![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Тобольск – 2012
- •Глава I. Великая теорема ферма и алгебраические числа
- •§ 1. Предварительные сведения
- •§ 2. Диофантовы уравнения, пифагоровы тройки и Великая теорема Ферма
- •§ 3. Метод бесконечного спуска и доказательство
- •§ 4. Сводка результатов: от Эйлера до Куммера
- •Глава II. Великая теорема ферма и abc-гипотеза
- •§ 1. Гипотеза Таниямы и доказательство Вайлса
- •Великой теоремы Ферма
- •§ 2. Abc-гипотеза и “Великая теорема Ферма” для многочленов
- •§ 3. Abc-гипотеза для натуральных чисел
- •§ 4. Некоторые следствия abc- и (abc)2- гипотез
Глава I. Великая теорема ферма и алгебраические числа
§ 1. Предварительные сведения
В этом параграфе напомним основные факты о делимости целых чисел и сравнимости по модулю.
Если a, b Z , b 0, то говорят, что b делит a или a кратно b, если a = bq для некоторого q Z. В этом случае пишут a b или b | a .
Примеры: 1. 156 52, т.к. 148 = 523.
2.
–143
52, т.к. –143
= 52(–3)
+ 13, т.е. –143
даёт остаток 13
при делении
на 52.
Упомянем важнейшие свойства делимости нацело:
10. Если a | b и c | d , то ac | bd. В частности, верно a | bc, ac | |bc|, |ac| | bc , (±a) | (±b) при любой независимой друг от друга расстановке знаков у чисел a и b.
20. Если a | b1 , … , a | bk , то a | (b1c1+ …+bkck ) для любых целых чисел c1 , … , ck .
30. Если a 0, b | a, то |b| |a|. В частности у каждого ненулевого целого числа лишь конечное число делителей.
Пусть a1 , … , an – целые числа, одновременно не равные нулю. Их общим делителем называется любое целое число d, делящее все указанные числа. Наибольший среди всех общих делителей не равных одновременно нулю целых чисел a1 , … , an называется наибольшим общим делителем этих чисел и обозначается через НОД(a1 , … , an) или (a1 , … , an).
Примеры: НОД(0, 8) = 8, (12, 18) = 6, НОД(7, 9) = 1, (12, 40, 28) = 4, НОД(0, 0) не определён.
Общим кратным ненулевых целых чисел a1 , … , an называется любое целое число, делящееся одновременно на каждое из указанных чисел. Наименьшее положительное кратное этих чисел называется их наименьшим общим кратным и обозначаемое символом НОК[a1 , … , an] или просто через [a1 ,… , an].
Примеры: НОК[0, 2] не определено, [24, 16] = 48, НОК[4, 6] = 24, НОК[8, 6, 30] = 120.
В дальнейшем, имея дело с НОД(a1 , … , an) всегда будем молчаливо предполагать, что целые числа a1 , … , an одновременно не равны нулю, а имея дело с НОК[a1 , … , an] – что целые числа все a1 , … , an ненулевые.
Напомним важнейшие свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного:
10. НОД(a1 , … , an) и НОК[a1 , … , an] определёны однозначно.
20. Для произвольной перестановки (i1 , … , in) символов 1, … , n справедливы равенства
НОД(a1
, … , an)
= НОД(),
НОК[a1
, … , an]
= НОК[
].
30. Справедливы равенства
НОД(a1 , … , an) = НОД(±a1 , … , ±an), НОК[a1 , … , an] = НОК[±a1 , … , ±an]
при любых знаках в правых частях.
40. Если a | b, то НОД(a, b) = |a|, НОК[a, b] = |b|.
50. Для произвольного t Z справедливы равенства
НОД(a, b) = НОД(a, b – at) = НОД(a – bt, b).
60. Любой общий делитель d целых чисел а1 , … , an делит их наибольший общий делитель НОД(a1 , … , an), любое общее кратное K целых чисел а1 , … , an делится на их наименьшее общее кратное НОК[а1 , … , an].
110.
Справедливо
равенство НОК[a,
b]
=
.
Замечание.
Обобщение
НОК[a1
, … , аn]
=
доказанной
формулы на случай любого числа сомножителей
неверно.
Например,
НОК[2, 4, 6] = 12
= 24.
120. Справедливы формулы
(a1 , … , an) = ((a1 , … , an–1), an), [a1 , … , an] = [[a1 , … , an–1], an],
из которых следует, в частности, что вычисление НОД(a1 , … , an) и НОК[a1 , … , аn] сводится к последовательному вычислению аналогичных величин для двух чисел:
(a1 , … , an) = (((…((a1 , a2), a3), … ), an–1), an).
[a1 , … , an] = [[[…[[a1 , a2], a3], … ], an–1], an].
140. Для любого ненулевого с Z верны формулы
НОД(ca1 , … , can) = |c|НОД(a1 , … , an),
НОК[ca1 , … , can] = |c|НОК[a1 , … , an].
