Вища математика1 / lin_alg_1k2s
.pdf2 |
0 |
Оскiльки маємо два рiзнi власнi числа ¸1 = 2 i ¸2 = 3, то JA = µ0 |
3¶. |
Далi для кожного з власних чисел шукаємо вiдповiдний власний вектор:
A ¡ 2E 0 = |
µ ¡3 3 |
¯ |
0 ¶ Ã |
|
1 ¡1 0 |
: |
|
|
|||||||||
¡ |
¯ |
¢ |
¡ |
2 |
¯ |
0 |
|
|
¡ |
|
¯ |
|
¢ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
2 |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
||
Тому для ¸1 = 2 одним з власних векторiв¯ |
є (1; 1): |
¯ |
|
0 ¶ : |
|
|
|||||||||||
A ¡ 3E 0 = |
µ ¡3 2 |
¯ |
0 ¶ Ã |
µ 0 |
¡0 |
|
|
|
|||||||||
¡ |
¯ |
¢ |
¡ |
2 |
¯ |
0 |
|
|
|
3 |
2 |
¯ |
|
0 |
|
|
|
|
¯ |
|
3 |
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|||||
Тому для ¸2 = 3 одним з власних векторiв¯ |
є (2; 3). |
¯ |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже, T = µ1 |
3¶. Оскiльки JA = T ¡1AT , то A = T JAT ¡1 i |
¶ |
|||||||||||||||
|
|
|
A |
|
µ1 |
3¶µ |
0 |
3100 |
¶µ¡1 |
1 |
|||||||
A100 = (T JAT ¡1)100 = T J100T ¡1 = |
|
1 |
2 |
|
|
2100 |
0 |
|
|
3 |
¡2 |
= |
|||||
|
µ3 ¢¢ |
2100 |
¡ 3 ¢ 3100 |
|
3 ¢ 3100 |
¡ 2 ¢ 2100 |
¶ |
|
|
|
|
|
|||||
= |
3 |
2100 |
¡ 2 ¢ 3100 |
|
2 ¢ 3100 |
¡ 2 ¢ 2100 |
|
: |
|
|
|
b) Як i в попередньому випадку, шукаємо ЖНФ JA матрицi A =
4 2 |
¡5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
@5 3 ¡7A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
06 4 |
¡91 i матрицю T переходу до жорданової бази. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ÂA(¸) = |
A |
¡ |
¸E |
j |
= |
¯ |
|
|
6 |
|
4 ¡ ¸ |
|
¡9 |
¯ |
= ¯ |
1 ¡ ¸ 4 ¡ ¸ |
|
|
¡9 |
¯ |
= |
||||||||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
5 |
|
3 |
|
|
7 ¸¯ |
|
|
¯ |
1 ¸ |
3 |
|
|
7 ¸¯ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
4 ¡ ¸ 2 |
|
|
¡5 |
¯ |
|
|
¯ |
1 ¡ ¸ |
2 |
|
|
|
¡5 |
¯ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ ¡ |
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
|
|
|
¡ ¡ |
¯ |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
(усi стовпчики додали¯ |
до першого) |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||||||||||||||||
= (1 |
¡ |
¸) |
¯ |
1 4 ¡ ¸ |
|
¡9 |
¯ |
= (1 |
¡ |
¸) |
¯ |
0 2 ¡ ¸ |
|
¡4 |
¯ |
|
= |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
3 |
|
|
7 ¸¯ |
|
|
|
|
¯ |
0 |
|
|
1 |
|
2 ¸¯ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
|
|
¡5 |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
2 |
|
¡5 |
¯ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¡ ¡ |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¡ ¡ |
¯ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¡ |
|
|
¯ |
2 |
|
¯ |
|
¸ |
|
|
2 |
4 |
¸¯ |
|
¯ |
|
¡ |
¡ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¢ |
2 |
¯ |
|
¡ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
¡ |
¡ |
|
¡ |
|
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= (1 |
|
¸) |
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
¡ |
¯ |
= (1 |
|
|
¸) 4 |
|
(2 |
|
|
¸)(2 + ¸) |
= ¸ (1 |
¸): |
|
||||||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Простому кореню ¸1 = 1 вiдповiдає клiтинка J1(1). Щоб знайти кiлькiсть клiтинок з власним числом ¸2 = ¸3 = 0, шукаємо ранг матрицi
121
A ¡ 0 ¢ E = A: |
|
¡91 Ã 01 |
|
¡91 Ã |
|
|
|
|
|
06 |
4 |
4 |
0 |
1 |
¡2 |
: |
|||
5 |
3 |
¡7 |
1 |
3 |
¡7 |
µ |
|
|
¶ |
4 |
2 |
5 |
1 |
2 |
5 |
1 |
2 |
5 |
|
@ |
|
¡ A |
@ |
|
¡ A |
|
|||
|
|
|
|
¡ |
|
Таким чином, rank A = 2 i def A = 3 ¡ 2 = 1. Тому ЖНФ матрицi A мiстить єдину клiтинку J2(0) з власним числом 0 i має вигляд
