АиГ_2_Лиманский

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

то жорданова нормальная форма его матрицы имеет вид

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

567.15 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

fϕ(λ) = (−1)nλn + p1λn−1 + · · · + pn−1λ + pn (n = dim V ) могут быть найдены непосредственно по матрице A. Именно, коэффициент pk равен произведению (−1)n−k на сумму всех главных миноров k-ãî порядка матрицы A. (Минор

называется				главным, если он симметричен относительно главной диагонали
матрицы.) В частности, p1										= (−1)n−1 tr A ñëåä									матрицы A (сумма ее диа-
гональных элементов),								pn = det A.
	Пример 3. Найдите собственные значения и собственные векторы
линейного оператора в R3, заданного в стандартном базисе матрицей
	2	1		1
	1	2		1
A =	1	1		2!.
	Найдем коэффициенты p1, p2, p3 характеристического многочлена
f(λ) = −λ3 + p1λ2 + p2λ + p3 матрицы A. Имеем: p1																				= tr A = 2 + 2 + 2 = 6;
			2	1		2	1		2	1												2	1	1
p2 = −			1	2	+	1	2 +		1	2	=			−9, p3			= det A = 1						2	1		= 4. Тогда
																						1	1	2
													3		2
характеристическое уравнение												λ + 6λ					9λ + 4 = 0				имеет			корни				è
											−	λ + 6λ				−	9λ + 4 = 0									λ1 = 1
λ2 = 4.											−					−
λ2 = 4.
	Найдем теперь собственные векторы, отвечающие полученным собствен-
																		1	1	1			1		1	1
ным значениям. Имеем:								A − λ1E = A − E =										1	1	1			0		0	0
								A − λ1E = A − E =										1	1	1!			0		0 0!. Базис
Ker(A−E) образуют векторы f1 = (−1; 1; 0)																	è f2 = (−1; 0; 1). Множество соб-
ственных векторов, отвечающих собственному значению λ=1, имеет вид
c1f1 + c2f2 = (−c1 − c2;								c1;		c2), ãäå c12 + c22 6= 0. Далее, A − λ2E = A − 4E =
−2	1	1			1		−2	1
1	−2	1 !			0		−1	1!. Базис Ker(A −4E)										образует вектор f3 =(1; 1; 1).
1	1	−2			0		0	0																			λ = 4,
Множество собственных векторов, отвечающих собственному значению																											λ = 4,
имеет вид c3f3 = (c3; c3; c3), ãäå c3 6= 0.
	Говорят, что оператор, действующий в конечномерном пространстве,																										ïðè-
водится к диагональному виду, èëè														диагонализуем, если существует базис, в
котором его матрица диагональна. При этом числа, стоящие на главной диаго-
нали этой матрицы это собственные значения оператора, а векторы базиса
соответствующие собственные векторы. Оператор																				ϕ : V → V ,						dim V = n,

диагонализуем в точности тогда, когда в пространстве V существует n линейно независимых собственных векторов оператора ϕ.

Пример 4. Диагонализуем ли оператор из примера 3?

Оператор, заданный (3×3)-матрицей A из примера 3, имеет два линейно независимых собственных вектора f1 è f2, отвечающих собственному

каноническим (жорда-

значению λ = 1, и собственный вектор f3, отвечающий собственному зна- чению λ = 4. Так как векторы, отвечающие различным собственным значе-

ниям, линейно независимы, то все векторы f1, f2, f3 линейно независимы. Таким образом, в R3 существует три линейно независимых собственных

вектора данного оператора. Поэтому оператор диагонализуем.

λ 1 0 . . . 0 0

Квадратная матрица вида Jλ			=	.0. .		.	λ. . .	1. . .	...... . . .0. . .0.	называется жорда-


					0		0	0	. . . λ 1
.					0		0	0	матрицы
					0		0	0	. . . 0 λ
новой клеткой Жорданова нормальная форма									имеет блочно диаго-
Jλ1	Jλ2				Jλ	k	жордановы клетки, а все невыпи-
нальный вид	...	, ãäå				k

санные элементы равны нулюJ.λm

Для всякого линейного оператора, действующего в конечномерном пространстве над C, существует базис, в котором матрица этого оператора имеет

жорданову нормальную форму. Этот базис называется новым) базисом. При этом жорданова нормальная форма определяется однозначно с точностью до перестановки жордановых клеток.

