физика / Lektsia_05-f
.docЛекция №5
(Буланчук О.Н., каф. физики ПГТУ )
Частица в потенциальной яме.
Определение: потенциальная яма – область пространства, в котором потенциальная энергия меньше чем в окружающем пространстве (потенциальный барьер наоборот). На Рис.5.4 показана потенциальная яма прямоугольной формы.
Движение частицы в потенциальной яме является удобной моделью для качественного анализа поведения микрочастицы в ограниченном пространстве. Эта модель позволяет выявить почти все основные качественные особенности таких систем.
Рассмотрим задачу о движении частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками: . Физически это соответствует ситуации, когда . В этом случае , . Для того, чтобы волновая функция была конечной, в области под знаком экспоненты должен стоять знак плюс, в области минус, тогда при , .
В области
Решение имеет вид , где
На левой границе при :.
Н а правой границе при : . Таким образом получили систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов:
Из следует , . Далее, воспользовавшись соотношениями
,, получим
.
Константа , поскольку если , то это означает, что частица не существует. Тогда можно удовлетворить, если
.
Значение было отброшено, поскольку это соответствует нулевой волновой функции: отсутствию частицы. Целое число называется квантовым числом, а поскольку оно определяет энергию, то его называют главным квантовым числом. Из следует, что : импульс частицы в потенциальной яме является квантованным. Волновая функция частицы в потенциальной яме имеет вид:
Введем обозначение . Без потери общности, далее коэффициент можно полагать действительным, поскольку исходное уравнение не содержит мнимых величин:
Найдем из условия нормировки
В данном случае называются собственными волновыми функциями оператора кинетической энергии .
Подытожим полученные результаты для частицы в потенциальной яме:
-
Квантово механическое состояние объекта определяется квантовыми числами, которые задают вид волновой функции и определяют значения ряда физических величин (в данном случае квантовое число определяет энергию и импульс).
-
При частица не может быть обнаружена в середине ямы , а одинаково часто бывает как справа так и слева. Такая ситуация не совместима с классическими представлениями (все положения равновероятны). При число максимумов увеличивается и частицу с одинаковой вероятностью можно обнаружить в любой части потенциальной ямы, что соответствует классическому случаю.
-
Энергетический спектр локализованного объекта оказывается дискретным (квантованным).
Состояние с наименьшим значением энергии называется основным (невозбужденным) состоянием.
-
Для частицы в потенциальной яме существует минимальное значение энергии (полной и кинетической) (эту энергию часто называют нулевой энергией, хотя она не равна нулю). Таким образом, материальная частица, которая находится в ограниченном пространстве, не может пребывать в состоянии покоя. Почему же мы тогда наблюдаем покоящиеся тела? Для ответа на этот вопрос оценим нулевую энергию для макрочастицы (пылинки массой кг), которая находится в сантиметровой коробочке (м):
Дж=эВ
м/с
Видно, что скорость движения в этом случае ничтожно мала и пылинка практически покоится.
Для электрона в атоме скорость оказывается достаточно большой:
кг, м
ДжэВ
м/с
-
Микрочастица может перейти с одного энергетического уровня на другой, если энергия сообщаемая объекту . В противном случае она остается невосприимчивой к внешним воздействиям. Покажем, что для макрочастиц эффект квантования энергии оказывается практически незаметным.
Расстояние между энергетическими уровнями будет равно
Из видно, что с увеличением квантового числа разность энергий возрастает. Почему ж при больших энергиях не обнаруживается квантование энергии? Дело в том, что хотя растет, однако относительное изменение энергии при этом будет убывать по закону , т.е., стремится к нулю при увеличении квантового числа. Это означает, что при больших квантовых числах энергия частицы будет изменятся непрерывно.
Оценим для пылинки массой г в потенциальной яме ширины см. Для
ДжэВ
Для электрона в атоме:
ДжэВ.
Из оценок , следует, что энергия макрочастиц будет изменяться практически непрерывным образом, а дискретность будет заметна только для частиц с очень маленькой массой.
Для дискретных энергетических спектров вводится понятие плотности энергетических состояний—число энергетических уровней приходящихся на единичный интервал энергий:
Плотность энергетических состояний обратно пропорциональна расстоянию между энергетическими уровнями. С увеличением уменьшается ( увеличивается).
Замечание 1: Интересна задача о прохождения частицы над потенциальной ямой. В этом случае существует ненулевая вероятность отражения частицы от потенциальной ямы, однако при определенных значениях глубины ямы возможно прохождение частиц без отражения.
Замечание 2: в результате последних экспериментальных исследований было показано, что эффект квантования энергии наблюдается для нейтронов в гравитационном поле Земли (квантование гравитационного поля). В экспериментальной установке наблюдалась повышенная концентрация нейтронов только на определённых дискретных высотах.