![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Тобольск – 2012
- •Глава I. Великая теорема ферма и алгебраические числа
- •§ 1. Предварительные сведения
- •§ 2. Диофантовы уравнения, пифагоровы тройки и Великая теорема Ферма
- •§ 3. Метод бесконечного спуска и доказательство
- •§ 4. Сводка результатов: от Эйлера до Куммера
- •Глава II. Великая теорема ферма и abc-гипотеза
- •§ 1. Гипотеза Таниямы и доказательство Вайлса
- •Великой теоремы Ферма
- •§ 2. Abc-гипотеза и “Великая теорема Ферма” для многочленов
- •§ 3. Abc-гипотеза для натуральных чисел
- •§ 4. Некоторые следствия abc- и (abc)2- гипотез
§ 3. Abc-гипотеза для натуральных чисел
Теоретико-числовая
abc-проблема
формулируется следующим образом: при
любом
> 0 существует такая константа K(ε) >
0, что для всех взаимно простых натуральных
чисел a, b, c со свойством a + b = c, верно
неравенство c
K(ε)·(r(abc))1+
, где для заданного натурального числа
n
с каноническим разложением n
=
символr(n)
обозначает выражение p1
… pk
и называется радикалом числа n
(при этом
считаем, что
r(1)
= 1).
Именно в таком довольно неестественном виде эта гипотеза была сформулирована Массером и Остерле в 1986 г. Её значение состоит в том, что в случае её справедливости получаются изящные и короткие доказательства известных трудных теорем теории чисел, в том числе и доказательство Великой теоремы Ферма. Массер и Остерле не сразу сформулировали эту гипотезу. Они работали над много более общей задачей, которая ни в коей мере не элементарна, abc-гипотеза возникла из глубокого изучения алгебраической геометрии и теории модулярных функций.
Примеры: r(24) = r(233) = 23 = 6, r(10) = r(25) = 25 = 10, r(2016) = = r(24101) = 2101 = 202.
Ясно, что для любого числа n N верны неравенства r(n) n, r(nm) = = r(n) n = (nm)1 / m .
Любую тройку натуральных чисел (a; b; c) со свойствами a + b = c, НОД(a, b) = 1 будем называть abc-тройкой. Нетрудно понять, что условие НОД(a, b) = 1 взаимной простоты чисел a, b равносильно условию взаимной простоты любой пары чисел из abc-тройки. Например, НОД(a, c) = 1 : если D = НОД(a, c), то D | a, D | c и из равенства a + b = c получаем, что D | b , т.к. b = c – a, т.е. D – общий делитель a и b, а значит, D = 1. Таким образом, в определении abc-тройки можно ограничиться условием взаимной простоты НОД(a, b, c) = 1 всех трёх чисел a, b, c в совокупности.
Примеры: 1. 1 + 1 = 2. Здесь c = 2 < 1r(abc)1+ = 121+, K() = 1.
2. 1 + 2 = 3, c = 3 < 1r(abc)1+ = 161+, K() = 1.
3. 1 + 3 = 4. Здесь c = 4 < 1r(abc)1+ = 161+, K() = 1.
4.
1
+ 8 = 9,
c
= 9 <
r(abc)1+
=
61+,
K()
=
.
5. 3 + 125 = 128. Здесь c = 128 < 4r(abc)1+ = 4301+, K() = 4.
6. 5 + 27 = 32, c = 32 < 1,1r(abc)1+ = 1,1301+, K() = 1,1.
7. 12 + 13 = 25, c = 25 < 1r(abc)1+ = 13901+, K() = 1.
abc-Гипотеза для натуральных чисел выглядит сложнее, чем для многочленов. Первое, что приходит в голову, – упростить её формулировку: существует такая константа K > 0, что для любой abc-тройки верно неравенство c < Kr(abc). Однако, как показали два студента Йельского университета Стейл Войтек Ястрзебовский и Дэн Шпильман, такое предположение не верно:
Лемма.
(1) Для любого k
N
.
(2) Для любого k
N
тройка
являетсяabc-тройкой,
причём с =
> r(abc)
= 3r(
).
(3) Не существует такой константы K > 0, что для любого k N для abc-тройки из (1) верно c < Kr(abc).
Доказательство. (1) Индукция по k. База k = 1: 8 = 32 – 1 23.
Предположим, что
для k
= 1, … , m
и докажем, что это верно и при k
= m
+ 1:
.
Действительно,
,
так что
.
Первая скобка чётна, т.е. делится на
2,
а вторая скобка по предположению
индукции делится на 2
m+2.
Произведение же скобок делится на 2
m+3,
что и требовалось.
(2)
То, что
– abc-тройка,
не вызывает сомнений. Проверим
неравенство из формулировки abc-гипотезы.
Во- первых, r(abc)
= r(1)
= r(
).
Во-вторых, в каноническом разложении
, где s
k
+ 2, простые
числа в правой части не равны 3,
т.к. иначе, 3
|
,
3 |
и 3
| 1, что
невозможно. Наконец, r(
)
= 32p2
… pk
.
