.

2. M₂₂(R) R⁴, так как dim M₂₂(R) = dim R⁴ = 4.

МЕТОДИКА 13.СМ 21

Билет № 14. Алгебра матриц

Примерный план ответа

Сформулировать определения операций над матрицами, привести примеры, сформулировать свойства, доказать теоремы о векторном пространстве матриц одинаковой размерности и кольце квадратных матриц n-го порядка над полем P, обосновать один из способов вычисления обратной матрицы и матричный способ решения системы линейных уравнений.

Кольцо матриц Mm n(f) и векторное пространство матриц Mm n(f)

Определение 4.1. Пусть F – некоторое поле, m, n  N. Прямоугольная таблица вида , где a_ij  F (1  i  m, 1  j  n), называется прямоугольной (m n) - матрицей над полем F с элементами a_ij и обозначают короче || a_ij || или буквами А, В, С, ...

Любая строка этой матрицы есть n-мерный арифметический вектор, а любой столбец – m-мерный арифметический вектор.

Множество всех (m n)-матриц над полем F будет обозначаться через M_{m n}(F). В случае m = n матрица называется квадратной порядка n.

Определение 4.2. Две матрицы A, B  M_{m n}(F) называются равными (пишут А = В), если a_ij = b_ij (1  i  m, 1  j  n).

Другими словами, две матрицы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размерности и равные соответствующие элементы.

На некоторых подмножествах множества M_{m n}(F) можно определить две бинарные операции (+ , ·) и две унарные операции (умножение на скаляр и нахождение обратной матрицы).

Определение 4.3. Суммой матриц A = || a_ij ||, B = || b_ij || M_{m n}(F) называется матрица С = A+B = || a_ij || + || b_ij ||= || a_ij+b_{i j} ||  M_{m n}(F) (1  i  m, 1  j  n).

Определение 4.4. Произведением матрицы A = || a_ij ||  M_mn(F) на скаляр   F называется матрица   A= ||  a_ij || M_{m n}(F) (1  i m, 1  j  n).

Определение 4.5. Произведение матриц A = || a_is ||  M_mk (F) и B = || b_sj ||, B  M_{k n}(F) – это матрица С = A B = || c_ij ||= || a_i1 · b_1j+ a_i2 · b_2j + … + a_ik · a_kj ||, С M_mn(F) (1  i  m, 1  j  n, 1  s  k ).

Замечание. Сложение матриц и умножения матриц на скаляры являются алгебраическими операциями на M_mn(F) – множестве матриц одинаковой размерности m × n, а умножение матриц является алгебраической операцией только на множестве M_nn(F) квадратных матриц порядка n.

Теорема 4.1 (о кольце и векторном пространстве матриц).

1) Алгебра (M_nn(F) +, ) является кольцом с единицей. Это кольцо при n > 1 некоммутативно и содержит делители нуля.

2) Алгебра (M_nn(F), +, {w |F}) является векторным пространством над полем F размерности m n.

Замечания: 1.Роль единицы в кольце M_nn(F) играет единичная матрица (у нее на главной диагонали стоят единицы, а все другие элементы равны 0):

Е_n = M_nn(F)

2. Приведем пример делителей нуля в кольце M₂₂(R): если

А = ,В = , тоА · В =

Пример. Вычислим: А ∙ В = ∙.

Воспользуемся правилом умножения матриц:

А ∙ В = = , где

, при i {1, 2, 3}, j {1, 2, 3}. Получим:

∙= =.

Обратимые матрицы. Вычисление обратной матрицы

Определение 4.6. Матрица A  M_nn(F) называется обратимой, если  X M_nn(F) A  X = X  A = E_n.

Матрица X называется обратной матрицей к А и обозначается A^–1.

Определение 4.7. Квадратная матрица А  M_nn(F) называется неособенной (невырожденной), если ее ранг равен порядку n этой матрицы.

Замечание. Квадратная матрица А  M_nn(F) является неособенной (невырожденной) тогда и только тогда, когда |A|  0.

Теорема 4. 2 (критерий обратимости матрицы). Квадратная матрица А M_nn(F) обратима тогда и только тогда, когда она неособенная.

Теорема 4. 3 (о нахождении обратной матрицы).

1) Пусть А – неособенная матрица, А  M_nn(F). Рассмотрим расширенную матрицу В = (A | Е_n), которая получается из А приписыванием справа матрицы Е_n. Если к матрице В применить элементарные преобразования строк так, чтобы слева от черты получилась матрица Е_n, то справа от черты получится матрица А^-1.

(A | Е_n) ~ …~ … (Е_n | A^–1)

2) Пусть A  M_nn(F). Если |A|  0, то A^–1 =  || A_ij|| ^t, где A_ij – алгебраическое дополнение к элементу a_ij матрицы А (1  i  n, 1  j  n).

Пример. Вычислим обратную матрицу А^-1 двумя способами:

А == rang A =3, значит, матрица A обратима.

Вычислим А^-1.

1. Метод элементарных преобразований: ~ ~ ~ .Таким образом, = .

2. С помощью алгебраических дополнений: A^–1 =  || A_ij || ^t (1  i  n, 1 j  n).

|A| = = (3 + 1 + 0) – (1 – 1 + 0) = 4 0. Поэтому А^-1 обратима.

Вычисляем алгебраические дополнения элементов данной матрицы, не забывая о их знаках:

A₁₁ = (-1)¹⁺¹·=4, A₁₂ = (-1)¹⁺² ·=1, A₁₃ = (-1)¹⁺³ ·=1,

A₂₁ = (-1)²⁺¹ ·=– 4, A₂₂ = (-1)²⁺² ·=2, A₂₃ = (-1)²⁺³ ·=–2,

A₃₁ = (-1)³⁺¹ ·=0, A₃₂ = (-1)³⁺² ·=1, A₃₃ = (-1)³⁺³ ·=1.

А^-1 = ===.

Проверка: А · А^-1 = · = .

Ответ: А^-1 = .