Лекция №

(Буланчук О.Н., каф. физики ПГТУ )

Электронный газ в металле. Энергия Ферми.

Поскольку кратность вырождения энергетических уровней в металле равна двум, то число квантовомеханических состояний в фазовом объеме должно быть удвоено

Перейдем от импульсов к энергиям

, .

Тогда из следует, что

,

Число электронов с энергиями от до может быть вычислено по формуле

Концентрация электронов

При низких температурах (или при ) при и равна нулю при больших значениях энергии. Тогда

Найдем энергию Ферми:

Из видно, что энергия Ферми определяется плотностью электронов в металле.

Среднее значение энергии электронов в металле

Энергия одного моля электронного газа может быть вычислена по формуле

Найдем молярную теплоемкость электронного газа в металле

Представляет интерес ситуация, когда вещества, которые при обычных давлениях являются диэлектриками, превращаются в металл при сильном сближении атомов. Твердый водород при нормальном давлении является диэлектриком, плотность которого равна 0.076 г/см. Оценим плотность твердого водорода, при котором он становится металлом. Энергия ионизации атома водорода эВ. Сжатие вещества сопровождается увеличение плотности, а значит повышением уровня Ферми. Когда энергия Ферми становится равной энергии ионизации атома, происходит ионизация атомов диэлектрика. Наружные электронные оболочки атомов разрушаются, валентные электроны коллективизируются, и диэлектрик становится металлом. Концентрация атомов при которой он становится металлом, определяется условием . В данном случае:

кг/м

Элементы квантовой теории электропроводности металлов.

Теория электропроводности металлов, построенная на основе квантовой статистики и квантовой механики называется квантовой теорией электропроводности металлов. В соответствии с этой теорией в явлении электропроводности металлов может принимать участие только та относительно небольшая часть электронов энергии которых близки к энергии Ферми (т.е., в области спада ). Эти электроны могут, перемещаясь вверх по энергетической шкале на свободные уровни, воспринять воздействие приложенного электрического поля. Электрический ток—процесс распространения волн Де-Бройля, которые рассеиваются на тепловых колебаниях атомов решетки, примесях, дефектах, приводящих к нарушению периодичности решетки (возникновению флуктуаций плотности). Из квантово механических расчетов следует, что удельная проводимость может быть вычислена по формуле:

,

где —концентрация электронов проводимости, ,—средняя длина свободного пробега и скорость электрона, имеющего энергию Ферми (их называют фермиевскими электронами). Напомним, что по классической теории электропроводности:

Видно, что формулы и по внешнему виду очень похожи, хотя были получены в разных теориях. В квантовой теории электропроводности средняя длина свободного пробега у одновалентных металлов при не очень низких температурах равна:

,

где —модуль Юнга, —расстояние между узлами кристаллической решетки. Оценки для металлов показывают, что длина свободного пробега фермиевских электронов оказывается значительно больше расстояния между узлами кристаллической решетки. Подставив в получим:

Из следует, что проводимость не зависит от концентрации электронов и обратно пропорциональна температуре. Расчеты выполненные для серебра показывают, что , а экспериментальное значение . Видно, что имеет место хорошее соответствие теории и эксперимента.

В общем случае удельное сопротивление металла состоит из двух частей . Здесь —удельное сопротивление, обусловленное рассеянием на флуктуациях плотности, —сопротивление связанное с рассеянием на примесях. С уменьшением температуры —остаточное сопротивление (Рис.13.1). Закон, определяющий зависимость удельного сопротивления от температуры, будет иметь вид , где —температурный коэффициент сопротивления (). Следует отметить, что у некоторых металлов и металлоидов при температурах ниже критической температуры наблюдается полное исчезновение сопротивления: переход в сверхпроводящее состояние.