
Вища математика1 / Algoritm
.pdfЛIНIЙНА АЛГЕБРА. Приклади та алгоритми
1. Перетворення координат
Задача 1.1. Обчислити матрицю переходу вiд базису v = fv1; v2; v3g до базису w = fw1; w2; w3g простору R3, записати формулу перетворення координат [x]v =) [x]w та знайти координати вектора w1 + w2 + 2w3 в базисi v, ÿêùî
0 |
1 |
1 0 |
1 |
1 0 |
2 |
1 0 |
0 |
1 0 |
3 |
1 0 |
1 |
1 |
¡1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||
B |
0 |
C B |
1 |
C B |
¡3 |
C B |
1 |
C B |
¡2 |
C B |
¡1 |
C |
@ v1 |
A @ v2 |
A @ v3 |
A @w1 A @ w2 |
A @ w3 |
A |
Розв'язання.
|
|
Tew ) = 0 |
1 |
1 |
2 |
|
0 |
|
3 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
|
0:5 |
1 = ( I3 |
|
|
|||||
( Tev |
j |
¡1 |
0 |
1 |
j |
1 |
|
1 |
1 |
= |
|
0 |
1 |
0 |
j |
1 |
1 |
|
0:5 |
j |
Tvw ) |
||||||||||
|
|
B |
0 |
1 ¡3 jj |
1 |
|
¡2 ¡1 |
C |
|
) |
B |
0 |
0 |
1 |
jj |
0 |
1 |
|
0:5 |
C |
|
|
|
||||||||
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0:5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
= T = Tvw |
= |
1 |
1 |
0:5 |
; [x]v |
= T [x]w = T |
1 |
= |
3 |
: |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
) |
|
|
|
B |
0 |
1 |
0:5 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
2 |
C B |
2 |
C |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
A |
|
|
0 |
|
5 |
1 |
|
|
|
@ |
|
A |
|
@ |
0 |
A |
5 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Перевiрка: |
x = w1 + w2 + 2w3 = 2v1 + 3v2 |
+ 2v3 |
= |
|
4 |
2 |
R3, тобто [x]e = |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
¡3 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
B |
¡3 |
C |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
|
2. Матриця лiнiйного оператора
Задача 2.1. Нехай e = fe1; e2; e3g, l = fl1; l2g стандартнi базиси просторiв |3 òà |2 âiäïî- вiдно. Лiнiйний оператор f : |3 ! |2 дi¹ за правилом:
e1 =f) l1 ¡ l2; e2 =f) l1; e3 =f) l1 + l2:
Знайти матрицю цього оператора в базисах v = fv1; v2; v3g простору |4 òà w = fw1; w2g ïðî-
стору |3, ÿêùî |
|
; v2 = 0 |
1 1 |
; v3 = 0 |
¡1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡1 |
|
|||
v1 = 0 0 1 |
; |
w1 = |
|
3 |
; w2 = |
|
: |
|||||||||||
B |
1 |
B |
0 |
C |
|
B |
1 |
C |
|
|
à ¡2 |
! |
|
|
à |
1 ! |
|
|
1 C |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
@ |
A |
@ |
|
A |
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв'язання. Позначимо M = e[ f ]w, T = Tev, S = Tlw. Тодi матриця M0 |
= v[ f ]w визнача¹ться |
|||||||||||||||||
з тако¨ комутативно¨ дiаграми: |
|
|
|
|3 ¡¡¡! |2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
LM |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LT x |
LM |
0 |
xLS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
?3 |
|
?2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
? |
¡¡¡! ? |
0 |
|
|
|
1 |
|
à |
|
|
||
Îòæå v[ f ]w = M0 = S¡1MT = |
1 1 |
|
1 |
1 1 |
0 |
1 |
¡1 |
= |
2 3 |
3 . |
||||||||
|
|
|
|
2 3 |
! Ã ¡1 0 1 |
! B |
1 1 |
1 |
C |
|
4 7 8 ! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
1 |
0 |
1 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Задача 2.2. Знайти матрицю лiнiйного оператора f : |3 ! |3 в стандартному базисi коор- динатного простору |3, який переводить лiнiйно незалежнi вектори fv1; v2; v3g 2 |3 âiäïîâiäíî
у вектори fw1; w2 |
; w3g 2 |3, äå |
1 0 |
1 |
1 0 1 1 0 |
1 |
1 0 |
0 1 |
||
|
0 ¡1 |
1 0 0 |
|||||||
|
1 |
1 |
C B |
2 |
0 |
3 |
C B |
1 |
C |
|
B 0 |
C B 1 |
¡3 |
C B 1 C B |
¡2 |
¡1 |
|||
|
@ v1 |
A @ v2 |
A @ v3 |
A @w1 A @ w2 |
A @ w3 |
A |
Розв'язання. Позначимо через e = fe1; e2; e3g стандартний базис координатного простору |3. |
||||||||||||||||||
За умовою, v = v1; v2; v3 базис простору |3 i e[ f ]v = |
0 |
1 |
1 |
0 |
1. Òîäi |
|
|
|
||||||||||
f |
g |
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
3 |
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
¡2 |
¡1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
0 1 |
|
|
1 |
|