Как известно, НОД(a, b) удобно вычислять с помощью алгоритма Евклида.
Примеры: 1. Вычислить НОД(244, 356).
_ 356
|244
244
1
_
244 |112
224
2 _
112 |
20
100
5 _
20 |12 12
1 _
12 |
8 8
_ 8 | 4
8 2
0
Таким образом, НОД(244, 356) = 4 – последнему ненулевому остатку в алгоритме Евклида.
2. Вычислить НОД(244, 356, 96).
Имеем НОД(244, 356, 96) = ((244, 356), 96) = (4, 96) = 4.
3. Вычислить НОК[35, 50, 20].
Имеем НОК[35,
50, 20] = [[35, 20], 50] =
= [140, 50] = = 700,
т.к. НОД(35,
20) = 5НОД(7,
4) = 51
= 5 и [140,
50] = 10[14,
5] = = 1070
= 700.
Целые числа a1 , … , an называются взаимно простыми (в совокупности), если НОД(a1 , … , an) = 1. Они называются попарно взаимно простыми в случае, когда НОД(ai , aj) = 1 (1 i < j n).
Примеры: 1. Числа 6, 4, 3 взаимно просты в совокупности, но не попарно.
2. Числа 6, 11, 35 попарно взаимно просты.
3. Два числа взаимно просты в совокупности тогда и только тогда, когда они попарно взаимно просты.
Лемма (основное свойство двух взаимно простых чисел). Если целые числа a, b взаимно просты и a | bc, где с Z, то a | c.
Доказательство.
Утверждение очевидно, если a
= ±1. В
противном случае из НОД(a,
b)
= 1 получаем,
во-первых, b
0 (иначе
НОД(a,
b)
= |a|
> 1), а
во-вторых, НОК[a,
b]
=
= |ab|
. С другой стороны, bc
b
и bc
a,
т.е. bc
– общее
кратное чисел a,
b,
а значит, по свойства делимости делится
нацело на НОК[a,
b]
= |ab|
= ±ab.
Таким образом, bc
= abq
для некоторого
целого q,
т.е. c
= aq
и a
| c.
Лемма доказана.
Следствие 1. Если целое число a взаимно просто с b1 , … , bn и для некоторого c Z a делит b1…bnc, то a | c.
Доказательство. Постепенно уменьшаем число сомножителей: из условий a | b1…bnc и НОД(a, b1) = 1 следует по лемме a | b2…bnc . Продолжая этот процесс, на некотором шаге получим a | bnc и НОД(a, bn) = 1, откуда по лемме a | c .
Следствие 1 доказано.
Следствие. Целое число взаимно просто с каждым из нескольких целых чисел тогда и только тогда, когда оно взаимно просто с их произведением.
Доказательство. Если целое число a взаимно просто с каждым из нескольких целых чисел b1 , … , bn , и НОД(a, b1…bn) = D, то D взаимно просто с каждым bi (1 i n): любой общий делитель D и bi является общим делителем a и bi , т.е. равен ±1. Поэтому D | b1…bn1, и по следствию 1, D | 1, т.е. D = 1, что и требовалось.
Обратно, если a взаимно просто с b1…bn , то любой общий делитель a и bi будет общим делителем a и b1…bn , т.е. a взаимно просто с bi (1 i n).
Следствие 2 доказано.
Натуральное число p называется простым, если оно имеет ровно два различных натуральных делителя 1 и p.
Примеры: 1. Числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 – простые.
2. Числа –2, 0, 1, 4, 9, 10, 15, – не простые.
Напомним наиболее важные свойства простых чисел.
10. Любые два различных простых числа взаимно просты.
20. Для целого числа a и простого p верно НОД(a, p) > 1 a p.
30. Простое число делит произведение нескольких целых чисел тогда и только тогда, когда оно делит один из сомножителей.
Основная теорема
арифметики.
Любое целое число n,
модуль которого больше 1, единственным
образом записывается в виде канонического
произведения
,
гдеk
1, ±
{+ , –}, pi
– простые числа, i
N
и p1
< … <
pk
.
Пример: Найдём каноническое разложение числа –6230840.
Последовательно делим число n = 6230840 на простые числа:
ni |
6230840 |
3115420 |
1557710 |
778855 |
155771 |
22253 |
3179 |
289 |
17 |
pi |
2 |
2 |
2 |
5 |
7 |
7 |
11 |
17 |
17 |
Таким образом, 6230840 = 2357211172, а –6230840 = –2357211172. Здесь и далее первые степени простых чисел не пишем.
Следствие (о
взаимно простых сомножителях степени).
Если имеется разложение nk
= m1…ms
степени целого числа n
в произведение попарно взаимно простых
целых ненулевых сомножителей m1
, … , ms
, то эти сомножители, с точностью до
знака, являются k-ми
степенями некоторых попарно взаимно
простых чисел. Более
точно:
mi
= iuik
, где
i
{–1, 1}, ui
N
, НОД(ui
, uj)
= 1 (1
i
s, 1
j
s), |n| = u1…us
, 1…s
=
.
