Внеклассное мероприятие по математике в 8 классе: «Эта забавная математика»

Цели игры:

• проверка знаний учащихся, их сообразительности и находчивости;

• формирование и развитие творческого интереса у учащихся к занятиям математикой;

• развитие культуры коллективного умственного труда;

• развитие мышления, наблюдательности, взаимопомощи, сообразительности, чувства товарищества.

Форма проведения мероприятия: соревнование

Оборудование: заранее подготовленные карточки с заданиями для команд, почетные грамоты для команд, доска оформлена рисунками и плакатами.

В игре принимает участие 2 команды (по 8 человек в каждой).

Билет № 12Поле комплексных чисел

Теорема о поле комплексных чисел

Назовем мнимой единицей символ i, удовлетворяющий единственному свойству: i² = – 1.

Теорема 2.1. Существует единственное, с точностью до изоморфизма поле (С, +, ), называемое полем комплексных чисел, в котором выполняются следующие условия:

1. Поле действительных чисел (R, +,  ) является подполем в (С, +,  ),

2.  i  C i² = –1.

3.  z  C  ! a, b  R z = a + i b.

Запись комплексного числа z в виде a + i b называется его алгебраической формой записи, при этом а называют действительной частью комплексного числа z, i b – мнимой частью, а b – коэффициентом мнимой части.

Обозначение: Re z – действительная часть, I m z – мнимая часть комплексного числа.

При доказательстве этой теоремы устанавливаются следующие правила сложения, умножения и деления в поле комплексных чисел для чисел в алгебраической форме записи:

(a + i  b) + (c + i  d) = (a + c) + i  (b + d), (1)

(a + i b)  (c + i d) = (a  c – b  d) + i  (a  d + b  c), (2)

(a + i  b) – (c + i  d) = (a – c) + i  (b –d), (3)

= +i  , где на (c + i  d) 0 (4)

На практике обычно формулы (3) и (4) не запоминают, а руководствуются такими мнемическими правилами:

а) чтобы перемножить два комплексных числа, нужно перемножить их как два двучлена;

б) чтобы разделить (a + i  b) на (c + i  d) 0, нужно числитель и знаменатель домножить на комплексное число , сопряженное знаменателю и выполнить указанные действия ((c – i  d) называют сопряженным по отношению к (c + i  d)).

Примеры. 1. (2 + i · 5) + (3 + i · (-4)) = (2 + 3) + i · (5 – 4) = 5 + i

2. (2 + i  (–3))  (1 – i) – = (–1 – i  5) – = (–1 – i  5) – – = + i  () .

Так как (z = a + i · b) (C = R × R), то с геометрической точки зрения, любое комплексное число имеет две равноправные геометрические интерпретации (модели).

1. точка координатной плоскости А (а, b);

2. радиус-вектор с концом в точке с координатами (а, b).

Тригонометрическая форма записи

Геометрический подход к понятию комплексного числа позволяет записывать его в так называемой тригонометрической форме. Для этого вводится понятие модуля и аргумента.

Определение 2.1. Модулем комплексного числа z называется арифметическое значение корня квадратного из а² + b², т. е. | z | = .

Это понятие является обобщением понятия «абсолютная величина действительного числа», так как, еслиz = a + i · 0, то | z | = = |а |.

С геометрической точки зрения, модуль комплексного числа – это длина радиус-вектора ОА или расстояние от начала координат до точки с координатами (а, b) (рис. 1).

Определение 2.2. Аргументом комплексного числа z называют угол между положительным направлением осии радиус-вектором, отсчитываемым против часовой стрелки.

Из этого определения следует, что аргумент комплексного числа определяется неоднозначно, а с точностью до числа, кратного 2. Поэтому на практике, в качестве аргумента, обычно берут наименьший по абсолютной величине угол, который обозначают=arg z и находят из соотношений:

cos= , sin = , 0 2а = | z | · cos,b = | z | · sin,

тогда z = a + i · b = | z | · (cos+i · sin) и мы получилитригонометрическую форму записи комплексного числа.

Определение 2.3. Тригонометрической формой записи комплексного числа z называется представление его в виде z = r  (cos+ i  sin), где r = | z | – неотрицательное действительное число,  [0, 2).

Понятие модуля и аргумента комплексного числа z позволяют записать это число в тригонометрической форме.

Пример. Комплексное число z = – i записать в тригонометрической форме.

1. Изобразим данное комплексное число на координатной плоскости. Это будет радиус-вектор с концом в точке А (, - 1) (рис. 2)

2. Найдем его модуль |z | = | – i | = == 2.

3. Найдем аргумент из соотношений:

cos= = ,sin = = или

Таким образом, z = – i = 2 · [cos +i · sin].

Существование двух форм записи одного и того же комплексного числа z = a + i · b = r  (cos+ i  sin) позволяет выполнять алгебраические операции на множестве С в той форме, которая наиболее удобна в каждом конкретном случае.

Теорема 2.2. Если z₁ = r₁ (cos + i  sin), z₂ = r₂ (cos + i  sin)), то

1) z₁ · z₂ = r₁ · r₂ · [cos + i  sin];

2) z₁ : z₂ = · [cos + i  sin], где z₂ 0;

3) если r  0, то для любого n  Z справедлива формула Муавра

zⁿ = rⁿ · [cos( n ·) + i  sin (n ·)],

4), k = 0, 1, 2, …, (n-1).

Операции сложения и вычитания в тригонометрической форме на практике не выполняются.

Пример. Найти (1– i)¹⁰⁵.

Имеем 1– i = |1 – i|  (cos + i  sin) , где |1– i| = = ,

, = .

Таким образом, z =  (cos   + i  sin  ) и

z¹⁰⁵ = ()¹⁰⁵ (cos   + i  sin ) = 2⁵⁰   (cos   + i  ·sin ) = 2⁵⁰   (cos   + i  sin ) = 2⁵⁰   (cos  + i sin  ) = 2⁵⁰(–+i  ) = – 2⁵⁰ + i  2⁵⁰.