Для отыскания жордановой нормальной формы матрицы оператора ϕ â

конечномерном пространстве V íàä C применяется следующий алгоритм. Пусть

λ фиксированное собственное значение оператора ϕ. Последовательность строго вложенных друг в друга подпространств

{0} Ker(ϕ−λE) Ker(ϕ−λE)2 · · · Ker(ϕ−λE)k = Ker(ϕ−λE)k+1 = . . . ,

стабилизирующаяся при некотором k (см. дополнительную задачу 7 раздела III),

называется флагом подпространств.

Обозначим d0 = 0 è dj = dim Ker(ϕ − λE)j, j N. Построим таблицу из k строк, заполняемую слева направо и снизу вверх, в j-й (снизу) строке которой

расположены подряд dj − dj−1 элементов, j {1, . . . , k}. Тогда число столбцов в этой таблице равно количеству жордановых клеток, соответствующих собст-

венному значению λ, а число элементов в столбце порядку соответствующей

клетки.

Проводя описанную процедуру для всех собственных значений оператора ϕ и располагая полученные жордановы клетки по главной диагонали, придем

к жордановой нормальной форме матрицы данного оператора. Построение канонического базиса представляет более трудоемкий процесс (см. [1,2]).

Пример 5. Постройте жорданову нормальную форму матрицы оператора,

заданного в стандартном базисе матрицей																										A =			−1				3				0			1 .
																															1		1				1			0
																															0			1				1		1
																														−1			0			−1				1
																																−				−
	Найдем коэффициенты p1, p2, p3, p4 характеристического многочлена
f(λ) = λ4 + p1λ3 + p2λ2 + p3λ + p4																		матрицы A. Имеем: p1 = − tr A = −(1 + 3 −
		−						−1 3									1		1				0 1				0 −1					−1 1									−1 1
1 + 1) =			4, p2			=			1 1 +								1 1				+			1 0		+		3 0				+			3 1					+		−1 1	= 6,
		1 1 1										1			1− 0			−			1			1		0			3			0				1

p3 =		−		1 3 0					+			1			3		1	+				1			1	1		+	0			1 1							=			4,
	−	−		1 0						−										−		−									1	−					!				−
				1 0		−	1					0		−		1 1					0			−	1 1						1	−	1 1
		−				−								−										−					−			−


					1	1				1			0		= 1. Единственным корнем характеристического
p4 = det A = −1						0					1		1		= 1. Единственным корнем характеристического
					1	3				0			1
				−					−

						−1			−1
					0	−1			−1				1

уравнения λ4 − 4λ3 + 6λ2 − 4λ + 1 = (λ − 1)4 = 0 является число λ = 1. Построим флаг подпространств Ker(A − E)j. Имеем:

−

E =

−1

= dim Ker(A

−

E) = 4

−

rank(A

−

E) = 4

−

2 = 2;

−1 0 −2 1

−1

d2 = dim Ker(A

E)2

= 4

rank(A

E)2

E)2 = −2

−2

−

−2

−

−2

4 −

;

−

= (

= · · · = O

, d

3 =

= · · ·

= dim Ker(

−

1 = 3

(

)

−

)

E)3

4 − rank(A − E)3

4 − 0 = 4. Далее, построим таблицу из трех

строк, в нижней строке которой

d1 −d0 = d1 = 2 элемента, в следующей -

d2 − d1 = 1 элемент и в верхней - d3 − d2 = 1 элемент:

. Значит,

собственному значению λ = 1 соответствуют две жордановы клетки порядков 3 и 1. Поскольку других собственных значений оператор не имеет,

Индивидуальное задание

(см. таблицу на с. 35)

Задача 1. В геометрическом трехмерном пространстве с ортонормированным

базисом e1, e2, e3 задан линейный оператор ϕ. Найдите его собственные значения и собственные векторы.

