Вища математика1 / Algoritm

матрицi A ¹ квадратом

Q

Q

A

Розв'язання. Якщо

n

, òî

n

2

, тобто довiльне власне значення

2

ÂA(t) = i=1(t ¡ ¸i)

ÂA

(t) = i=1(t ¡ ¸i )

деякого власного значення матрицi .

два випадки: J(X) = J3

(3) àáî J(X) = J3(¡3). Розглянемо, наприклад, другий випадок. ЖНФ

матрицi X2 = J32(

3) =

0

0

9

6

1

äîðiâíþ¹ J3

(9), матриця переходу: S =

0

0

6

0

1.

¡

B

9

¡6

1

C

B

36

1

0

C

0

0

¡9

0

¡0 1

@

A

@

¡1

1

A

Òîäi J3(9) = S¡1J3 (

3)S, çâiäêè X = S¡1J3(

3)S. Обчисливши, одержимо X =

0

0

3

1.

¡6

¡

¡

B

¡3

6

216

C

0

¡0

¡3

2

@

1

A

0

1, äå T =

0

Ùå îäèí ðîçâ'ÿçîê: X = T ¡1J3

(3)T =

0

3

6

0

6

0

1.

3

1

¡1

36

1

0

B

0

6

216

C

B

0

0

1

C

0

3

@

1

A

@

A

Задача 8.1. Знайти ортогональну проекцiю prU (x) вектора x = (1; 1; 5)> на пiдпростiр U =

¡u1; u2; u3¢ ½ R3, äå

u1

=

0

2

1

; u2 =

0

5

1; u3 =

0

1

1

;

2

2

4

B

1

C

B

4

C

B

¡1

C

@

A

òà

@

A

@

A

ортогональну складову

ortU (x)

вектора

x

вiдстань вiд

x

äî

U

.

Øìiäòà:

(u2; v1) v1

= 0 2 1

18

0 2

1 = 0 2 1

2

0 2 1

= 0

2 1

:

v1 = u1; v2 = u2

¡ (v1; v1)

B

5

¡

9

2

C B

5

B

2

1

C

4 C

B 1

4 C ¡

1 C B

¡2

@

A

@

A

@

A

@

A

@

A

0

1

0

Отже, вектори v1 =

2

òà v2 =

2

1

утворюють ортогональний базис пiдпростору U. Òîäi

B

2

C

B

1

C

1

¡2

@

A

@

A

+ v2 = 0

3

1

(x; v1)

(x; v2)

9

9

prU (x) =

v1 +

v2 =

v1 +

v2

= v1

0

= 3e1 + 3e3:

(v1; v1)

(v2; v2)

9

9

B

3

C

@

A

Розв'язання. Випишемо матрицю F дано¨ квадратично¨ форми:

F =

0

2

2

¡2

1:

B

1

2

1

C

¡1

¡2

1

@

2

A

Знайдемо власнi вектори матрицi F . ÂF (t) = (t ¡ 2) (t + 4), îòæå, J(F ) = J1(2) © J1(2) © J1(¡4) i

Знайдемо

¡

= e3 ¡ e1; u2 = 2e1 + e2);

V2. Покладемо

¡

¡ 2e2 + e3):

V2 = Ker (F ¡ 2I3) =

u1

V¡4

= Ker (F + 4I3) =

u3 = e1

ортогональний базис власного пiдпростору

v1 = u1 = 0

1

1; v2

0

2

1

0

1

1

= 0

1

1:

¡0

= u2

¡

(u2; v1)

v1 =

1

¡2

¡0

1

(v2; v2)

2

B

1

C

B

0

C ¡

B

1

C B

1

C

@

A

@

A

@

A

@

A

0

1

1

1

1

0

p

p

1

¡p

p

p

1

¡ 3

2

1

2

3

6

1

2

p2

; T ¡

= T >:

T =

0

p1

p¡

=

0

2

3

6

p6

B

p12

p13

p16

C

B

p3

p2

¡1

C

@

A

@

A

Тодi формула перетворення координат квадратичíо¨ форми ¹ такою:

p

p2

x1

3

1

y1

0 x2

1

=

1

0

¡

p

10 y2

1

:

0

2

2

p6

B x3

C

B

p3

p2

¡1

CB y3

C

@

A

@

A@

A

0

2

0

0

1

T ¡1F T =

B

0

0

¡4

C

:

@

A