Геометрическая интерпретация действий

Операции над комплексными числами также могут быть осмыслены с геометрической точки зрения. Так, операции сложения z₁ + z₂ (вычитания z₁ – z₂ = z₁ + (– z₂ ) двух комплексных чисел z₁ и z₂ в алгебраической записи соответствуют операции сложения двух векторов по правилу параллелограмма (рис. 3).

При умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Следовательно, чтобы умножить комплексное число z₁ на z₂ нужно длину вектора z₁ изменить в | z₂ | раза (растянуть или сжать), а затем полученный вектор повернуть вокруг начала координат на угол arg z₂ (рис. 4)

Геометрический смысл операциисостоит в делении окружности радиусанаn равных частей.

Пример. Вычислить и изобразить все его значения геометрически.

Представим комплексное число z = – 4 в тригонометрической форме. Для этого найдем его модуль и аргумент.

| – 4 | = 4, arg (– 4) = , – 4 = 4 (cos + i · sin )

Тогда ,k = 0, 1, 2, 3.

Придавая параметру k значения 0, 1, 2, 3, получаем четыре значения корня четвертой степени из 4.

z₀ =,

z₁ =,

z₂ =,

z₃ =.

Изобразим найденные корни на комплексной плоскости, они делят окружность радиуса на четыре равные части. Кроме того, мы вписали в эту окружность правильный четырехугольник (квадрат) (рис. 5).

Замечание. Часто при решении задач используется геометрический смысл модуля разности двух комплексных чисел, как расстояния между двумя точками на плоскости. | z₁ – z₂ | = ( z₁, z₂).

Пример. Найти геометрическое место точек, для которых

| z – (2 + i) | 3

Г

y

еометрический смысл этого неравенства состоит в том, что расстояние от точки (2, 1) до точек (x, y) не превосходит 3. Это значит, что искомым геометрическим местом точек является круг с центром в точке (2, 1) радиуса 3 (рис. 6).

МЕТОДИКА 12.

Билет № 13. Векторные пространства

Определение и простейшие свойства векторных пространств. Примеры

Пусть V – непустое множество, состоящее из элементов произвольной природы. Будем обозначать его элементы малыми буквами латинского алфавита, и называть векторами. Пусть дано произвольное поле F = (F, +, ·), элементы которого будем обозначать малыми буквами греческого алфавита, и называть скалярами.

Зададим на множестве V бинарную операцию +: V×VV, +: (а, b) с, где а, b, c V и назовем ее сложением векторов (а, b V а + b V).

Определим также внешнюю композицию w: F × V V , w: (, а) а

и назовем ее умножением скаляра на вектор (F аV аV).

Определение. 3.1. Алгебра V = (V, +, {w |F}) называется векторным (линейным) пространством над полем F, если выполняются следующие условия (аксиомы):

1 – 4. (V, +) – абелева группа.

5. аV 1 ∙ аV.

6. F аV () ∙ а = ( ∙а) (умножение на скаляр ассоциативно).

7. F аV () ∙ а= а + ∙ а (умножение на скаляр дистрибутивно по отношению к сложению векторов).

8. F а, b V ∙ (а + b) = а + ∙ b (умножение вектора на скаляр дистрибутивно по отношению к сложению скаляров).

Замечание 1. Если F = R, то V над R называют вещественным векторным пространством, если F = C, то V над C называют комплексным векторным пространством.

Примеры. 1. Rⁿ – арифметическое векторное пространство, в котором любой вектор аRⁿ представляет собой упорядоченный набор из n действительных чисел, то есть а = (), гдеR (i = 1, 2, … , n); в Rⁿ операция сложения векторов и умножение на скаляр задается правилами:

а) a + b = () + () = ();

б)·а = · () = ().

2. М_nn(R) – векторное пространство квадратных матриц n-го порядка над полем R. Любой вектор в этом пространстве представляет собой квадратную матрицу вида:

А + B = || a_ij || + || b_ij || = || a_ij + b_ij || , i, j = 0, 1, 2,…, n; · || a_ij || = ||а_ij ||.

3. V₂ – векторное пространство геометрических векторов плоскости.

4. V₃ – векторное пространство геометрических векторов трехмерного пространства.

Замечание 2. Из определения следует, что любое векторное пространство V над F прежде всего является аддитивной абелевой группой, поэтому все свойства абелевых групп справедливы и для векторных пространств.

В след. теореме сформулируем простейшие свойства (следствия из определения V над полем F).

Теорема 3.1. Если V векторное пространство над полем F, то а, bV, F:

1⁰. (a + b = a) (b = )

2⁰. (a + b = )(b = – a)

3⁰. (a =b0) (a = b)

4⁰. (a =a a) ()

5⁰. (a = ) ( = 0 a = )

6⁰. 0∙ a =

7⁰. ∙ = .

Для доказательства всех этих утверждений используются свойства аддитивной группы векторного пространства и другие аксиомы.

1⁰. Действительно, (a + b = a) (b = ), так как (V, +) – абелева группа, в которой существует единственный V : аV a + = а.

2⁰. Аналогично в группе (V, +) аV !(-а )V : а + (- а) = (- а) + а = , следовательно, b = - a.

3⁰. (a =b 0) (a = b) так как F , а F – поле, то в нем F ( 0) F ·= ·= 1 и тогда ·(а) = ·( b) (·) а = (·) b (a = b).

6⁰. 0 ∙ a = . Действительно, 0 · а = (0 + 0) · а = 0 · а + 0 · а, отсюда по свойству 1⁰ следует, что 0 · а = .

Аналогично можно доказать остальные свойства.