	ϕ


1	симметрия относительно оси e2 − e3
2	симметрия относительно оси e3 − e1
3	симметрия относительно оси e1 − e2
	π
4	поворот вокруг оси e1 íà óãîë 2
	3π
5	поворот вокруг оси e2 íà óãîë 2
	2π
6	поворот вокруг оси e1 + e2 + e3 íà óãîë 3
7	отражение относительно плоскости (e1 − e3, e2)
8	отражение относительно плоскости (e1 + e2, e3)
9	отражение относительно плоскости (e1, e3 − e2)
10	центральная симметрия относительно начала координат
11	ортогональное проектирование на ось e1 + e3
12	ортогональное проектирование на плоскость (e1, e2 + e3)

Задача 2. Пусть ϕ линейный оператор в пространстве V íàä R с базисом a, b. Найдите его собственные значения и собственные векторы.

	ϕ		ϕ

1	ϕ(a+2b)=a, ϕ(2a+b)=b	7	ϕ(a+3b)=a − b, ϕ(a+2b)=−3a − 4b
2	ϕ(a+b)=a+3b, ϕ(b)=a+b	8	ϕ(4a − b)=2a+b, ϕ(−3a+2b)=a+2b
3	ϕ(2a+b)=b, ϕ(a+2b)=a	9	ϕ(−a+4b)=a+2b, ϕ(2a − 3b)=2a+b
4	ϕ(a+b)=3a+b, ϕ(a)=a+b	10	ϕ(a+2b)=a+2b, ϕ(−2a − b)=−2a − b
5	ϕ(2a+b)=2a−b, ϕ(−a−2b)=a−2b	11	ϕ(−a+2b)=−4a−4b, ϕ(2a+b)=2a−2b
6	ϕ(3a+b)=a+b, ϕ(−2a+b)=a+3b	12	ϕ(2a − b)=a − 3b, ϕ(−a+2b)=−2a+2b

Задача 3. Найдите собственные значения и собственные векторы линейных операторов в R3, заданных в стандартном базисе матрицами A, B, C.

Задача 4. Диагонализуемы ли операторы из задачи 3?

Задача 5. Постройте жорданову нормальную форму матрицы оператора, заданного в стандартном базисе матрицей D.