|
0 ¡1 |
@ |
|
1 = 1 |
A |
|
|
2 1 |
|
||
e[ f ]e = e[ f ]v |
Tev¡1 = |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
4 |
: |
||||||||
|
|
0 |
3 |
1 |
C ¢ |
6 |
1 |
5 |
1 |
C |
3 |
B |
5 |
5 |
4 |
|
||
|
|
B 1 ¡2 ¡1 |
B 1 |
1 |
¡1 |
¡4 ¡1 ¡2 C |
|
|||||||||||
|
|
@ |
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
A |
|
|
@ |
|
|
A |
|
3. Базиси суми та перетину пiдпросторiв
òà W = w1; w2; w3 |
, äå |
|
|
R |
5 знайти базиси суми та перетину пiдпросторiв |
V = ¡v1; v2; v3; v4¢ |
||||||||||||||||||||||||
Задача 3.1. В просторi |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
¡ |
0 |
|
|
1 1 0 |
1 1 0 |
|
1 |
1 0 1 |
1 0 1 |
1 0 1 1 0 |
0 1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
¢ |
|
|
1 |
C B |
0 |
|
C B |
|
1 |
C B |
2 |
C B |
1 |
C B |
0 |
C B |
0 |
C |
|
|
|||||||||
|
B |
|
|
0 |
1 |
|
¡0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
B |
¡ |
1 |
C B |
0 |
|
C B |
|
1 |
C B |
0 |
C B |
1 |
C B |
0 |
C B |
2 |
C |
|
|
||||||||||
|
B |
|
C B C B C B C B C B C B C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
B C B C B C B C B C B C B C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
1 |
C B |
1 |
|
C B |
|
0 |
C B |
2 |
C B |
1 |
C B |
0 |
C B |
0 |
C |
|
|
|||||||||
|
@ A @ A @ A @ A @ A @ A @ A |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
v1 |
|
|
|
|
v2 |
|
|
v3 |
|
|
v4 |
|
|
w1 |
|
|
|
w2 |
|
w3 |
|
|
|
||||
Розв'язання. Вектори v1; v2; v3 утворюють базис V , а вектори w1; w2; w3 |
базис W . Базис пiд- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ЗапишемоVñïiëüíó: |
матрицю та викона¹мо перетворення рядкiв: |
|
|
|
|
©v1; v2; v3; w1; w2; w3 |
ª. |
|||||||||||||||||||||||
простору |
+ W це максимальна лiнiйно незалежна пiдсистема системи |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
1 1 |
¡ |
1 |
|
j |
1 1 |
0 1 |
|
|
0 |
1 0 0 j 0 |
0 ¡1 |
1 |
|
|
||||||||||||
|
B |
|
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 1 |
|
|
0 j 1 0 |
1 |
=) |
B |
0 0 1 |
j |
0 |
¡1 |
0 |
C |
: |
|
|||||||||||||
|
B |
¡ |
1 0 |
|
|
1 |
|
j |
1 0 |
2 |
C |
|
|
0 0 0 |
j |
1 |
¡ |
1 |
|
|
||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
1 |
C |
|
|
|||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
B |
|
|
1 1 |
|
|
0 |
|
|
1 0 |
0 |
C |
|
|
@ |
|
|
|
j |
|
|
|
|
A |
|
|
||||
|
@ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
A |
а це означа¹, що мають мiсце залежностi: |
|
||||||||||||
векторiв (0; 1; 1; ¡1; 1; 0)> |
òà (1; 0¡; 0; ¡1; 0; 1)>¢,. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Згiдно з алгоритмом, V |
: W |
= |
|
v1; v2; v3 |
; w1 |
Фундаментальна система розвязкiв склада¹ться з |
Òîäi V \ W = ¡x; y¢, äå |
v2 + v3 ¡ w1 + w2 = 0; |
||||
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
||
x = v2 + v3 |
= w1 ¡ w2 |
= B |
1 |
C |
; |
|
|
B |
1 |
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
B |
1 |
C |
|
|
|
B |
C |
|
|
|
|
@ |
|
A |
|
v1 ¡ w1 + w3 = 0: |
|
|
1 |
|
||
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
= B |
|
1 |
C |
|
y = v1 |
= w1 ¡ w3 |
|
0 |
: |
||
|
|
B |
¡ |
1 |
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
1 |
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
@ |
|
|
A |
|
4. Прямi суми пiдпросторiв та iдемпотентнi оператори
Задача 4.1. Для iдемпотентного оператора (або проектора) P : R4 ! R4 з матрицею
|
0 |
|
1 |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
¡1 |
¡1 |
¡1 |
¡1 |
2 Mat4(R) |
||||
P = |
B |
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
C |
|
|
B |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
a) знайти "канонiчний"розклад R |
4 |
= Im |
P + |
|
|
|
|||
|
|
: Ker P; |
|
|
b) знайти проекцi¨ базисних одиниць e1; e2; e3; e4 на пiдпростiр Im P паралельно до Ker P та на пiдпростiр Ker P паралельно до Im P. Виписати матрицю проекцi¨ ¼1 : R4 ! Im P паралельно до Ker P та матрицю проекцi¨ ¼2 : R4 ! Ker P паралельно до Im P.
