Теоремы
.doc
Теорема (об основных равносильностях). Для любых формул A, B, C справедливы следующие равносильности:
|
(1) A A закон тождества |
(2) (A A) A, (A A) A законы идемпотентности |
(3) (A B) (B A), (A B) (B A) законы коммутативности |
|
(4) ((A B) C) (A (B C)), ((A B) C) (A (B C)) законы ассоциативности |
(5) ((A B) C) ((A С) (B C)), ((A B) C) ((A С) (B C)) законы дистрибутивности |
(6)
законы де Моргана |
|
(7)
закон двойного отрицания |
(8) (A
B)
( закон контрапозиции |
(9) (A
B)
( закон противоположности |
|
(10) (A (A B)) A закон поглощения |
(11) (A (A B)) A закон ограничения |
(12) (A (B C)) (B (A C)) закон перестановки посылок |
|
(13) (A
B)
(A
(A
B)
(A
законы склеивания по А |
(14) (A
(
(A
( законы удаления |
(18) (( закон рассуждений от противного |
|
законы, выражающие одни логические связки через другие: (1)
(A
B)
( (A
B)
(3) (A
B)
|
||
|
законы действий с тавтологиями и противоречиями: (1)
(А
1)
А, (A
1)
1,
(2) (А
0)
0,
(A
0)
A, (3) (A
(4)
(A
A)
1,
(0
A)
1,
(1
A)
A, (A
0)
(5) (A
A)
1,
(A
|
||
A
)
)
)
A,
)
A
B))
(A
B)
B))
(A
B)
B)
(
))
A
B), (A
B)
,
(2) (A
B)
(A
B)
(B
A), (A
B)
,
,
(A
B)
(A
B)
(
),
(A
)
(
B),
,
(A
B)
,
A
,
(4) (A
B)
(
B), (A
B)
)
0,
(A
)
1,
,
(A
1)
1,
)
0,
(A
1)
A, (A
0)
,
(6)
0,
1.
Теорема (об основных правилах логического вывода). Справедливы следующие основные правила логического вывода:
|
modus ponens |
перестановки посылок |
удаления конъюнкции |
расширенное силлогизма |
|
extra modus ponens |
объединения посылок |
введения конъюнкции |
modus tollens |
|
дедукции |
разделения посылок |
введения дизъюнкции |
опровержения |
|
расширения посылок |
контрапозиции |
силлогизма |
резолюций |
Теорема (об основных правилах логического вывода). Справедливы следующие основные правила логического вывода:
|
modus ponens |
перестановки посылок |
удаления конъюнкции |
расширенное силлогизма |
|
extra modus ponens |
объединения посылок |
введения конъюнкции |
modus tollens |
|
дедукции |
разделения посылок |
введения дизъюнкции |
опровержения |
|
расширения посылок |
контрапозиции |
силлогизма |
резолюций |
Теорема (об основных правилах логического вывода). Справедливы следующие основные правила логического вывода:
|
modus ponens |
перестановки посылок |
удаления конъюнкции |
расширенное силлогизма |
|
extra modus ponens |
объединения посылок |
введения конъюнкции |
modus tollens |
|
дедукции |
разделения посылок |
введения дизъюнкции |
опровержения |
|
расширения посылок |
контрапозиции |
силлогизма |
резолюций |
Теорема (об основных равносильностях с кванторами).
-
x A P(x, y) z A P(z, y), x A P(x, y) z A P(z, y),
-
x A ( y A P(x, y, z)) y A ( x A P(x, y, z)),
x A ( y A P(x, y)) y A ( x A P(x, y)) (для разноимённых кванторов неверно),
-
x
A
(x,
y),
x
A P(x, y)
,
x
A
(x,
y),
x
A P(x, y)
,
-
( x A P(x, y)) ( x A Q(x, y)) x A (P(x, y) Q(x, y)) (для неверно),
-
( x A P(x, y)) ( x A Q(x, y)) x A (P(x, y) Q(x, y)) (для неверно).