					A													B							C																	D

													−2 −3 3									−2 −2													0				2			1			0
1			5 3							4			−2 −3 3									−2 −2										1		−		2			−	4 0						1
1			2 4						−2					0				4		−	6		4			4							2	−					−			1			−
			4 4						−	3				0				3		−	5		4			4					−				0				0			1			3
			4 4						−	3				0				3		−	5		4			4							2		0				0			−	1			3
									−											−											−											−	−
			3				2			0						4		0		4			4			4							2			−		2			2		0		1
			3				2			0				−		4		0		4			4			4							2			−					0		2		2
2			2		−4 2									−				1		−			4			4					−						0				0		2		2
2			2		−4 2										1			1		1			4			4							2				2					2 2			1
			4		−		4			1					1			1		−				2			2				−						2					2 2			1
			4				4			1					1			1		1				2			2					1					0			−			0		0
					−															−		− −
			1 1 0											5				0		6				2		−		2				3		3 1 −2 0
	6 4 −4												−3 −1 −3										−			−						2					3		1			2		0
3	6 4 −4												−3 −1 −3											0 −2								2		3 1								−2 0
			0 2 1										−		3			0		−	4			2				3				4		2 1								−2 0
													−							−		− −																				−
				1 1 0											7 2					4				2 4							4			2							1 0				0
				1 1 0											7 2					4				2 4							4			2							1 0
4		−4 0 2													6 6					−6				2 4					−4								1				2 0				0
	−			7				1			4				8			4		−				3	6				−		6						2					2 2			1
				7				1			4				8			4		5				3	6						6							2		−			1		2
	−					−														−									−					−
		4				1					2						4		3	3			1				2					2					4					3	3		0
		4			−	1			−		2				−		4		3	3			1		−		2					2					2			−			2		0
					−				−						−										−												2				1		2		0
5	2 1 −2												−3 2 3									−2 3 −3															1				1 2				0
		1			−	1 1							−				3 3 2						2		−		5					5						2				2 2			3
					−								−												−									− −
																																					2		4			2			2
																									−2 −3												2		4			2
6			3 0							1					6			0		8			5		−2 −3										−4 6 2									−2
6			4 1						−2						1			2		2			2		0					−		2		−				0						−
			8 2						−	4						2		0		2			3			2				−		1				0		0				2			4
			8 2						−	4			−			2		0		2			3		−	2				−		1				0		0				−4			6
									−				−							−					−					−												−
		1				6 −2									1 −1 1								1		−1							3						1		3		1		3
		1				6 −2									1 −1 1								1		−1							3						3		1		3	1
7		0 −1									6		0					0		1			2		−2							6			0					0		1	3
	−		2 6								1				1			−	1 1			−		2 2									6		0					0		3	1
	−																	−				−									−
				4 1 2										3					2 6				7				3					9				3			−	1		−	2		0
		−		4 1 2										3				−	2 6				7		−		3					9							−	1		−	2
		−											−2					−		−6					−							1				3				1			2		0
8			6 3 −4										−2					3		−6			1		−1							1		3					−1			−2			0
	−			6 2 3									−		2			2		−	5	−		6 2									8	2					−1			−1			0
	−												−							−		−									−								− −
																																0						2		1		0		0
		53				42					33			53				12		52				31			41					0			1					2		0	0
9		53				42					33			53				12		52				31			41					0			1					2		0	0
	−		4		− −							2	− − −								3	− −										1						2		1		2	1
	−		4		−		4			−		2			3				1	−	3			2			4					1			1					2		1	2
	−				−					−			− −							−
			4				4					4			4			0		4				1 1								1				6			−	2		2		2
			4				4					4			4			0		4				1 1								1							−			2
10	−2				−3					−4			−			2		3		5			−					1				0				2			2			2		2
10	−2				−3					−4						2		3		5				1		−		1				0				0		0 6							2
	−				− −											2		1		−				4		−						2				0		0 6						−	2
		4				5					6					2		1		3				4			4					2		0					0			2		−
													−							−		−
	−3 −1 −3																			−1		−2 4 −8												1					1			0		0
	−3 −1 −3														0			2		−1		−2 4 −8														3				1		0	0
11		2				3					0		−2					5		−2			1		−2							4		1					−1			1	1
		2				1					2		−			2		4		1			1		−		2					4		1					−1			3		−	1
													−							−					−														−					−
																																		3						1			0		0
							1 −2																											3						1			0
12		6					1 −2								3			0		4			1			2						3		−			1			1			0 0
12	−		6		−1 4								−			2		2		5			3			6						9		−							1 3				1
	−				−		2					1	−			2		1		4				3			6						9			3			−		1 3				1
		6					2					1				2		1		4				3			6						9			1			−				1		1
					− −								−							−		− − −																				−

Вопросы для самопроверки

1)Всякий ли оператор в вещественном пространстве имеет собственный вектор?

2)Тот же вопрос для комплексного пространства.

3)Верно ли, что сумма собственных векторов снова является собственным вектором данного оператора?

4)Каковы собственные значения диагональной матрицы?

5)Верно ли, что если вектор v собственный для оператора ϕ, то он собственный и для оператора ϕ2?

6)Верно ли, что все собственные векторы линейного оператора принадлежат его ядру? его образу?

7)Верно ли, что, переставляя между собой жордановы клетки, снова полу- чим жорданову нормальную форму матрицы данного линейного оператора?

8)Пусть матрица A имеет жорданову форму J. Какова жорданова форма для матрицы B = C−1AC?

9)Как связаны собственные значения операторов ϕ è ϕ−1?

10)Инвариантные подпространства каких размерностей имеет линейный оператор, заданный в комплексном пространстве?