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
JA = J1 |
(1) |
© |
J2(0) = |
00 |
0 |
11 |
: |
|
|
|
@0 |
0 |
0A |
|
Вектори v1, v2, v3 жорданової бази шукаємо з рiвнянь (A ¡ E)v1 = 0,
Av2 = 0, Av3 = v2:
3 |
2 |
5 |
¯ |
0 |
1 Ã 0 |
3 |
|
|
2 |
|
5 |
¯ |
0 |
1 Ã |
|||||
0 6 3 |
¡9 |
0 |
0 |
|
|
1 |
¡1 |
0 |
|||||||||||
5 3 |
¡8 |
¯ |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
¡1 |
|
2 |
¯ |
0 |
|
|
||
@ |
|
¡ |
¯ |
|
A |
|
@ ¡ |
|
|
¡ |
|
|
|
¯ |
|
A |
|||
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||||||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
0 |
1 |
¯ |
|
1 |
¯ |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
¯ |
|
0 |
|
à 0 0 |
¡1 |
|
|
|
|
1 Ã |
µ |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
1 |
0 |
0 1 |
¡1 0 |
; |
|||||||||||||
|
1 |
1 |
|
¡2 |
¯ |
0 |
|
|
|
|
|
¡ |
|
¯ |
|
¶ |
|||
@ |
|
|
|
¡ |
|
¯ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
тому v1 = (1; 1; 1); |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 6 4 |
¡9 |
¯ |
0 1 Ã 0 2 |
|
2 |
|
¡4 |
¯ |
0 1 Ã |
||||||||||
5 3 |
¡7 |
¯ |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
¡2 |
¯ |
0 |
|
|
|
||
4 |
2 |
|
5 |
¯ |
0 |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
5 |
¯ |
0 |
|
|
|
@ |
|
¡ |
|
¯ |
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
¡ |
¯ |
|
A |
|
||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
1 |
1 |
2 |
¯ |
0 |
¶; |
¯ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
à µ |
2 |
0 |
¡1 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
тому v2 = (1; 3; 2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 6 4 |
¡9 |
¯ |
3 1 Ã 0 2 |
|
2 |
|
¡4 |
¯ |
2 1 Ã |
||||||||||
5 3 |
¡7 |
¯ |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
¡2 |
¯ |
1 |
|
|
|
||
4 |
2 |
|
5 |
¯ |
1 |
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
5 |
¯ |
1 |
|
|
|
@ |
|
¡ |
|
¯ |
|
A |
|
@ |
|
|
|
|
¡ |
¯ |
|
A |
|
||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
à |
¯ |
|
1 |
1 |
|
2 |
¯ |
|
1 |
¶; |
¯ |
|
|
|
|
||
|
|
µ |
2 |
0 |
|
¡1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¡ |
¯ |
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
122 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тому v3 = (0; 3; 1). Отже, матриця переходу до жорданової бази має
вигляд |
|
T = |
01 |
3 |
31 |
: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскiльки (ex)0 = ex, то |
|
|
|
@1 2 1A |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
e00 |
1 |
|
|
00 |
|
11 |
|
|
|
|
exp(JA) = |
0 |
e0 |
= |
1 |
: |
|
|
||||||||
|
|
|
e1 |
|
0 |
|
|
|
|
e |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
@ 0 0 e0A @0 0 1A |
|
|
|
||||||||||
Позаяк JA = T ¡1AT , то exp(JA) |
= T ¡1 exp(A)T , звiдки exp(A) = |
||||||||||||||
T exp(JA)T ¡1. Знаходимо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T ¡1 = 0¡2 ¡1 3 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
@ |
3 |
|
1 |
|
¡3 |
|
|
|
|
|
||
i завершуємо обчислення: |
|
1 |
|
1 |
|
¡2A |
|
|
|
|
|
||||
3100 |
|
110¡2 |
|
¡1 |
|
1 |
|
||||||||
exp(A) = 01 |
3 |
1 |
|
3 |
= |
||||||||||
1 |
1 |
0 |
|
e |
0 |
0 |
|
|
3 |
|
1 ¡3 |
|
|
||
@1 2 1A@0 0 1A@ 1 |
|
1 ¡2A |
|
||||||||||||
|
3e ¡ 1 |
|
e |
|
¡3e + 1 |
|
|
|
|
|
|||||
= |
0 |
3e |
|
e + 3 |
¡ |
3e ¡ 31 |
: |
|
|
|
|||||
|
@3e ¡ 1 e + 1 |
¡3e |
A |
|
|
|
|
Задача 4. Доведiть; що для кожного невиродженого лiнiйного перетворення ' простору V знайдеться такий многочлен f(x) степеня
< dim V; що '¡1 = f(').