Розв'язання. Позначимо через Q : R4 ! R4 лiнiйний оператор Q = 1 ¡ P з з матрицею
|
0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
B |
|
2 |
|
1 |
2 |
1 |
C |
|
Q = I4 ¡ P = |
¡0 |
|
0 |
¡0 |
¡0 |
2 Mat4(R): |
|||
|
B |
|
1 |
|
1 |
1 |
0 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ ¡ |
|
¡ |
|
¡ |
|
A |
|
|
Тодi P, Q утворюють повну систему вза¹мно ортогональних iдемпотентiв, отже Ker P = Im Q. |
Знаходимо базиси Im P та Im Q як максимальнi лiнiйно незалежнi пiдсистеми векторiв-стовпчикiв |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
Im =2¡ |
1 2 |
¢ |
Im |
|
1 |
¡ 3 4 |
¢ |
|
R |
4 |
¡1 |
1 2 |
¢ ¡ |
3 4 |
¢, äå |
||||
матриць P òà Q âiäïîâiäíî. Ìà¹ìî: |
P |
|
v ; v |
; |
|
Q = v ; v |
|
, |
|
|
= v ; v |
: |
v ; v |
|
||||||||||
|
0 ¡1 |
1 |
|
0 ¡1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
||||
v1 |
= B |
0 |
C |
; v2 |
= B |
1 |
C |
; v3 |
= B |
0 |
C |
; v4 |
= B |
¡0 |
C |
: |
|
|
|
|||||
|
B |
1 |
C |
|
B |
1 |
C |
|
|
B |
1 |
C |
|
|
|
B |
0 |
C |
|
|
|
|
||
|
B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
|
B |
|
C |
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
||
|
@ |
|
A |
|
@ |
|
A |
|
|
@ ¡ |
|
A |
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
Знайдемо координати базисних векторiв стандартного базису e = fe1; e2; e3; e4g простору R4 â базисi
|
0 |
¡1 |
¡1 |
|
B |
1 |
2 |
( Te;v j I4) = |
1 |
1 |
|
B |
0 |
1 |
|
|
B |
|
|
|
@ |
|
|
|
0 |
1 |
j |
0 |
1 |
0 |
0 1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
j |
0 |
0 |
1 |
0 1 |
|
||
|
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
B |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
C |
|
|
1 |
0 |
jj |
0 |
0 |
0 |
1 |
=) |
0 |
0 |
0 |
1 |
jj |
1 |
0 |
1 |
1 |
=) |
|||
|
0 |
¡0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
C |
B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
C |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
¡ |
|
|
j |
|
|
|
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
A |
|
|
e1 = (v1) + (v3 + v4) |
|
|
|
¼1(e1) = v1 |
¼2(e1) = v3 + v4 |
|
|||||||
=) |
e2 |
= (v1) + (v3) |
|
|
=) |
|
¼1(e2) = v1 |
¼2(e2) = v3 |
|
|
: |
|||
e3 |
= (v2) + (v3 + v4) |
|
|
¼1(e3) = v2 |
¼2(e3) = v3 + v4 |
|||||||||
|
e4 |
= (v1) + (v4) |
|
|
|
|
¼1(e4) = v1 |
¼2(e4) = v4 |
|
! |
|
|||
Îòæå, |
fv1;v2g[¼1]e = Ã |
0 |
0 |
1 |
0 |
!; fv3;v4g[¼2]e |
= Ã |
1 |
0 |
1 |
1 |
: |
||
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|

Задача 4.2. Нехай V = µv1; v2 |
¶ |
½ R3, W = |
µw¶ |
½ R3 лiнiйнi пiдпростори, де |
||||||
v1 = 0 1 |
1; v2 |
= 0 0 1 |
; w = 0 |
1 1 |
: |
|||||
B |
1 |
C |
B |
1 |
C |
|
B |
1 |
C |
|
0 |
1 |
|
¡1 |
|
||||||
@ |
|
A |
@ |
|
A |
|
@ |
|
A |
|
Показати, що R3 = V +: W . Знайти проекцiю ¼V : R3 ! V простору R3 на пiдпростiр V паралельно до пiдпростору W та проекцiю ¼W : R3 ! W паралельно до пiдпростору V . Визначити iдемпотентний оператор P : R3 ! R3 (або проектор), який визнача¹ цей розклад, тобто такий,
ùîá Im P = V , Ker P = KerP.