11)Верно ли, что линейный оператор в вещественном пространстве нечетной размерности всегда имеет одномерное инвариантное подпространство?

12)Тот же вопрос для пространства четной размерности.

Литература по теории

[1: ãë. 5, 3,8], [2: ãë. 2, 10; ãë. 3, 18,19]

Номера практических заданий

[6: 1463-1539]

Дополнительные задачи

1)Докажите, что все ненулевые векторы собственные для оператора ϕ â

точности тогда, когда оператор ϕ скалярный, т. е. ϕ = λE.

2)Докажите, что коммутирующие линейные операторы в комплексном пространстве имеют общий собственный вектор.

3)Докажите, что если ϕ : V → V линейный оператор, λ его собственное значение, то подпространство {x V : ϕx = λx} является инвариантным относительно любого оператора, коммутирующего с ϕ.

	1	0	. . .	0	0
	a1	a2	. . . an−1		an
4) Найдите характеристический многочлен матрицы	0	1	. . .	0	0	.
	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

	0	0	. . .	1	0

5)Пусть Jλ жорданова клетка порядка n с числом λ на главной диагонали. Найдите: а) Jλn (n N); á) f(Jλ), где f(x) многочлен.

6)Какие собственные значения может иметь оператор, действующий в вещественном пространстве и удовлетворяющий условию:

à) ϕ2 = ϕ;	á) ϕ2 = E;				â) ϕ3 = ϕ;		ã) ϕk = 0 (k N)?
7) Вычислите: а)	√2	√	!	n	á)	11	3!	n

		1		;				.
	0	2					1

−

8)Найдите канонический базис и жорданову нормальную форму матрицы оператора дифференцирования в пространстве многочленов степени 6 4.

9)Пусть Am = O для некоторой квадратной матрицы A второго порядка. Докажите, что A2 = O.

10)Опишите жорданову нормальную форму матрицы оператора ϕ, действу-

ющего в комплексном конечномерном пространстве и удовлетворяющего условию:

à) ϕ3 = ϕ; á) ϕm = 0; â) ϕ3 = ϕ2; ã) ϕm = E (m N).

11)Найдите собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования, действующего в комплексном пространстве тригонометрических многочленов a0 + a1 cos x + b1 sin x + · · · + an cos nx + bn sin nx.

12)Найдите собственные значения матриц порядка n:

	0 1 0 . . .	0	0	0		1		0	1 . . .	0	0
	1 0 1 . . .			0 ;			−1	1	0 . . .	0	0
à)	1 0 1 . . .	.0. .	.0. .	0 ;	á)		0	1	0 . . .	0	0 ;
							. . . . .	. . .	. . . . . . . .	. . .	. .
	0 0 0 . . .	1	0	1			0	0	0 . . .	0
		0	1				0	0	0 . . .	0	1
	0 0 0 . . .	0	1	0			0	0	0 . . .	1
							0	0	0 . . .	1	0

0	x	x . . .	x
y	0	x . . .	x

â) y y 0 . . . x .

y. . . .y. . .y. . ....... .	.0.

R èëè C,

V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Понятия:

1)сопряженный оператор;

2)самосопряженный, унитарный, ортогональный операторы;

3)эрмитова, унитарная, ортогональная матрицы;

4)собственный и несобственный ортогональный операторы.

Факты:

1)формула матричного элемента оператора в евклидовом пространстве;

2)матрица сопряженного оператора в ортонормированном базисе;

3)свойства операции сопряжения;

4)свойства самосопряженных, унитарных и ортогональных операторов;

5)спектральная теорема для самосопряженных и унитарных операторов;

6)канонический вид матрицы ортогонального оператора.

Пусть V конечномерное евклидово пространство над полем

ϕ : V → V линейный оператор. Если e1, . . . , en ортонормированный базис V è A = (aij)n×n матрица оператора ϕ в этом базисе, то aij = (ϕej, ei).