Розв’язання. Перетворення буде невиродженим тодi й лише тодi, коли серед його власних чисел немає 0. Оскiльки власнi числа це не що iнше, як коренi характеристичного многочлена Â'(¸) = (¡1)n¸n + a1¸n¡1 + ¢ ¢ ¢ + an¡1¸ + an, то в цьому випадку an 6= 0. За теоремою Гамiльтона–Келi ÂA(') = (¡1)n'n + a1'n¡1 + ¢ ¢ ¢ + an¡1' + an" = O. Отже,
|
|
n |
|
1 |
n |
|
1 |
|
'n¡2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ an¡1"¢ = an |
|
|||||
|
'¡(¡1)1 |
¡ |
|
' |
|
¡ |
|
¡ a1 |
" : |
||||||
Тому |
'¡1 = |
|
|
|
¡ |
( |
1)n¡1'n¡1 ¡ a1'n¡2 |
|
an¡1 |
" . |
|||||
a |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n |
|
¡ |
|
|
|
|
123 |
¡ ¢ ¢ ¢ ¡ |
|
¢ |
Основнi задачi
5.Наведiть приклад двох матриць, якi мають однаковi характеристичнi й однаковi мiнiмальнi многочлени, але не є подiбними.
6.Знайдiть необхiдну й достатню умову для того, щоб мiнiмальний i характеристичний многочлени комплексної матрицi збiгалися.
7.Знайдiть мiнiмальний многочлен a) тотожного перетворення, b) нульового перетворення, c) проектування на нетривiальний пiдпростiр, d) вiдбиття вiдносно пiдпростору (див. зад. 4.8).
µ¶
8.Розв’яжiть рiвняння X2 = 63 27 .
9. Доведiть, що для кожної квадратної матрицi A виконується рiвнiсть
cos 2A = cos2 A ¡ sin2 A:
10. Доведiть, що для матрицi порядку ¸ 2 i рангу 1 мiнiмальний многочлен має степiнь 2.
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 µ |
p |
1 ¡ p¶ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ¡ p |
p |
n |
11. |
Для яких значень p iснує границя lim |
? |
|||||||||
12. |
Використовуючи ЖНФ, обчислiть |
|
|
|
|||||||
|
µ |
|
¶ |
|
1 |
¡5 |
3 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
|
4 |
15 |
6 |
|
|
|
|
|
a) exp 6 |
¡ |
, |
b) ln |
@ |
¡ |
4 |
A |
|
|
|
|
¡3 |
01 |
¡ |
21. |
|
|
|
13.a) Доведiть, що для комутуючих матриць A та B виконується рiвнiсть: eA ¢ eB = eB ¢ eA:
b)Наведiть приклад таких матриць A та B порядку 2, для яких eA ¢ eB 6= eB ¢ eA:
14.Доведiть, що для комутуючих матриць A та B виконуються рiвно-
стi:
a)sin(A + B) = sin A cos B + sin B cos A ;
b)cos(A + B) = cos A cos B ¡ sin A sin B:
15.Доведiть, що для довiльної квадратної матрицi A виконується рiвнiсть det eA = etrA.
