Подпространство, критерий подпространства, система образующих, базис и размерность векторного пространства. Примеры

Определение 3.2. Пусть V = (V, +, {w |F}) – векторное пространство. Непустое подмножество L V называется векторным (линейным) подпространством пространства V над полем F, если L само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенных в пространстве V.

Замечание 3. Из определения следует, что 1) подпространство L определяется над тем же полем, что и пространство V. Справедлива теорема:

Теорема 3.2 (критерий подпространства). Непустое подмножество L  V является векторным подпространством пространства V над полем F, тогда и только тогда, когда L замкнуто относительно операций (+) и : 1) а, b V а + b V; 2) F аV аV.

Примеры: 1. Пусть дано пространство (V₃, +, {| }), его подпространствами будут:

а) (L₁, +, {| }) – подпространство одномерных векторов, лежащих на любой прямой, проходящей через начало координат;

б) (L₂, +, {| }) – подпространство двумерных векторов, лежащих на плоскости, проходящей через начало координат;

в) (L₃ = {a = (), гдеR}, +, {|}) – подпространство в R³;

2. Пусть дано векторное пространство М₂₂(R) – векторное пространство квадратных матриц 2-го порядка над полем R. Множество L = является его подпространством.

Определение 3.3. Конечная система векторов S = (a₁ , … , a_n) называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация её векторов, равная нулевому вектору пространства V . Другими словами, конечная система векторов S линейно зависима, если:

 ₁ , … , _n  F (₁  0  …  _n  0)  (₁ a₁ + … + _n a_n = ).

Определение 3.4. Конечная система векторов S = (a₁ , … , a_n) называется линейно независимой, если:

 ₁ , … , _n  F ₁ a₁+ … +_n a_n =  ₁ = … = _n = 0 .

Примеры: 1. Система векторов S = ((1, 2, 3), (–2, 3, 1), (–1, 5, 4)) в векторном пространстве R³ линейно зависима, т.к. 1 a₁ + 1 a₂ – 1 a₃ = – нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору. Эту комбинацию можно найти, записав условие:

₁ a₁ + ₂ a₂ + ₃ a₃ = ₁  (1, 2, 3)+₂  (–2, 3, 1)+₃  (–1, 5, 4) = (0, 0, 0) и решив соответствующую однородную систему уравнений.

2. Любые коллинеарные или компланарные векторы в векторном пространстве геометрических векторов V₃ линейно зависимы.

Определение 3.5. Векторное пространство V над полем F называется конечномерным, если существует такая конечная система S ={a₁,…, a_n}  V, что любой вектор b V можно представить в виде линейной комбинации b=₁  a₁ + … + _n  a_n . При этом система векторов (a₁ , … , a_n) называется порождающими или образующими векторного пространства V .

Определение 3.5. Конечная система (1) (e₁, …, e_n) векторов пространства V называется базисом векторного пространства V , если одновременно выполнены два условия:

1)система (1)– линейно независима, 2) система (1)– система образующих векторного пространства V.

Теорема 3.3 (о базисе конечномерного векторного пространства).