Оператор ϕ : V → V называется сопряженным к оператору ϕ, åñëè (ϕx, y) = (x, ϕ y) для любых x, y V . Для данного оператора ϕ сопряженный к нему оператор ϕ всегда существует и определен однозначно.

Для операторов ϕ, ψ и числа λ C справедливы следующие;		свойства:
1) (ϕ ± ψ) = ϕ ± ψ ;	3) (ϕψ) = ψ ϕ
2) (λϕ) = λϕ¯ ;	4) (ϕ ) = ϕ.
Для данной квадратной матрицы C обозначим через C матрицу, получен-
íóþ èç C транспонированием и заменой каждого ее элемента на комплексно
сопряженный. (В случае вещественной матрицы C = CT .) Åñëè A è B
матрицы операторов ϕ è ϕ	соответственно в ортонормированном базисе

e1, . . . , en, òî B = A . Если базис e1, . . . , en произвольный, то B = U−1A U, ãäå U матрица Грама векторов e1, . . . , en (см. дополнительную задачу 11).

Пример 1. В евклидовом пространстве R2 со стандартным скалярным

произведением задан оператор ϕ: ϕf1 = f1 +3f2, ϕf2 = 2f1 +4f2, f1 = (1; 1),

f2 =(1; 2). Найдите матрицу оператора	ϕ в базисе f1, f2.		4!.
Матрица линейного оператора	ϕ в базисе f1, f2 åñòü A =	3	4!.
		1	2

Òàê êàê (f1, f1) = 2, (f1, f2) = 3, (f2, f2) = 5, то матрица Грама векторов

1		2	3	5!	2	4!		3 2 !
f	, f		åñòü U = 2	3 . Далее, найдем, что A =	1	3 , U−1 =	5		−3 .
							−

Значит, матрица оператора

в базисе f1, f2

имеет вид B = U−1A U =

3 2 !

−3

7 12 .

−

Пример 2. Пусть ϕ - оператор дифференцирования в пространстве

многочленов над R степени 6 2 со скалярным произведением (f, g) =

1 f(x)g(x) dx. Найдите матрицу оператора

ϕ в базисе e1 = 1 + x,

R= 1 − x, e3 = x2.

−1

Найдем сначала матрицу A оператора ϕ в базисе e1, e2, e3. Òàê êàê

ϕe1 = (1 + x)0 = 1 = 12 e1 + 12 e2, ϕe2 = (1 − x)0 = −1 = −12 e1 − 12 e2, ϕe3 =

																						21		−21						1
(x2)0 = 2x = e1													e2, òî A =									21 −21							−1 . Далее, вычислим матрицу Грама
												−									0			0					1	0												(1+x)3			1
1								1		2 3								3		1							R		−1							1									−1			33,				41		1
1								1		2 3								3		1									−1							1							3		−1			33,				41		1
векторов e										, e , e . Имеем (e1, e1) =																					(1 + x)2 dx =												2				= 8				(e			, e2) =
						2										x						4																					2					x			x
	1(1		−		x ) dx = x										−		3				=	3 , (e1, e3) =															1(1 + x)x dx									=			3 +		4				=
−			−									1			−			−1							(1 x)3 1											−										1						−1
R2																			2							−									R8																		2
																										−
3 , (e2, e2) =												R−	1(1		−	x) dx =						−								−1		= 3 , (e2, e3) =														R−	1(1		x)x dx =
3 , (e2, e2) =													1(1			x) dx =											3					= 3 , (e2, e3) =															1(1		x)x dx =
																																																	−	8 4				2
x3				x4			1																									x5		1																3		3		3
x3				x4								2										1		4								x5						2												4 8				2 .
3		− 4				−			1		= 3 ,				(e3, e3) =							−1 x					dx =					5	−			1	=	5 . Тогда U =												3		3		3
						−															R												−																	3		3		5
																					R
												1			1				0											21					3			15												2		2		2
																																																		2		2		2
Далее, A =											−		21		−21				0 , U−1 = −323																		−	1615	. Значит, матрица
Далее, A =											−		21		−21				0 , U−1 = −323															3221			−	1615	. Значит, матрица
												2			2															32			−		32		−	16
											в базисе																										−458
											в базисе
								ϕ				1			−1				0										−1615 −1615												A U =
								ϕ											e1, e2, e3															B = U−							A U =
оператора																							имеет вид																1
оператора																							имеет вид
			21						3				15					1		1								8			4		2						1					11			1
= −32												−	16	−					2	−	2	0						3 3 3						= −							4		−		4	−2		.
= −32							32					−	16	−					2	−	2	0						3 3 3						= −							4		−		4	−2		.
			32			−		32				−	16					2		2		0						3 3 3											4					4			2
			3				21						15						1		1							4			8		2							11					1		1
	−					−16						− 8						1		−1		0																					−				0	. В случае
	−			16		−16						− 8						1		−1		0						3			3		5						2				−		2		0	. В случае
			15					15					45															2			2		2					15						15