16.Доведiть, що для довiльної невиродженої комплексної матрицi A i кожного натурального числа k рiвняння Xk = A має розв’язок.
124
Додатковi задачi
17.Знайдiть усi матрицi, якi комутують з жордановою клiтинкою Jn(¸).
18.Нехай ¸ 6= ¹. Розв’яжiть матричне рiвняння X ¢ Jm(¸) = Jk(¹) ¢ X.
19.Доведiть, що коли мiнiмальний многочлен лiнiйного перетворення ' збiгається з характеристичним, то кожне перетворення, яке перестановочне з ', буде многочленом вiд перетворення '.
20.Нехай ' лiнiйне перетворення простору V . Ненульовий многочлен f називається анулюючим для вектора v 2 V , якщо f(')(v) = 0. Многочлен найменшого степеня, який анулює вектор v, називається
мiнiмальним многочленом цього вектора i позначається m';v(x). Доведiть, що:
a)для кожного вектора iснує анулюючий многочлен степеня, що не перевищує розмiрностi простору;
b)мiнiмальний многочлен вектора визначений однозначно з точнiстю до скалярного множника;
c)кожен анулюючий многочлен вектора дiлиться на його мiнiмальний многочлен;
d)мiнiмальний многочлен перетворення ' дiлиться на мiнiмальний многочлен кожного вектора.
21.Доведiть, що: a) добуток m';v(x) ¢ m';u(x) дiлиться на m';v+u(x);
b)якщо m';v(x) та m';u(x) взаємно простi, то
m';v+u(x) = m';v(x) ¢ m';u(x) :
22.Доведiть, що для довiльної бази e1; : : : ; en простору V :
a)многочлен m';e1 (x) ¢ ¢ ¢ m';en (x) є анулюючим для ';
b)найменше спiльне кратне многочленiв m';e1 (x), : : : ; m';en (x) є мiнiмальним многочленом перетворення '.
23.Доведiть, що для кожного лiнiйного перетворення ' простору V iснує вектор v 2 V , мiнiмальний многочлен якого збiгається з мiнiмальним многочленом перетворення '.
24¤. Нехай f(x) 2 C[x], A 2 Mn(C) та ÂA(x) характеристичний многочлен матрицi A. Доведiть, що визначник матрицi f(A) дорiвнює результанту многочленiв f(x) i ÂA(x).
125
25. Доведiть, що для довiльних квадратної матрицi A i невиродженої матрицi C однакових порядкiв виконується рiвнiсть eC¡1AC = C¡1eAC.
Домашнє завдання
26. Знайдiть |
мiнiмальний |
многочлен дiагональної матрицi |
diag (a1; : : : :an) |
з попарно |
рiзними елементами на дiагоналi. |
27.Доведiть, що певний степiнь мiнiмального многочлена матрицi дiлиться на характеристичний многочлен цiєї матрицi.
28.Знайдiть мiнiмальний многочлен матрицi:
|
|
|
3 |
1 |
¡1 |
|
|
4 |
¡2 |
2 |
|
|
@1 1 |
1 |
A @¡6 6 |
¡4A |
|||||
|
|
a) 00 |
2 |
0 |
1; b) 0¡5 7 |
¡51. |
||||
29. |
Використовуючи ЖНФ, обчислiть: |
|
|
|||||||
|
a) |
7 ¡4 |
64; |
b) exp |
3 |
¡1 |
; |
c) sin |
¼ ¡ 1 1 . |
|
|
|
µ14 ¡8¶ |
|
|
|
µ1 |
1 |
¶ |
|
µ ¡1 ¼ + 1¶ |
30. |
Доведiть, що для кожної квадратної матрицi A виконується рiвнiсть |
sin 2A = 2 sin A ¢ cos A :
Лiтература. [1], с. 210–214; [2], с. 244–253; [5], с. 393–399; [9], с. 387– 391; [10], с. 30–38; [13], с. 196–204.
Заняття 10. Iнварiантнi та кореневi пiдпростори
Необхiднi поняття. Пiдпростiр U µ V називається iнварiантним
вiдносно лiнiйного перетворення ' : V ! V (або '–iнварiантним), якщо '(U) µ U, тобто '(u) 2 U для кожного вектора u 2 U.