Розв'язання. Система векторiв v = fv1; v2; wg лiнiйно незалежна, а отже ¹ базисом, звiдки R3 =
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
R(v1; v2; w) = R(v1; v2) : R(w) = V : W . Випишемо матрицi вiдображень канонiчного занурення: |
||||||||
[¾V ] = e[¾V ]fv1;v2g òà [¾W ] = e[¾W ]fwg. Ìà¹ìî: |
[¾W ] = |
0 |
1 1 |
: |
||||
[¾V ] = |
0 |
1 |
0 |
1; |
||||
|
B |
1 |
1 |
C |
|
B |
1 |
|
|
0 |
1 |
|
¡1 C |
|
|||
|
@ |
|
|
A |
|
@ |
A |
|
Випишемо матрицi вiдображень проекцiй
( Tev I3 ) = |
0 1 |
0 |
1 |
j |
0 |
|
1 |
0 1 |
|
j |
1 |
1 |
1 |
jj |
1 |
|
0 |
0 |
C |
B 0 |
1 ¡1 |
0 |
|
0 |
1 |
||||
|
@ |
|
à ¡1 |
|
|
|
|
A |
|
|
[¼V ] = |
|
1 |
0 !; |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
¡
[¼V ] = fv1 |
;v2g[¼V ]e òà [¼W ] = fwg[¼W ]e. Ìà¹ìî: |
||||||||
= |
0 0 |
1 |
0 |
j ¡1 |
1 |
0 |
1 |
= |
|
|
1 |
0 |
0 |
jj |
1 |
2 |
1 |
C |
|
) |
B 0 |
0 |
1 |
1 |
¡1 |
¡1 |
) |
||
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
³´
[¼W ] = 1 ¡1 ¡1 :
Перевiрка:
|
|
|
|
¾V |
|
|
|
¾W |
|
|
|
|
||
|
|
V |
|
|
|
|
|
# |
z |
|
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
V : W |
|
|
|
|
|||
|
|
|
c |
|
|
|
|
+ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
¼V |
|
|
|
¼W |
|
|
|
|
||
Мають виконуватися рiвностi: ¼V ¾V |
= idV , ¼W ¾W |
= idW |
òà ¾V ¼V + ¾W ¼W = 1(= idR3 ) (idV |
|||||||||||
тотожний оператор простору V ). Або на матрицях: |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
à |
|
! |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
[¼V ] [¾V ] = I2 |
= |
|
|
1 |
0 |
; |
[¼W ] [¾W ] = I1 = (1): |
|
||||
|
|
|
|
0 |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрицю P проектора P = PV : R3 ! R3 можна обчислювати двома способами. |
||||||||||||||
Ñïîñiá 1. P = PV |
= ¾V ¼V : R3 ! R3 i P = [¾V ] [¼V ]. |
|
|
|
|
|||||||||
Ñïîñiá 2. |
|
O1) T ¡1 = T |
0 0 1 0 1 T ¡1 = 0 |
1 2 1 1 |
; äå T = Tev: |
|||||||||
P = PV = T (I2 |
|
|||||||||||||
|
© |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
B |
0 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|
B 0 0 0 C |
¡1 ¡1 0 C |
|
|||||||||
|
|
|
|
@ |
|
|
|
A |
@ |
|
|
A |
|
|
Проектор PW : R3 ! R3 знаходиться з умови: |
PV + PW = 1. |
|
|
|

5. Пiдпростори та фактор-простори
Задача 5.1. Знайти базис фактор-простору R4=W та визначити матрицю канонiчно¨ про-
åêöi¨ ¼ : R4 ! R4=W , äå W = ¡w1; w2; w3¢, w1 = (1; 0; 1; 2)>, w2 = (1; ¡1; 0; ¡1)>, w3 = (0; 1; 1; 3)>.
Êðiì òîãî
a)Визначте, яка з систем (i) 2e1 + e3 + W , e1 + 2e3 + W ÷è (ii) 2e1 + e3 + W , e1 + e3 + W буде базисом фактор-простору R4=W .
b)Покажiть, що класи x = e4 ¡ e2; y = 2e1 + e2 + e3 ¡ e4 2 R4=W ¹ лiнiйно залежними та вкажiть цю залежнiсть.
Розв'язання. Знайдемо базис пiдпростору W та доповнимо його до деякого базису w простору R4. Наприклад, нехай w = fw1; w2; e1; e2g, äå fw1; w2g базис простору W . Тодi базис факторпростору R4=W склада¹ться з класiв сумiжностi e1 = e1 + W òà e2 = e2 + W .
Знайдемо координати базисних векторiв стандартного базису e = fe1; e2; e3; e4g простору R4 â
базисi w. Позначимо T = Te;v матрицю переходу. Тодi [ei]v = T ¡1[ei]e. Ìà¹ìî: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
0 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
2 |
|
1 |
1 |
|
e2 |
= |
(0) + (e2) |
|
|
|
|
|||
B |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
C |
|
e1 |
= |
(0) + (e1) |
|
|
|
|
|||
2 |
1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
2 |
|
1 |
|
e |
= ( w ) + (e |
|
|
e ) |
|
||||||||||||
T = B |
1 |
¡0 0 0 |
C |
; T |
¡ = |
B |
1 0 ¡3 |
¡1 |
C |
; =) |
e3 |
= (w1 |
+ 2w2) + (¡3e1 |
+ 2e2) |
||||||||||||||||||
B |
|
¡ |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
¡ |
|
C |
|
4 |
|
¡ |
2 |
|
1 |
¡ |
2 |
|
@ |
|
|
|
|
A |
|
4 |
|
|
|
4 |
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Визначимо проекцiю ¼ : R |
|
! R |
=W : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
¼(e1) = |
|
e1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
|
|
|
!: |
|
|||
¼(e2) = e2 |
+ 2w2 |
|
|
3e1 + 2e2 |
= 3e1 + 2e2 |
, [ ¼ ] = |
1 0 |
3 |
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||
¼(e3) = w1 |
|
|
0 1 |
¡2 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
||
¼(e4) = |
¡w2 + e1 ¡ e2 |
|
|
|
|
|
= e1 ¡ e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
a) Обчислимо |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
B |
2 |
C |
= Ã |
|
¡2 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
= ¡e1 + 2e2; ¼(e1 + 2e3) = ¡2e1 + 4e2; ¼(e1 + 2e3) = ¡2e1 + 2e2: |
|||||||||||||||||||||||||||
¼(2e1 + e3) = [ ¼ ] B |
1 |
C |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Як бачимо, класи сумiжностi ¼(2e1 + e3) òà ¼(e1 + 2e3) лiнiйно залежнi i не можуть утворювати базис R4=W , натомiсть класи ¼(2e1 + e3) òà ¼(e1 + e3) утворюють базис.