-
( x А Р(х, y)) R(y) x A (P(x, y) R(y)), ( x А Р(х, y)) R(y) x A (P(x, y) R(y)),
-
( x А Р(х, y)) R(y) ( x А (Р(x, y) R(y)),
( x А Р(х, y)) R(y) ( x А (Р(x, y) R(y))
-
х А (R(y) Р(х, y)) R(y) ( x А Р(х, y)), х А (R(y) Р(х, y)) R(y) ( x А Р(х, y)).
(в равносильностях (6), (7), (8) R(y) не зависит от x),
Теорема (об основных равносильностях с кванторами).
-
x A P(x, y) z A P(z, y), x A P(x, y) z A P(z, y),
-
x A ( y A P(x, y, z)) y A ( x A P(x, y, z)),
x A ( y A P(x, y)) y A ( x A P(x, y)) (для разноимённых кванторов неверно),
-
x
A
(x,
y),
x
A P(x, y)
,
x
A
(x,
y),
x
A P(x, y)
,
-
( x A P(x, y)) ( x A Q(x, y)) x A (P(x, y) Q(x, y)) (для неверно),
-
( x A P(x, y)) ( x A Q(x, y)) x A (P(x, y) Q(x, y)) (для неверно).
-
( x А Р(х, y)) R(y) x A (P(x, y) R(y)), ( x А Р(х, y)) R(y) x A (P(x, y) R(y)),
-
( x А Р(х, y)) R(y) ( x А (Р(x, y) R(y)),
( x А Р(х, y)) R(y) ( x А (Р(x, y) R(y))
-
х А (R(y) Р(х, y)) R(y) ( x А Р(х, y)), х А (R(y) Р(х, y)) R(y) ( x А Р(х, y)).
(в равносильностях (6), (7), (8) R(y) не зависит от x),
Теорема (об основных равносильностях с кванторами).
-
x A P(x, y) z A P(z, y), x A P(x, y) z A P(z, y),
-
x A ( y A P(x, y, z)) y A ( x A P(x, y, z)),
x A ( y A P(x, y)) y A ( x A P(x, y)) (для разноимённых кванторов неверно),
-
x
A
(x,
y),
x
A P(x, y)
,
x
A
(x,
y),
x
A P(x, y)
,
-
( x A P(x, y)) ( x A Q(x, y)) x A (P(x, y) Q(x, y)) (для неверно),
-
( x A P(x, y)) ( x A Q(x, y)) x A (P(x, y) Q(x, y)) (для неверно).
-
( x А Р(х, y)) R(y) x A (P(x, y) R(y)), ( x А Р(х, y)) R(y) x A (P(x, y) R(y)),
-
( x А Р(х, y)) R(y) ( x А (Р(x, y) R(y)),
( x А Р(х, y)) R(y) ( x А (Р(x, y) R(y))
-
х А (R(y) Р(х, y)) R(y) ( x А Р(х, y)), х А (R(y) Р(х, y)) R(y) ( x А Р(х, y)).
(в равносильностях (6), (7), (8) R(y) не зависит от x),
Теорема (об основных равносильностях с кванторами).
-
x A P(x, y) z A P(z, y), x A P(x, y) z A P(z, y),
-
x A ( y A P(x, y, z)) y A ( x A P(x, y, z)),
x A ( y A P(x, y)) y A ( x A P(x, y)) (для разноимённых кванторов неверно),
-
x
A
(x,
y),
x
A P(x, y)
,
x
A
(x,
y),
x
A P(x, y)
,
-
( x A P(x, y)) ( x A Q(x, y)) x A (P(x, y) Q(x, y)) (для неверно),
-
( x A P(x, y)) ( x A Q(x, y)) x A (P(x, y) Q(x, y)) (для неверно).
-
( x А Р(х, y)) R(y) x A (P(x, y) R(y)), ( x А Р(х, y)) R(y) x A (P(x, y) R(y)),
-
( x А Р(х, y)) R(y) ( x А (Р(x, y) R(y)),
( x А Р(х, y)) R(y) ( x А (Р(x, y) R(y))
-
х А (R(y) Р(х, y)) R(y) ( x А Р(х, y)), х А (R(y) Р(х, y)) R(y) ( x А Р(х, y)).
(в равносильностях (6), (7), (8) R(y) не зависит от x),