Кореневим пiдпростором, що вiдповiдає числу ¸, називається множина V'(¸) = fv 2 V j iснує таке натуральне k; що (' ¡ ¸")k(v) = 0g :
База e1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; en простору V називається узгодженою з k–вимiрним '–iнварiантним пiдпростором W , якщо першi k векторiв e1; : : : ; ek утворюють базу пiдпростору W .
126
Необхiднi твердження. 1. Ядро Ker ' i образ Im ' лiнiйного перетворення ' : V ! V є iнварiантними пiдпросторами.
2.Перетин i сума iнварiантних пiдпросторiв також є iнварiантними пiдпросторами.
3.Iнварiантний пiдпростiр вiдносно лiнiйного перетворення ' залишається iнварiантним i вiдносно кожного многочлена вiд '.
4.Кореневий пiдпростiр V'(¸) є '–iнварiантним.
5.Кореневий пiдпростiр V'(¸) є ненульовим тодi й лише тодi, коли
¸власне число перетворення ':
6.Якщо e1; : : : ; ek база пiдпростору U, iнварiантного вiдносно лiнiйного перетворення ' простору V , а e1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; en її роз-
ширення до бази простору V , то в цiй базi матриця перетворення ' має
µA B¶
O C
рення ' на пiдпростiр U в базi e1; : : : ; ek.
7. Нехай простiр V розкладається в пряму суму V = U1 © U2 '–iнварiантних пiдпросторiв U1 та U2 з базами e1; : : : ; ek та ek+1; : : : ; en
вiдповiдно. Тодi в базi e1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; en матриця перетворення ' |
|||||
|
µ |
O |
¶ |
|
|
має вигляд |
A |
. Матриця A є матрицею обмеження ' U |
|
перетво- |
|
|
O |
C |
j |
1 |
|
рення ' на пiдпростiр U1, а матриця C матрицею обмеження 'jU2
перетворення ' на пiдпростiр U2 в базах e1; : : : ; ek та ek+1; : : : ; en вiдповiдно.
8. Нехай ¸1; : : : ; ¸k усi попарно рiзнi власнi числа перетворення ' простору V: Тодi V розкладається в пряму суму V = V'(¸1)©¢ ¢ ¢©V'(¸k) вiдповiдних кореневих пiдпросторiв.
Приклади розв’язання типових задач
Задача 1. Нехай ' лiнiйне перетворення простору V . Доведiть; що кожен пiдпростiр; який мiстить образ Im '; буде iнварiантним вiдносно '.
Розв’язання. Нехай U ¶ Im '. Для довiльного вектора v 2 U маємо '(v) 2 Im ', а тому '(v) 2 U. Отже, U iнварiантний пiдпростiр.
Задача 2. Доведiть; що коли перетворення ' є невиродженим; то перетворення ' та '¡1 мають однi й тi ж iнварiантнi пiдпростори.
Розв’язання. Нехай U iнварiантний пiдпростiр перетворення '. Тодi '(U) µ U. Позаяк перетворення ' невироджене, то dim '(U) = dim U.
127
Разом з попереднiм включенням це дає '(U) = U. Звiдси отримуємо:
'¡1(U) = '¡1('(U)) = ('¡1')(U) = "(U) = U :
Отже, U є iнварiантним пiдпростором перетворення '¡1. Оскiльки ' = ('¡1)¡1, то так само доводиться, що кожний iнварiантний пiдпростiр перетворення '¡1 буде iнварiантним i вiдносно '. Тому ' i '¡1 мають однi й тi ж iнварiантнi пiдпростори.
Задача 3. Знайдiть усi iнварiантнi пiдпростори лiнiйного перетворення ' : v 7![v; a] звичайного тривимiрного простору V (вектор a фiксований ненульовий).
Розв’язання. З означення векторного добутку випливає, що породжена вектором a пряма L i перпердикулярна до a площина U будуть iнварiантними пiдпросторами. Покажемо, що iнших нетривiальних iнварiантних пiдпросторiв нема.
Нехай W ненульовий iнварiантний пiдпростiр. Вiзьмемо в W довiльний ненульовий вектор v. Якщо '2(v) =6 0, то кожен з векторiв '(v) i '2(v) буде перпендикулярним до a. Крiм того, '(v) та '2(v) також перпендикулярнi. Тому '(v) i '2(v) породжують площину U. Якщо при цьому v 62U, то пiдпростiр W мiстить три некомпланарнi вектори v, '(v) i '2(v), а тому W = V .