Доказательство.
Запишем mi
= i|mi|
, где i
= 1, если mi
> 0 и i
= –1, если
mi
> 0 (1
i
s),
и аналогично n
= |n|.
Тогда, очевидно, получается равенство
k|n|k
= (1…s)|m1|…|ms|,
откуда
=
=
k
= 1…s
, |n|k
= = |m1|…|ms|
. При этом
все модули являются натуральными
числами, так что осталось доказать
утверждение для натуральных чисел.
Пусть n,
m1
, … , ms
N
имеют разложения
,
(1
i
s)
в произведения
простых чисел, где выполнены неравенства
p1
< … < pf
, а rij
– простые
числа, не встречающиеся среди p1
, … , pf
. Тогда
.
Переставляя простые числа в правой
части (собирая их в степени с одинаковыми
основаниями), получим в левой и правой
частях равенства канонические разложения,
которые должны быть одинаковыми по
основной теореме арифметики. Это
показывает, что в правой части должны
отсутствовать сомножители rij
(1
j
ti
, 1
i
s),
а показатели степеней при простом числе
p
в левой и
правой частях равны: k
=
(1
f).
Таким образом,
,
причём ввиду попарной взаимной простоты
чисел m1
, … , ms
каждое
простое число pi
(1
i
f)
участвует
лишь в
одном из разложений чисел m1 , … , ms . Поэтому
,
где = 1 + … + s , но на самом деле в этой сумме лишь одно ненулевое слагаемое. Значит, сравнивая показатели степеней при p в левой и правой частях равенства, по основной теореме арифметики заключаем, что каждая степень ij делится на k : ij = kij для некоторого натурального или нулевого ij (1 i s, 1 j f).
Итак,
,
т.е.
ui
=
(1
i
s).
Эти числа
попарно взаимно просты, т.к. любой общий
делитель двух из них ui
, uj
будет общим делителем взаимно простых
чисел mi
, mj
, а значит,
равен ± 1.
Следствие доказано.
Наконец, напомним простейшие сведения из теории сравнений. Два целых числа a, b называются сравнимыми по модулю m Z \ {0}, если a – b m.
Примеры:
8
2 (mod
3), т.к. 8
– 2 = 32,
–27
12 (mod
5), т.к.
разность –27
– 12 = –39 не
делится нацело на 5.
Упомянем некоторые важнейшие свойства сравнений.
10. Числа a и b сравнимы по модулю m тогда и только тогда, когда они дают одинаковые остатки при делении на m.
20. Условия a b и a 0 (mod b) эквивалентны.
30. Любое целое число a сравнимо само с собой по любому модулю m (рефлексивность отношения сравнимости).
40. Если a b (mod m), то b a (mod m) (симметричность отношения сравнимости).
50. Если a b (mod m) и b с (mod m), то a c (mod m) (транзитивность отношения сравнимости).
60. Если a b (mod m), то для любого целого числа c справедливо
a ± c b ± c (mod m) , ac bc (mod m).
70. Если a b (mod m) и c d (mod m), то a ± c b ± d (mod m).
80. Если a b (mod m) и c d (mod m), то ac bd (mod m).
90. Если a b (mod m), то для любого натурального k верно сравнение ak bk (mod m).
100.
Если целые числа a, b, m делятся нацело
на число d
Z \
{0}, то a
b (mod m) тогда и только тогда, когда
.
110. Если da db (mod m) и НОД(d , m) = 1, то a b (mod m).
Сравнения дают удобный язык для изучения делимости чисел. Связь сравнений с делимостью выявлена в свойстве 20.
Примеры: 1. Вычислить остаток числа a4 – 8a3 + 19 при делении на 23, если известно, что a даёт при делении на 23 остаток 5.
Если a 5 (mod 23), то
a4 – 8a3 + 19 (a2)2 – 8aa2 + 19 22 – 852 + 19
– 402 + (22 + 19) –(–6)2 + 0 12 (mod 23),
т.е. искомым остатком будет 12.
2. Вычислить 18100 + 20 (mod 25).
18100 + 20 (–7)100 – 5 (72)50 – 5 (–1)50 – 5
1 – 5 –4 21 (mod 25).
Таким образом, не вычисляя числа 18100 + 20, можно сказать, что остаток этого числа при делении на 25 равен 21.
3. Найти младшую цифру числа 2435 – 18 .
Нужно вычислить . Имеем
2435 – 18 435 – 8 (42)174 – (–2) 6174 + 2 64 + 2 4 + 2 = 6 (mod 10).
Здесь использован тот факт, что младшая цифра числа 6k равна 6, т.е. 6k 6 (mod 10). Таким образом, искомой младшей цифрой будет 6.