b) Îñêiëüêè x = ¼(e4 ¡e2) = e1 ¡2e2, y = ¼(2e1 +e2 +e3 ¡e4) = ¡2e1 +4e2, то ма¹мо залежнiсть:
2x + y = 0.
6. Iнварiантнi пiдпростори
Задача 6.1. Нехай f = LA |
: R4 |
! R4 лiнiйний оператор, v1 = e1 + e3; v2 = e2 ¡ e4 2 R4. |
||||||||||||
|
f : V ! |
¡ |
¢ |
|
|
v = f 1 2g |
|
|
|
|
||||
Покажiть, що пiдпростiр V = v1; v2 |
½ R4 ¹ iнварiантним вiдносно f та знайдiть матрицю |
|||||||||||||
iндукованого оператора |
|
V в базисi |
|
¡3 |
v ; v |
, ÿêùî |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
¡4 |
2 |
¡5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
B |
|
2 |
3 |
2 |
|
2 |
C |
|
|
|
[ f ] = A = |
¡3 |
¡4 |
¡3 |
¡3 |
: |
||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
1 |
1 |
0 |
|
2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
@ ¡ |
|
¡ |
|
¡ |
|
A |
|
Покажiть, що оператор f не ма¹ власних векторiв в пiдпросторi V над полем R.
Розв'язання. Обчислимо A v1 = e2 ¡ e4 = v2, A v2 = ¡e1 ¡ e2 ¡ e3 + e4 = ¡v1 ¡ v2. Тому матриця |
|||
iндукованого оператора f = LB : V ! V в базисi v äîðiâíþ¹: B = Ã |
1 |
¡1 |
!. Оператор f íå ì๠|
|
0 |
1 |
|
¡
власних векторiв в пiдпросторi V , оскiльки характеристичний полiном iндукованого оператора дорiвню¹ Â(t) = t2 + t + 1 i не ма¹ коренiв в полi дiйсних чисел.
Задача 6.2. Характеристичний полiном лiнiйного оператора f : R4 ! R4 з матрицею
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
¡0 |
|
2 |
1 |
|
|
|
B |
2 |
|
1 |
1 |
|
2 |
C |
|
|
[ f ] = A = |
4 |
¡2 ¡3 |
¡3 |
|||||
|
|
|
B |
0 |
¡ |
1 |
0 |
|
0 |
C |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
2 |
2 |
|
@ |
|
|
|
|
4 â |
|
A |
äîðiâíþ¹ Âf (t) = (t ¡ 1) |
(t + 2) . Розкладiть простiр R |
|
пряму суму кореневих пiдпросторiв |
|||||||
|
|
|
V 1, V ¡2 та обчислiть проектор P : R4 ! R4, який визнача¹ цей розклад.
Розв'язання.
За умовою, Spf = f1; ¡2g i k1 = k¡2 = 2. Оскiльки дефект df(A ¡I4) матрицi A ¡I4 äîðiâíþ¹ 1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
дефект df(A + 2I4)2 |
= 2 = k |
2, звiдки одержимо V ¡2 |
¡= Ker (A + 2I4¢)2 |
= e1 |
+ 4e3; 2e2 + 3e3 |
+ e4 . |
||||||||||||||||||||||||||
а дефект df(A¡I4)2 |
= 2 = k1 |
, òî V 1 |
= Ker (A¡I4)2 |
= e1 +e3 |
; e4 ¡e2 |
. Аналогiчно, df(A+2I4) = 1, |
||||||||||||||||||||||||||
Позначимо v = |
f |
e1 + e3; e4 ¡ e2; e1 + 4e3; 2e2 + 3e3 + e4 |
g |
. Òîäi |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
¢ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
2 1 0 |
|
|
|
0 1 |
1 0 |
|
0 ¡1 |
¡0 |
2 1 |
|
|||||||||||||
P = T (I O ) T ¡1 = 0 0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
1 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
C B |
1 |
|
0 |
0 |
|
0 |
C |
|
|
|
B |
|
4 |
1 |
1 |
1 |
C |
|
||
ev 2 © 2 |
ev |
|
¡0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡1 ¡1 |
|
¡1 |
|
||||||||||||||||
1 |
4 |
|
3 |
0 |
|
0 0 |
0 |
3 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
C B |
0 |
|
0 0 |
0 |
C B |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
C |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
A @ |
|
|
|
|
|
|
A |
1 |
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
¡0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
4 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
=) P = |
|
|
|
1 ¡1 |
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
|
2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Перевiрка показу¹, що P |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
@ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|||||
|
= P i Im Lp = V |
|
Ker Lp |
= Im LI4¡P |
= V ¡ |
|
|
|
|
|
|
Задача 6.3. Матриця оператора f : R4 ! R4 в стандартному базисi дорiвню¹
|
0 |
¡0 |
3 |
0 |
¡2 |
1 |
1 |
|
|
|
B |
|
3 |
1 |
0 |
2 |
0 |
C |
|
A = [f] = |
|
1 |
¡0 ¡2 |
¡1 |
0 |
: |
|||
|
B |
¡ |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
B |
|
4 |
1 |
0 |
2 |
1 |
C |
|
|
B |
|
C |
|
|||||
|
@ |
¡ |
|
|
|
|
|
A |
|
Не обчислюючи характеристичний полiном f та його жорданову нормальну форму, знайти
(1) розмiрнiсть та базис w власного пiдпростору V¡2 оператора f (з власним значенням ¡2);
(2)ðîçìiðíiñòü m та базис v кореневого пiдпростору V ¡2 оператора f;
(3)розмiрнiсть та базис фактор-простору V ¡2=V¡2.