Таким образом, с
=
> r(abc).
(3) От противного с учётом предыдущих вычислений:
,
т.е. K
>
, что
невозможно при k
.
Лемма доказана.
Утверждение (2) леммы показывает, что существует бесконечно много abc-троек со свойством c > r(abc). Такие тройки называются хитовыми. Расчёты на ЭВМ показывают, что хитовых троек относительно мало: так, для c < 50000 есть только 276 хитовых троек. Приведём все хитовые тройки для c < 1000 (их всего 31):
№ |
тройка |
№ |
тройка |
1 |
1 + 8 = 9 > r(12332) = 6 |
2 |
1 + 48 = 49 > r(132472) = 42 |
3 |
1 + 63 = 64 > r(1(327)26) = 42 |
4 |
1 + 80 = 81 > r(1(245)34) = 30 |
5 |
5 + 27 = 32 > r(53325) = 30 |
6 |
32 + 49 = 81 > r(257234) = 42 |
7 |
3 + 125 = 128 > r(35327) = 30 |
8 |
4 + 121 = 125 > r(2211253) = 110 |
9 |
1 + 224 = 225 > r(1(257)(3252) = 210 |
10 |
1 + 242 = 243 > r(1(2112)35) = 66 |
11 |
1 + 288 = 289 > r(1(2532)172) = 102 |
12 |
2 + 243 = 245 > r(235(572) = 210 |
13 |
7 + 243 = 250 > r(735(253)) = 210 |
14 |
13 + 243 = 256 > r(133528) = 78 |
15 |
81 + 175 = 256 > r(34(527)28) = 210 |
16 |
100 + 243 = 343 > r((2252)3573) = 210 |
17 |
32 + 343 = 375 > r(2573(353)) = 210 |
18 |
169 + 343 = 512 > r(1327329) = 182 |
19 |
1 + 512 = 513 > r(129(3319)) = 114 |
20 |
5 + 507 = 512 > r(5(3132)29) = 390 |
21 |
27 + 512 = 539 > r(3329(7211)) = 462 |
22 |
49 + 576 = 625 > r(72(2632)54) = 210 |
23 |
81 + 544 = 625 > r(34(2617)54) = 510 |
24 |
200 + 529 = 729 > r((2352)23236) = 690 |
25 |
1 + 624 = 625 > r(1(24313)54) = 390 |
26 |
1 + 675 = 676 > r(1(3352)(22132)) = 390 |
27 |
104 + 625 = 729 > r((2313)5436) = 390 |
28 |
343 + 625 = 968 > r(7354(23112)) = 770 |
29 |
1 + 728 = 729 > r(1(2391)36) = 546 |
30 |
25 + 704 = 729 > r(52(2611)36) = 330 |
31 |
1 + 960 = 961 > r(1(2635)312) = 930 |
|
|
Смысл хитовости
понятен: только хитовые тройки могут
дать контрпример к abc-гипотезе,
поэтому именно на них нужно сосредоточить
особое внимание. Можно ввести меру
хитовости
abc-тройки
: для abc-тройки
(a;
b;
c)
положим
. Ясно, что это равенство эквивалентно
следующим соотношениям:
ln
c
= ln
r(a,
b,
c)
c = eln r(a, b, c) = (eln r(a, b, c)) c = r(a, b, c)(a, b, c), (a, b, c) = log r(a, b, c) c .
Оказывается, что все известные abc-тройки имеют ограниченную меру хитовости. Вот первые три тройки в хит-параде хитовых троек:
1. a = 2, b = 310109, c = 235, = 1,62991…
2. a = 112, b = 325673, c = 22123, = 1,62599…
3. a = 191307, b = 7292318, c = 2832254, = 1,62349…
Для примера приведём меры хитовости для всех хитовых троек со значениями c < 1000:
№ |
тройка |
|
№ |
тройка |
|
1 |
1 + 8 = 9 |
1,22629… |
2 |
1 + 48 = 49 |
1,0412… |
3 |
1 + 63 = 64 |
1,11269… |
4 |
1 + 80 = 81 |
1,29203… |
5 |
5 + 27 = 32 |
1,01897… |
6 |
32 + 49 = 81 |
1,17571… |
7 |
3 + 125 = 128 |
1,42656… |
8 |
4 + 121 = 125 |
1,02719… |
9 |
1 + 224 = 225 |
1,01290… |
10 |
1 + 242 = 243 |
1,31110… |
11 |
1 + 288 = 289 |
1,22518… |
12 |
2 + 243 = 245 |
1,02882… |
13 |
7 + 243 = 250 |
1,03260… |
14 |
13 + 243 = 256 |
1,27279… |
15 |
81 + 175 = 256 |
1,03704… |
16 |
100 + 243 = 343 |
1,09175… |
17 |
32 + 343 = 375 |
1,10843… |
18 |
169 + 343 = 512 |
1,19875… |
19 |
1 + 512 = 513 |
1,31757… |
20 |
5 + 507 = 512 |
1,04562… |
21 |
27 + 512 = 539 |
1,02512… |
22 |
49 + 576 = 625 |
1,20396… |
23 |
81 + 544 = 625 |
1,03261… |
24 |
200 + 529 = 729 |
1,00841… |
25 |
1 + 624 = 625 |
1,07904… |
26 |
1 + 675 = 676 |
1,09219… |
27 |
104 + 625 = 729 |
1,10484… |
28 |
343 + 625 = 968 |
1,03443… |
29 |
1 + 728 = 729 |
1,04586… |
30 |
25 + 704 = 729 |
1,13667… |
31 |
1 + 960 = 961 |
1,00479… |
|
|
|
В связи с этим естественно возникают следующие вопросы:
О верхней грани меры хитовости: существует ли такое число g, что для всех abc-троек выполнено неравенство (a, b, c) g ?
