- •Лекция 4.
- •4. Работа. Механическая энергия.
- •4. 1. Работа. Мощность.
- •4. 1. 1. Элементарная работа силы.
- •4. 1. 2. Элементарная работа нескольких сил.
- •4. 1. 3. Работа на конечном участке траектории.
- •4. 1. 4. Работа диссипативных и гироскопических сил.
- •4. 1. 5. Мощность.
- •4. 2. Силовые поля. Консервативные и потенциальные силовые поля. Потенциальная энергия.
- •4. 2. 1. Консервативные силовые поля.
- •4. 2. 2.Потенциальная энергия материальной точки.
- •4. 2. 3. Потенциальная энергия и работа силы.
- •4. 2. 4. Сила как градиент потенциальной энергии.
- •4. 2. 5. Потенциальное силовое поле.
- •4. 2. 6. Работа и функция нестационарного потенциального поля.
- •4 . 2. 7. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральных сил.
- •4. 2. 8. Потенциальная энергия системы из двух материальных точек, между которыми действуют центральные силы.
- •4. 2. 9. Потенциальная энергия при упругой продольной деформации.
- •4. 2. 10. Характерные особенности потенциальной энергии.
- •4. 3. Кинетическая энергия.
- •4. 3. 1. Связь работы и кинетической энергии.
- •4. 3. 2. Теорема о кинетической энергии.
- •4. 3. 3. Кинетическая энергия механической системы.
- •4. 3. 4. Закон изменения кинетической энергии механической системы.
- •4. 3. 5. Зависимость кинетической энергии от выбора системы отсчёта. Теорема Кёнига.
- •4. 3. 6. Характерные свойства кинетической энергии.
- •4. 4. Закон сохранения энергии.
- •4. 4. 1. Вывод закона сохранения механической энергии.
- •4. 4. 2. Закон сохранения и превращения энергии – фундаментальный закон природы.
- •4. 4. 3. Механическая энергия замкнутой системы.
- •4. 4. 5. Механическое равновесие системы.
4. 2. 3. Потенциальная энергия и работа силы.
Если материальная точка движется в консервативном силовом поле под действием силыпо некоторому путиb от точки до точки , то при этом поле совершает работу
|
(4.15) | ||
|
Поэтому потенциальная энергия характеризует возможность совершения работы силой (рис. 4.6).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: | ||
Рисунок 4.6. | |||
|
|
4. 2. 4. Сила как градиент потенциальной энергии.
В консервативном статическом силовом поле сила однозначно определяется потенциальной энергией:
|
(4.16) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: для любой точки. Отсюда следует, что .
Примечание: По определению в математике градиент скалярной функции есть
,
где - оператор Гамильтона(оператор набла) - символический вектор:
|
(4.17) |
Силы, для которых выполнимо (4.16) называются потенциальными силами.
4. 2. 5. Потенциальное силовое поле.
Стационарное поле называется потенциальным, если сила , с которой оно действует, потенциальна.
Нестационарное поле () считается потенциальным, если выполняется условие (4.33) при мгновенном переносе точки по замкнутой траектории.
Механическая система называется консервативной, если все действующие не неё непотенциальные силы работы не совершают, а все внешние потенциальные силы стационарны.
4. 2. 6. Работа и функция нестационарного потенциального поля.
Рассмотрим нестационарное потенциальное поле. Потенциальная энергия тела в таком поле зависит не только от координат, но и от времени:
|
(4.18) |
Полный дифференциал:
|
|
Тогда, элементарную работу силы, действующей на материальную точку в нестационарном потенциальном поле,можно представить в виде:
|
(4.19) |
Элементарную работу непотенциальной силы также нельзя представить в виде полного дифференциала какой-либо функции координат. Именно поэтому элементарная работа произвольной силы обозначается как .
4 . 2. 7. Потенциальная энергия материальной точки в поле центральных сил.
Все силы, которые могут действовать на материальную точку в поле центральных сил, направлены вдоль прямых, проходящих через одну точку пространства - центр сил, и зависят только от расстояния до центра сил:
|
(4.20) |
где: -радиус - вектор, проведённый из центра сил в рассматриваемую точку, -проекция силы на направление вектора r,зависящая только от расстояния .
Если материальная точка притягивается к центру сил, то:
|
(4.21) |
если точка отталкивается, то:
|
(4.22) |
Тогда :
|
(4.23) |
и
|
(4.24) |
Обычно за начало отсчета потенциальной энергии в поле центральных сил принимают энергию материальной точки, находящейся бесконечно далеко от центра сил и полагают её равной нулю ().
Тогда, с учётом (4.23) и (4.24):
|
(4.25) |
Примерами центральных силовых полей могут служить гравитационное поле материальной точки и однородного шара и электрическое поле точечного заряда и однородно (равномерно) заряженных сферы или шара.