Розв'язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ¡0 |
|
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
A + 2I = B |
|
1 |
|
1 |
0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 0 0 ¡1 0 C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
¡ |
|
|
¡ |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
¡ |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
4 |
|
1 |
0 |
2 |
3 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
¡ |
|
|
|
|
80 |
|
A |
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
1 |
|
|
|
|
0 |
> |
|
|
|
|
|
|
|
rank (A + 2I) = 3, îòæå, dim |
R |
V |
|
2 |
= 5 3 = 2 i w = |
¡0 |
|
|
; |
|
1 |
- базис V |
|
2 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
¡ |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
> |
|
C B |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>B |
|
|
C> |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
1 |
C B |
0 |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<B |
C= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
C B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
1 |
C B |
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>B |
C B |
C> |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
A @ |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>@ |
|
|
A> |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
Обчислимо |
0 ¡2 0 0 0 2 |
1 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 ¡6 0 0 0 6 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
B |
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
1 |
C |
|
|
|
|
= B |
|
|
3 |
0 |
0 |
0 |
3 |
C |
|
|
|
|
||
(A + 2I)2 = |
¡0 0 0 0 0 |
; (A + 2I)3 |
|
¡0 0 0 0 0 |
: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
B |
¡ |
1 0 0 0 1 |
C |
|
|
|
|
B |
|
|
3 0 0 0 3 |
C |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
B |
|
¡ |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|||||
|
B |
|
10 0 0 0 10 |
C |
|
|
|
|
B |
|
|
30 0 0 0 30 |
C |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
B |
|
C |
|
|
|
|
B |
|
|
C |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
@ |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
@ |
¡ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
Îñêiëüêè rank (A + 2I)2 = rank (A + 2I)3 = 1, òî dimR V ¡2 = 4 i V ¡2 = Ker(A + 2I)2 ма¹ базис
8 |
|
0 1 1 |
|
0 0 1 |
|
0 0 1 |
|
0 0 19 |
|
||||||||
> |
1 |
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
3 |
|
0 |
|
4 |
|
1 |
> |
|
> |
|
B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
B |
|
> |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
C> |
|
|||||||
> |
|
|
0 |
C |
|
B |
0 |
C |
|
B |
1 |
C |
|
B |
0 |
> |
|
< B |
|
|
|
C= |
|
||||||||||||
v = >v = |
B |
0 |
C |
; v = |
B |
1 |
C |
; v = |
B |
0 |
C |
; v = |
B |
0 |
C |
: |
|
|
|
B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
B |
|
C |
|
> B |
0 C |
|
B 0 |
C |
|
B 0 |
C |
|
B 1 |
C> |
|
||||||
> |
|
@ |
|
A |
|
@ |
|
A |
|
@ |
|
A |
|
@ |
|
> |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
A> |
|
|||||||
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
Розмiрнiсть фактор-простору V ¡2=V¡2 äîðiâíþ¹ 2, а базисними можуть бути, наприклад, класи
v1, v3.
7. Жорданова нормальна форма оператора
Задача 7.1. Матриця лiнiйного оператора f : R5 ! R5 äîðiâíþ¹
|
0 |
¡0 |
|
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
B |
|
2 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
C |
|
[ f ] = A = |
|
3 |
¡1 |
1 |
|
0 |
|
0 |
: |
|||
|
B |
|
0 |
¡ |
4 |
1 |
¡ |
3 |
|
1 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
||
|
B |
|
3 |
|
0 |
2 |
|
1 |
|
1 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|
|||||
|
@ |
¡ |
|
|
|
¡ ¡ |
|
¡ |
|
A |
|
Знайти
(1)характеристичний полiном оператора f, його власнi значення разом з кратностями;
(2)жорданову нормальну форму J(f) оператора f;
(3)жорданiв нормальний базис та матрицю переходу до жорданового базису.
Розв'язання. Xарактеристичний полiном оператора f äîðiâíþ¹ Âf (t) = ÂA(t) = (t ¡ 1)2 (t + 2)3,
îòæå Spf = f1; ¡2g, k1 = 2, k¡2 = 3.
