- •Теорема Гаусса.
- •Поток вектора через поверхность.
- •Поток вектора через замкнутую поверхность.
- •Поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен с точностью до множителя алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности.
- •Применение теоремы Гаусса для расчета полей.
- •Дифференциальная форма теоремы Гаусса.
-
Какими свойствами обладают электрические заряды? Какой закон описывает взаимодействие неподвижных электрических зарядов? Сформулируйте этот закон. Ответ поясните рисунком.
-
Сформулируйте принцип суперпозиции электростатических полей.
-
Как называется силовая характеристика электрического поля? В каких единицах она измеряется? Дайте определение силовых линий электростатического поля. Когда силовая линия электростатического поля может совпадать с траекторией свободного заряда, помещенного в это поле?
-
Дайте определение однородного электростатического поля. Изобразите это поле графически. В каких устройствах его можно реализовать. Как называются эти устройства.
-
Изобразите на рисунке силовые линии электростатического поля в плоском, цилиндрическом, сферическом конденсаторе, созданного двумя точечными разноименными одноименными зарядами.
-
Сформ
Теорема Гаусса.
Поток вектора через поверхность.
|
Рассмотрим маленькую площадку с единичным вектором нормали : , в пределах которой вектор напряженности электрического поля имеет постоянное значение: . Для замкнутых поверхностей принято выбирать внешнюю нормаль, |
Рисунок 18..6. |
т.е. нормаль , направленную наружу охватываемой поверхностью области.
В этом случае элементарный поток вектора через площадку определяется как скалярное произведение вектора поля на вектор элементарной площадки:
(18.9) |
Т.о., поток вектора есть скалярная величина.
Поток вектора через конечную поверхность равен:
(18.10) |
Поток вектора через замкнутую поверхность.
Рисунок 18.7. |
Рассмотрим для начала точечный заряд, окруженный сферической поверхностью с центром, совпадающим с точечным зарядом. Т.к. для любого элемента рассматриваемой поверхности , то |
Для элемента произвольной замкнутой поверхности
, |
(18.11) |
где – телесный угол. Этот угол может принимать как
положительные, так и отрицательные значения в зависимости от направления нормали (значения угла ), т.е. является величиной алгебраической. Из рисунка видно, что входящий и один из выходящих через поверхности, ограниченные телесным углом , потоков «компенсируют» друг друга, так что отличным от нуля остается только один выходящий в телесном угле поток. |
|
Рисунок 18.8 |
Тогда полный поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен
(18.12) |
|
Теперь пусть поле создается любой системой зарядов. Тогда всю систему можно разбить на точечные заряды и для каждого из них в отдельности найти потоки через выбранную замкнутую поверхность. Пользуясь принципом суперпозиции , получим, что уравнение |
Рисунок 18.9. |
может быть обобщено для любой системы зарядов, расположенных произвольным образом, причем стоящий в правой части уравнения заряд будет складываться только из зарядов, находящихся внутри рассматриваемой замкнутой поверхности .
Т.о., получаем:
, |
(18.13) |
т.е. из геометрического правила сложения векторов следует, что их потоки , как и заряды , складываются алгебраически.
Итак, электростатическая теорема Гаусса:
. |
(18.14) |
где суммарный заряд внутри поверхности .
Поток вектора сквозь замкнутую поверхность равен с точностью до множителя алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности.
Для непрерывного распределения заряда с объемной плотностью , зависящей от координат, имеем
(18.15) |