О конечности числа abc-троек с высокой мерой хитовости: верно ли, что для любого h > 1 существует лишь конечное число abc-троек со свойством (a, b, c) h, и бесконечно много abc-троек, для которых выполнено 1 < (a, b, c) < h ?
Оба эти утверждения пока не доказаны, но и не опровергнуты. Ясно, что из положительного ответа на второй вопрос следует положительный ответ и на первый: если h > 1 и лишь конечное число abc-троек имеют меры хитовости 1 , … , k больше h, то можно взять g = max{1 , … , k } + 1. С другой стороны, положительный ответ на второй вопрос эквивалентен справедливости abc-гипотезы:
Теорема (об эквивалентных формулировках abc-гипотезы). Следующие утверждения эквивалентны:
(1) abc-гипотеза: для любого > 0 существует константа K() > 0, для которой c K()r(a, b, c)1 + для любой abc-тройки;
(2) для любого > 0 существует лишь конечное число хитовых abc-троек со свойством с > r(a, b, c)1 + ;
(3) для любого h > 1 существует лишь конечное число abc-троек со свойством (a, b, c) h .
Доказательство.
(1)
(2) От
противного: пусть для некоторого
> 0 есть
бесконечное множество хитовых abc-троек
{(ai
; bi
; ci
)}i
N
со свойством r(ai
, bi
, ci)1
+
< сi
. По
abc-гипотезе
для числа
найдётся такая константаK
=
,
что ci
Kr(ai
, bi
, ci)
,
а значит, будут верны неравенства
r(ai
, bi
, ci)1
+
< ci
Kr(ai
, bi
, ci)
,
r(ai
, bi
, ci)
<K,
т.е. ограничена последовательность
{r(ai
; bi
; ci
)}i
N
: r(ai
, bi
, ci)
< K
.
Поэтому ограничена последовательность
{ci}
i
N
: ci
Kr(ai
, bi
, ci)
<K
, вопреки бесконечности рассматриваемого
множества хитовых троек.
(2)
(3) Пусть для
любого
> 0 существует
лишь конечное число хитовых
abc-троек
со свойством
с > r(a,
b,
c)1
+ .
Выбрав число h
> 1 и взяв
= h
– 1, получим
набор хитовых троек (ai
; bi
; ci
) (1
i
k),
удовлетворяющих неравенствам сi
> r(ai
, bi
, ci)h
. Если
тройка (a
; b
; c)
имеет меру
хитовости
, тоc
= r(a,
b,
c)(a,
b,
c)
> r(a,
b,
c)h,
так что любая такая тройка должна
совпадать с одной из
(ai
; bi
; ci
) (1
i
k),
что и требовалось.
(3)
(1) Пусть для
любого h >
1 существует
лишь конечное число
abc-троек
со свойством
(a,
b,
c)
h
c
= r(a,
b,
c)(a,
b,
c)
r(a,
b,
c)h
.
Зафиксировав произвольное
> 0 и положив
h
= 1 + ,
получим лишь конечное число k
= k()
abc-троек
(ai
; bi
; ci
) (1
i
k),
удовлетворяющих
неравенствам сi
r(ai
, bi
, ci)h
= r(ai
, bi
, ci)1
+ .
Взяв
,
получим сi
< K()r(ai
, bi
, ci)1
+ .
Для остальных хитовых abc-троек
выполнены неравенства c
r(a,
b,
c)1
+
< K()r(a,
b,
c)1
+ .
Таким образом, из утверждения (3)
следует abc-гипотеза.
Теорема доказана.
Вера в правдоподобность abc-гипотезы укрепляется её справедливостью для многочленов и компьютерными расчётами. В Интернете существует проект по проверке этой гипотезы (а также и некоторых других) путём вычислений, распределённых по компьютерам многочисленных пользователей. Справедливость abc-гипотезы уже проверена для всех натуральных чисел с несколькими десятками цифр. При этом не только не найдено контрпримера, но и не превзойдёна максимальная мера хитовости = 1,62991… . Поэтому не менее чем abc-гипотеза правдоподобно следующее предположение: для любой abc-тройки верно с < r(a, b, c)2, в котором максимальная мера хитовости даже огрублена до двух. Это предположение будем в дальнейшем называть (abc)2 -гипотезой.