Припустимо тепер, що '2(v) = 0 для кожного v 2 W . Тодi '(v) = 0, бо в противному разi ненульовий вектор '(v) є перпендикулярним до a та '2(v) =6 0. А це буде тодi й лише тодi, коли v i a колiнеарнi, тобто коли v 2 L.
Таким чином, якщо '2(v) = 0 для всiх v 2 W , то W = L. В противному разi W = U або W = V .
Задача 4. Знайдiть власнi числа i кореневi пiдпростори лiнiйного
0 4 ¡2 2 1
перетворення; заданого матрицею A = @¡5 7 ¡5A.
¡6 6 ¡4
Розв’язання. Щоб знайти власнi числа, обчислюємо характеристичний многочлен матрицi A:
|
|
|
|
|
|
¯ |
4 ¡ ¸ ¡2 |
2 |
¯ |
|
|
¯ |
2 ¡ ¸ ¡2 |
0 |
|
¯ |
||||
|
|
|
|
|
= |
¡ |
5 |
7 ¸ |
¡ ¡ |
|
= |
2 ¸ 7 ¸ 2 |
¡ |
|
||||||
j |
A |
¡ |
¸E |
j |
¯ |
|
4 |
5 |
¸¯ |
|
¯ |
|
¸ |
|
||||||
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
додаємо |
0 |
6 2 |
|
¸¯ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
¡ |
|
¡ |
¡ |
|
¯ |
2-й стовпчик |
¯ |
¡ |
¡ |
¡ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¯ |
|
¯ = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
128¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
до 1-го й 3-го |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
= (2 |
¡ |
¸)2 |
¯1 7 ¡ ¸ 1¯ |
= (2 |
¡ |
¸)2 |
¯1 3 ¡ ¸ 0¯ |
= (2 |
¡ |
¸)2 |
(3 |
¡ |
¸): |
||||||||
|
|
¯0 |
6 |
1¯ |
|
|
¯0 |
6 |
1¯ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
¯ |
1 |
¡2 |
0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
1 |
0 |
0 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
Таким чином, маємо два кореневi пiдпростори: VA(2) та VA(3). Враховуючи кратнiсть коренiв, можемо сказати, що кореневий простiр VA(3)
це ядро перетворення з матрицею A ¡ 3E, а кореневий простiр VA(2)
це ядро перетворення з матрицею (A ¡ 2E)2. Обчислюємо:
|
|
A 3E = |
0¡5 4 |
¡51; |
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
¡2 |
2 |
|
|
|
|
|
0¡5 |
¡ |
|
@¡6 |
6 |
|
¡7A |
¡51 |
|
|
A 2E = |
5 |
¡51; (A 2E)2 = |
0¡5 5 |
: |
||||||
|
2 |
¡2 |
2 |
|
|
|
|
2 ¡2 2 |
|
|
¡ |
@¡6 |
6 |
¡6A |
¡ |
|
|
@¡6 6 |
¡6A |
|
Як вiдомо, базою ядра перетворення з матрицею B є фундаментальна система розв’язкiв однорiдної системи лiнiйних рiвнянь Bx = 0. Шукаємо цi бази для матриць A ¡ 3E та (A ¡ 2E)2 вiдповiдно:
0 |
5 4 |
|
5 |
¯ |
0 1Ã0 0 |
¡6 5 |
¯ |
0 |
1Ã |
0 |
6 5 0 |
: |
||||||
|
¡6 6 |
¡7 |
¯ |
0 |
|
0 |
¡6 5 |
¯ |
0 |
|
µ |
3 0 1 |
¯ |
0 |
¶ |
|||
|
1 ¡2 2 |
¯ |
0 |
|
1 |
2 2 |
¯ |
0 |
|
|
¯ |
|
||||||
@ ¡ |
¡ |
A |
@ |
|
¡ |
|
|
A |
|
¡ |
|
|
||||||
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
Фундаментальна |
|
система¯ |
розв’язкiв |
складається¯ |
з одного вектора |
|||||||||||||
(2; ¡5; ¡6), тому VA(3) = -(2; ¡5; ¡6)®. |
|
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
¡6 |
6 |
¡6 |
¯ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
¡2 |
2 |
¯ |
0 |
¡ |
|
|
|
|
¯ |
¢ |
|
|
|
|
|
@ |
¡ |
|
|
¡ |
¯ |
A |
|
1 |
|
|
1 1 |
¯ |
0 : |
|
|
|
|
|
0 |
5 5 |
5 |
¯ |
0 1Ã |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фундаментальна система розв’язкiв¯ |
складається з векторiв ( |
¡ |
1; 0; 1) i |
|||||||||||||||
(1; 1; 0). Тому VA(2) = -(¡1; 0; 1); (1; 1; 0)®. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Знайдiть усi пiдпростори простору R3; iнварiантнi вiдно-
04 ¡6 41
сно перетворення з матрицею A = @1 0 0A.