Квадратная матрица C называется эрмитовой, åñëè C = C

вещественной матрицы C ее эрмитовость эквивалентна симметричности, т. е. C = CT . Квадратная матрица C называется унитарной, если CC = C C = E.

Отсюда следует, что унитарная матрица C невырождена, и C = C−1. Вещест-

венная унитарная матрица называется ортогональной.

Оператор ϕ : V → V называется самосопряженным, åñëè ϕ = ϕ.

Свойства самосопряженных операторов:

1) собственные значения самосопряженного оператора вещественны;

2) собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям самосопряженного оператора, ортогональны;

3) матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе эрмитова.

В комплексном или вещественном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов самосопряжен-

ного оператора ϕ, в котором матрица оператора диагональна, причем числа,

стоящие на главной диагонали этой матрицы, собственные значения оператора (спектральная теорема). Иными словами, жорданова нормальная форма матрицы самосопряженного оператора диагональна.

Оператор ϕ : V → V называется унитарным, åñëè ϕϕ = ϕ ϕ = E. Отсюда следует, что унитарный оператор обратим, и ϕ = ϕ−1. Унитарный

оператор в вещественном пространстве называется ортогональным. Свойства унитарных операторов:

1) собственные значения унитарного оператора по модулю равны 1; 2) определитель матрицы унитарного оператора в любом базисе по модулю

равен 1; 3) собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным

значениям ортогонального оператора, ортогональны; 4) матрица унитарного (ортогонального) оператора в ортонормированном

базисе унитарна (соответственно ортогональна);

5) унитарный оператор сохраняет длины векторов, т. е. |ϕx| = |x| для любого x V ;

6) унитарный оператор сохраняет скалярное произведение, т. е. (ϕx, ϕy) =

(x, y) для любых x, y V ;

7) ортонормированный базис переводится унитарным оператором в орто- нормированный, т. е. (ϕei, ϕej) = δij для ортонормированного базиса e1, . . . , en.

Свойства 4)-7) являются характеристическими для унитарных операторов. Спектральная теорема для унитарного оператора в комплексном евклидовом пространстве формулируется так же, как и для самосопряженного операто-

ра. Матрица ортогонального оператора в некотором ортонормированном базисе имеет канонический блочно-диагональный вид, где на ее главной диагонали

стоят либо числа	±	1, либо клетки вида T	α	=	cos α − sin α	!.
	±		α		sin α cos α	!.

Ортогональный оператор называется собственным, если определитель его матрицы равен 1, è несобственным, если он равен −1.

В пространстве R1 собственный ортогональный оператор тождествен- ный. В пространстве R2 собственный ортогональный оператор в ортонорми-

рованном базисе оператор поворота на некоторый угол α, т. е. оператор с матрицей Tα. В пространстве R3 собственный ортогональный оператор производит поворот пространства на некоторый угол α (угол поворота) вокруг

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Методические пособия

#
05.03.2016686.21 Кб16АиГ_1_Зыза.pdf
#
05.03.2016567.15 Кб59АиГ_2_Лиманский.pdf
#
05.03.2016199.05 Кб12СРС _Реутова.pdf