¸ = 1. Дефект матрицi
|
|
0 |
¡0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
B |
|
3 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
C |
A ¡ I4 |
= |
|
3 |
¡1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|||
|
|
B |
|
0 |
¡ |
4 |
1 |
¡ |
4 |
|
1 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
B |
|
3 |
|
0 |
2 |
|
1 |
|
2 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
C |
|||||
|
|
@ |
¡ |
|
|
|
¡ ¡ |
|
¡ |
|
A |
äîðiâíþ¹ 1, отже ЖНФ iндукованого оператора f : V 1 ! V 1 (V 1 кореневий пiдпростiр з власним значенням 1) äîðiâíþ¹ J2(1). Знайдемо власний вектор: v1 = e3 ¡ e5. Розв'язавши систему (A ¡
I4)x = v1 |
, знайдемо кореневий вектор |
v2 = e4 |
¡ e2 |
та ланцюжок |
A¡I4 |
A¡I4 |
на кореневому |
||||||||||||
|
|
|
¡ |
¢ |
|
|
|
|
|
v2 ¡! v1 |
¡! 0 |
|
|
|
|
||||
¸ = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
просторi V |
1 |
= v1 |
; v2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
¡ |
. |
|
Ранг матрицi |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
3 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
= B |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A + 2I4 |
3 |
¡1 3 0 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
¡ |
4 |
1 |
¡ |
1 |
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
3 |
|
0 |
2 |
¡ |
1 |
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ ¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
A |
|
: V ¡ |
2 |
! V ¡ |
2 |
|
äîðiâíþ¹ 3, дефект дорiвню¹ 2, k¡2 = 3, отже ЖНФ iндукованого оператора f |
|
|
äîðiâíþ¹ J2(¡2) © J1(¡2). Можемо виписати ЖНФ оператора f:
J(f) = J2(1) © J2(¡2) © J1(¡2):
Враховуючи це, можемо стверджувати, що степiнь нiльпотентностi iндукованого оператора f : V ¡2 ! V ¡2 äîðiâíþ¹ 2, а це означа¹, що V ¡2 = Ker (A + 2I4)2. Обчислимо
|
0 |
0 |
|
9 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
B |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
C |
(A + 2I4)2 = |
9 |
¡6 |
|
9 |
0 |
0 |
|||
|
B |
0 |
¡ |
9 |
|
0 |
0 |
0 |
C |
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
9 |
|
6 |
|
9 |
0 |
0 |
C |
|
B |
|
|
C |
|||||
|
@ ¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
A |
Базис кореневого пiдпростору V¡2 ¹ фундаментальною системою розв'язкiв системи (A+2I4)2x = 0 i äîðiâíþ¹ fe3 ¡ e1; e4; e5g. Побуду¹мо ланцюжки для кожного з базисних кореневих векторiв:
A+2I4 |
+ e5 |
A+2I4 |
A+2I4 |
¡ e5 |
A+2I4 |
A+2I4 |
+ e5 |
A+2I4 |
e3 ¡ e1 ¡! e4 |
¡! 0; e4 |
¡! ¡e4 |
¡! 0; e5 |
¡! e4 |
¡! 0: |
Для побудови ланцюжкового базису виберемо ланцюжок найбiльшо¨ довжини, наприклад, перший i оголосимо вектори u1 = e4+e5 òà u2 = e3¡e1 базисними. Крiм того, додамо до базису власний
вектор, лiнiйно незалежний вiд u1; u2. Власними векторами ¹ вектори (e3 ¡e1)+(e4) = ¡e1 +e3 +e4, (e3 ¡ e1) ¡ (e5) = ¡e1 + e3 ¡ e5 òà e4 + e5. Покладемо u3 = ¡e1 + e3 + e4 та зафiксу¹мо ланцюж- ковий базис V ¡2: fu1; u2; u3g. Жорданiв базис тодi буде v = fv1; v2; u1; u2; u3g. Випишемо матрицю переходу T = Tev та обчислимо T ¡1:
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
¡0 |
¡0 1 |
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
0 1 |
|
||
|
B |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
C |
|
|
B |
1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
0 |
C |
|
T = |
|
1 |
¡0 0 |
1 |
1 |
; |
T ¡1 = |
1 |
¡0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
: |
||||||
|
B |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
C |
|
|
B |
0 |
¡ |
1 |
|
1 |
¡ |
1 |
1 |
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
||
|
B |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
C |
|
|
B |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
C |
|
|
B |
|
C |
|
|
B |
|
|
|
C |
|
||||||||||
|
@ |
¡ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
@ |
¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
¡ |
A |
|
Òîäi T ¡1AT = J2(1) © J2(¡2) © J1(¡2):
Задача 7.2. Не обчислюючи Жорданового базису, знайдiть ЖНФ для лiнiйного оператора f : R6 ! R6 з матрицею:
|
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
[ f ] = A = |
B |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
C |
: |
0 |
0 |
3 |
0 |
2 |
|
1 |
||||
|
B |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
|
1 |
C |
|
|
B |
|
C |
|
||||||
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
¡ |
0 |
C |
|
|
B |
|
C |
|
||||||
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
2 |
C |
|
|
B |
|
C |
|
||||||
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
Розв'язання. Xарактеристичний полiном оператора f äîðiâíþ¹ Âf (t) = ÂA(t) = (t ¡ 2)5 (t ¡ 3),
îòæå Spf = f2; 3g, k2 = 5, k3 = 1.