0 1 0
129
Розв’язання. Щоб знайти власнi числа, обчислюємо характеристичний многочлен матрицi (наявнiсть двох нулiв дозволяє обчислити вiдповiдний визначник “в лоб”):
ÂA(¸) = |
A |
¡ |
¸E |
j |
= |
¯ |
1 |
¸ 0 |
¯ |
= (4 |
¡ |
¸)¸2 |
+ 4 |
¡ |
6¸ = |
|
j |
|
|
|
¯ |
0 |
¡1 |
¸¯ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
4 ¡ ¸ |
¡6 |
4 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¡ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
= ¡¸3 + 4¸2 ¡ 6¸ + 4 = (2 ¡ ¸)(¸2 ¡ 2¸ + 2):
Отже, ¸1 = 2, ¸2 = 1 + i, ¸3 = 1 ¡ i. Оскiльки над R є лише одне власне число 2, причому кратностi 1, то маємо лише один одновимiрний
iнварiантний пiдпростiр той, який породжується вiдповiдним власним вектором. Шукаємо його:
¡ j |
0 |
0 |
¡ |
|
2 |
¯ |
0 |
1 |
à |
0 |
1 |
2 |
¯ |
0 |
¶ |
|
1 |
¯ |
|
|
µ |
2 |
0 |
0 |
|||||||
|
|
2 |
¡6 |
4 |
¯ |
0 |
|
|
1 |
¯ |
|
||||
|
@ |
|
|
|
¡ |
|
A |
|
|
¡ |
¡ |
|
|
||
(A 2E 0) = |
1 |
|
2 |
¯ |
0 |
|
|
|
¯ |
|
: |
||||
|
|
0 |
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тому власним вектором буде (4; 2; 1), а вiдповiдним одновимiрним iнварiантним пiдпростором пiдпростiр U = h(4; 2; 1)i.
Кожному з двох спряжених мiж собою комплексних коренiв вiдповiдає один i той же двовимiрний iнварiантний пiдпростiр. Щоб знайти його, перейдемо до поля C i знайдемо для ¸2 = 1+i вiдповiдний власний вектор:
(A |
¡ |
(1 + i)E |
j |
0) = 0 |
|
1 |
¡ |
1 |
i |
0 |
¯ |
0 1Ã |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1¡ |
|
1 |
i |
¯ |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ¡ i |
|
¡6 |
|
4 |
¯ |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
¡ ¡ |
¯ |
|
A |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
à 0 |
0 |
|
2 + 2i |
|
4 |
|
¯ |
0 |
|
µ |
|
¡ 1¡ |
|
¯ |
|
|
|
¯ ¶ |
||||
0 |
|
¡ |
1¡ |
i |
|
1 i |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
i |
||||||||
1 |
¡ |
1 |
|
0 |
|
¯ |
0 |
1Ã 0 |
|
|
¡ |
¡ |
¯ |
0 : |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
1 |
|
1 |
i |
|
|
0 |
|||
@ |
|
|
|
|
|
¡ ¡ |
|
¯ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Власним вектором буде (2i; 1+i; 1) = (0; 1; 1)+i(2; 1; 0). “Дiйсна” (0; 1; 1) та “уявна” (2; 1; 0) компоненти цього вектора дають базу вiдповiдного двовимiрного iнварiантного пiдпростору W = h(0; 1; 1); (2; 1; 0)i.
Припустимо, шо iснує ще якийсь нетривiальний iнварiантний пiдпростiр V . Ми вже показали, що єдиним одновимiрним iнварiантним пiдпростором є U. Тому V може бути лише двовимiрним. Позаяк 2+2 =
130