Контрольні запитання

1. Що є рівнянням лінії на площині?

2. Який вектор називається напрямним?

3. Який вектор називається нормальним?

4. Як задати пряму через фіксовану точку і напрямний вектор? Доведіть.

5. Як задати пряму через фіксовану точку і нормальний вектор? Доведіть.

6. Як задати пряму через дві задані точки? Доведіть.

7. Як задати пряму через початкову точку і кут нахилу прямої до осі абсцис? Доведіть.

8. Виведіть загальне рівняння прямої.

9. Як знайти кут між двома прямими, заданими різними способами?

10. Як обрахувати відстань між точкою і прямою?

Тема 6. Криві другого порядку

Мета: Дати означення кривих другого порядку та їх основних властивостей. Розглянути канонічні рівняння кривих другого порядку та зведення довільних рівнянь до канонічних.

План.

1. Еліпс. Зведення рівняння еліпса до канонічного вигляду. Ексцентриситет і директриса еліпса.

2. Гіпербола. Зведення рівняння гіперболи до канонічного вигляду.

3. Парабола. Зведення рівняння параболи до канонічного вигляду.

1.Еліпс- геометричне місце точок на площині, сума віддалей яких до двох заданих точок (фокусів) є величина стала і більша ніж відстань між фокусами.

MF₁=MF₂=2a

, 2a>2c. Позначимо , , .

+ =2a – рівняння еліпса.

Проведемо ряд перетворень:

=2a- _,

=(2a- )²

_.

Після скорочення отримаємо

_,

_,

_,

_.

Враховуючи, що , позначимо _.

Отримаємо

- канонічне рівняння еліпса.

З наведених вище рівностей видно, що а - половина заданої сталої величини, с - половина відстанні між фокусами, а b - деяка величина, що залежить від них обох.

Дослідимо форму еліпса.

З рівняння видно, що якщо точка належить еліпсу, то точки ,,також належать еліпсу. Отже, точка О(0;0) – центр симетрії еліпса.

При y=0 тобто точкиналежать еліпсу. Аналогічно, при х=0тобто точкитеж належать еліпсу.

Розглянемо . Звідси видно, що при зростанні х від 0 до а y спадає від b до 0, і навпаки при спаданні х від а до 0 y зростає від 0 до b.

2а=А₁А₂ – називається великою віссю еліпса (або фокальною віссю), а – велика піввісь, 2b – мала вісь, b – мала піввісь.

Розглянемо величину , так як с<a, тоe<1. З іншого боку , тобто 0<e<1. . Величнаe характеризує форму еліпса. Чим ближча вона до 0, тим більше еліпс схожий на коло. При e=0 отримаємо коло.

e - називаємо ексцентриситетом еліпса.

Директриса еліпса – це пряма, яка проходить перпендикулярно до фокальної осі на відстанні від центра. Тобто, існує дві директриси:х = і

х = -.

Побудуємо еліпс .

Зведемо рівняння до канонічного виду і знайдемо рівняння директрис та координати фокусів. ..Звідси с=±3.

Таким чином, і- рівняння директрис.

2. Гіпербола - сукупність точок на площині, абсолютна величина різниці віддалей яких до двох даних точок (фокусів) є величина стала. (Ця величина не дорівнює нулю і менша ніж віддаль між фокусами).

Аналогічно до виведення рівняння еліпса, позначимо відстань між фокусами. Виберемо деяку точку .

Тоді .F₁M i F₂M назвемо фокальними радіусами.

Рівняння гіперболи набере вигляду:

Провівши перетворення, аналогічні до попереднього пункту, отримаємо:

- канонічне рівняння гіперболи.

(Проведіть доведення самостійно).

Дослідимо форму гіперболи.

1. гіпербола має дві осі симетрії і центр симетрії - точку початку координат.

2) При y=0 тобто точкиналежать гіперболі. Аналогічно, при х=0 -® рівняння розв’язку не має.

Вісь симетрії, яка перетинає гіперболу називається дійсною віссю (це вісь Ох). 2а=А₁А₂ – називається дійсною віссю гіперболи , а – дійсна піввісь.

Вісь симетрії, яка не перетинає гіперболу називається уявною віссю (це вісь Оy), 2b – уявна вісь, b – уявна піввісь.

3. Розглянемо . Звідси видно, що при зростанні х зростає y.

4. Розглянемо пряму і деяку точку N(x; y), що належить гіперболі. Знайдемо відстань від прямої до точки. Обчислимо відстань від точки М, що лежить на прямій до точки N, коли вони мають однакові абсциси.

.

Якщо х®¥, то MN®0. Але відстань між точкою і прямою менша за знайдену нами MN, тому MP®0 також.

За означенням пряма - асимптота гіперболи. Враховуючи симетрію гіперболи маємо- також асимптота гіперболи.

Гіперболи виду

і називаються спряженими.

Якщо a=b, то гіпербола називається рівнобічною.

Аналогічно до поняття ексцинтриситету еліпса, вводимо поняття ексцинтриситету гіперболи. ,e>1. Велична e характеризує форму гіперболи.

e - називаємо ексцентриситетом гіперболи.

Директриса гіперболи – це пряма, яка проходить перпендикулярно до дійсної осі на відстанні від центра. Тобто, існує дві директриси: х =і х=-.

3. Парабола - геометричне місце точок, рівновіддалених від заданої точки (фокуса) та заданої прямої (директриси).

Нехай задано точку F і пряму p. Точка М(x, y) буде належати параболі, якщо MР=MF, де N- основа перпендикуляра опущеного з точки М на пряму. Нехай , а рівняння директриси. Тоді. Це рівняння є рівнянням параболи. Проведемо ряд перетворень:

- канонічне рівняння параболи.

Дослідимо форму параболи:

1. парабола має вісь симетрії Ox.

2. при y=0 маємо x=0, тобто точка О(0; 0) належить параболі і її називають вершиною параболи.

3. Так як в лівій частині рівності завжди число невід’ємне, то , тобто крива розміщена в додатній півплощині відносно x.

4. . При зростанні x абсолютна величина y зростає.