Пример 1.

R2 I1 1 E3 I3 2

R1 R4 R5

R6 R₁= 1 Oм , E₁ = 1 B,

R₂= 2 Oм , E₂ = 2 B,

E1 I4 R₃= 3 Oм , J₁ = 1 A,

J2 I E2 II I5 J2 R₄= 4 Oм , J₂ = 2 A.

R₅= 2 Oм ,

R₆= 3 Oм ,

3 R3 I2 4

Количество узлов в схеме: у= 4. Количество ветвей –7. Ветвей содержащих источники тока в_J =2. В соответствии с этим составляем

у-1=3 уравнения по 1 закону Кирхгофа и выделяем на схеме

N _k = 7-4+1-2=2 независимых контура, по которым составляем 2 уравнения в соответствии с II законом Кирхгофа.

1: I ₁+I ₄-J ₁-I ₃ = 0

2: I ₃+I ₅+J ₂ = 0

3: J₁-I ₁- I ₂ = 0

I: I ₁(R ₁ + R ₂) – I ₄R ₄ – I ₂R ₃ = E ₁ – E ₂

II: I ₄R ₄ - I ₅R ₅ = E ₃ + E ₂

Полученные уравнения объединяем в систему, составляем матрицу и решаем её, например, методом Гаусса.

I ₁ – I ₃ + I ₄ = J₁ 1 0 –1 1 0 J ₁

I ₃ + I ₅ = - J₂ 0 0 1 0 1 –J ₂

-I ₁ – I ₂ = - J₁ 1 1 0 0 0 J ₁

I ₁(R ₁ + R ₂) – I ₂R ₃ – I ₄R ₄ = E ₁- E ₂ R₁+R₂ –R₃ 0 -R₄ 0 E₁-E₂

I ₄R ₄ – I ₅R ₅ = E ₂ + E ₃ 0 0 0 R₄ -R₅ E₂+E₃

1 0 -1 1 0 1 I ₁ =0,54 A,

0 0 1 0 1 -2 I ₂ = 0,46 A,

1 1 0 0 0 1 I ₃ = -0,14 A,

3 -3 0 -4 0 -1 I ₄ = 0,32 A,

0 0 0 4 -2 5 I ₅ = - 1,86 A.

Метод контурных токов

1. Выделяем в электрической цепи независимые контуры числом

N _k = в – y +1, где в – включает в себя ветви, содержащие источники

тока. При этом каждый источник тока обязательно должен войти только

в один из контуров. Произвольно выбираем положительное

направление обхода каждого контура. Если контур содержит источник

тока, то направление его обхода выбирается по направлению тока

источника тока и считается известным и равным току источника тока.

2. Составляем уравнения в количестве N = в – y +1- в _J по II закону Кирхгофа для неизвестных контурных токов. В левой части равенства записываем со знаком «+» произведение контурного тока рассматриваемого контура на общее сопротивление этого контура и со знаком «+» или «-» в зависимости от направления контурного тока в смежном контуре произведений каждого смежного контурного тока на общее для этого смежного контура и рассматриваемого контура сопротивление. Знак «+» выбирается в случае совпадения направления контурного и смежного контурного тока при их протекании через общее для обоих контуров сопротивление и наоборот.

В правой части записываем алгебраическую cумму ЭДС, находящихся

в рассматриваемом контуре. ЭДС берется со знаком «+» , если её

направление и направление обхода контура совпадают и наоборот.

3. Решаем полученную систему уравнений относительно контурных токов.

4. Обозначаем на схеме в произвольном направлении токи в каждой ветви, не содержащей источник тока. Находим эти токи как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих через сопротивления рассматриваемой ветви.

Пример 2. (схема примера 1)

R2 I1 E3 I3

I4 I44

R1 J1 R4 R5 R6

I33

E1 I11 E2 I22 I5 J2

I2

R3

N _k = 7-4+1= 4, т.е. количество независимых контуров обозначенных на схеме - 4.

Количество контуров, по которым протекают неизвестные контурные токи – 2, контурные токи I ₄₄= J₂, I ₃₃= J₁ известны. Следовательно, необходимо составить только два уравнения для контурных токов по II закону Кирхгофа.

I ₁₁ : I ₁₁(R ₁+R ₂+R ₄+R ₃) + I ₃₃(R ₁+R ₂) – I ₂₂R ₄ = E ₁ – E ₂

I _{22 :} I ₂₂(R₄ +R ₅) –I ₁₁R₄ +I ₄₄R ₅ = E ₂ + E ₃

I ₁₁*10 + I₃₃*3 – I ₂₂ *4 = 1 – 2

• I _11*4 + I _22*6 +2_*2 = 2 + 3

10 -4 -4 5 -2 -2 1 4 -1 1 4 -1

-4 6 1 ~ -4 6 1 ~ -4 6 1 ~ 0 22 -3

I₂₂ = = - 0,136 A I ₁₁ = -1 + 4_*0,136 = - 0,456 A

I ₁ = I ₁₁ + J ₁ = -0,456 + 1 = 0,544 A

I ₂ = - I ₁₁ = 0,456 A

I ₃ = I ₂₂ = - 0,136 A

I ₄ = I ₂₂ – I ₁₁ = -0, 136 – (- 0,456) = 0,32 A

I ₅ = - J ₂ – I ₂₂ = - 2 – (-0,136) = -1,86 A

У токов, принявших отрицательное значение, меняем направление на схеме.