Ранг матрицi |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
B |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
C |
|
A 2I |
6 |
= |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
: |
|||
|
¡ |
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
B |
¡ |
C |
|
|||||||
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
C |
|
|
|
|
|
B |
|
C |
|
||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
äîðiâíþ¹ 3, îòæå dimR V2 = 6 ¡ 3 = 3 i ÆÍÔ J(f) мiстить три клiтини Жордана з власним значенням 2. Оскiльки кратнiсть k2 = 5, то можливi два варiанти:
J(f) = J3(2) © J1(2) © J1(1) © J1(3) àáî J(f) = J2(2) © J2(2) © J1(2) © J1(3):

У першому випадку степiнь нiльпотентностi iндукованого оператора f : V 2 ! V 2 äîðiâíþ¹ 3, àáî,
ùî òå ñàìå, V 2 = Ker (A ¡ 2I6)3. У другому випадку V 2 = Ker (A ¡ 2I6)2. Обчислимо |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 0 0 0 0 0 |
¡0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 0 0 0 1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
C |
|
|
||||
(A 2I |
)2 = |
0 0 1 0 2 |
|
1 |
|
|
(A 2I |
)3 = |
0 0 1 0 2 1 |
: |
|
|||||||||||||||||||||||||
¡ |
6 |
|
B |
0 0 0 0 0 |
|
0 |
C |
|
|
|
¡ |
|
6 |
|
|
|
|
B |
0 0 0 0 0 0 |
C |
|
|
||||||||||||||
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
C |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
B |
0 0 0 0 0 |
|
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 0 0 0 0 0 |
C |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
C |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
B |
0 0 0 0 0 |
|
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
0 0 0 0 0 0 |
C |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
B |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
C |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||
Ранг матрицi (A ¡ 2I6) |
2@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
@ |
|
|
|
|
2 |
|
|
A |
|
2, |
||||
|
äîðiâíþ¹ 2, îòæå dimR Ker (A ¡ 2I6) |
|
= 4 6= k2, òîìó V |
|
6= Ker (A ¡ 2I6) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
à îòæå V 2 = Ker (A ¡ 2I6)3 i J(f) = J3(2) © J1(2) © J1(2) © J1(3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Зауваження. Насправдi матрицю (A ¡ 2I6)3 обчислювати непотрiбно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Задача 7.3. Обчислiть |
|
|
, |
|
|
0 |
3 |
¡ 1 |
|
¼ |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(A) |
|
A = |
|
B |
¡4 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
4 |
|
C |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
¡ |
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Розв'язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зауважимо, що A = |
|
I3 + B, äå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
B = |
0 |
¡4 |
2 |
|
|
4 |
1 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
1 |
1 |
|
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡1 |
0 |
|
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A òà B спiвпадають. |
|
|
|
Sp A = ©¸ + |
¼ |
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
3 j ¸ 2 Sp Bª, а власнi та кореневi пiдпростори матриць |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Спектр матрицi B äîðiâíþ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обчислимо ÂB(t) = t3, îòæå Sp B = f0g, J(B) = J3(0) i v = fe1 +e3; e1 +2e2; e2g ланцюжковий
|
|
|
B |
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базис, оскiльки e2 ¡! e1 + 2e2 |
¡! e1 + e3 ¡! 0 тобто |
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 |
1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
T = Tev = |
0 |
0 2 1 |
1 |
; T ¡1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
B |
1 |
1 |
0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡2 1 |
|
|
|
¡2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
@ |
¼ |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
При цьому J(B) = J3(0) i J(A) = J3 |
¡ |
|
¢. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Îñêiëüêè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x ¡ x0)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
cos(x) = cos(x |
) |
¡ |
sin(x |
)(x |
¡ |
|
x |
) + cos(x |
) |
¡ |
: : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
òî |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos(¸)J32(0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
cos(J3(¸)) = cos(¸)I3 ¡ sin(¸)J3(0) + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
звiдки одержимо |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
p3 |
1=2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
¡ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
¢ |
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
¼ |
|
0 cos |
¼=3 |
|
|
¡ sin |
¼=3 |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
¼=3 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
p |
|
: |
|||||||||||||
cos J3 |
= |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
¡3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
¡cos |
|
|
¼=3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
||||||||||||||||||||||||
µ |
¢¶ |
B |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¡ |
¢ |
C |
|
|
|
|
B |
0 |
|
|
|
0 |
|
1 |
C |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
@ |
|
0 |
|
|
|
|
|
cos |
¼=3 |
|
|
|
|
|
|
sin |
¡ |
¼=3 |
¢ |
A |
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||
Òîäi |
|
|
|
µ |
|
|
|
|
¶ |
|
|
|
0 |
|
|
p |
|
¡ |
1 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
2 ¡ p |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
¼ |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
cos(A) = T cos |
J3 |
¡ ¢ |
|
T ¡1 = |
|
|
|
|
4p3 |
|
|
1 |
|
¡2p3 |
|
4p3 |
|
|
: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
¡2 ¡ p3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 + p3 |
C |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|