АиГ2015-2016 / Методические пособия / АиГ_2_Лиманский
.pdf21
III. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ МАТРИЦЫ
Понятия:
1)линейный оператор;
2)матрица линейного оператора;
3)алгебра линейных операторов;
4)ядро, образ, ранг линейного оператора;
5)инвариантные подпространства.
Факты:
1)определяемость линейного оператора образами базисных векторов;
2)теорема о размерности ядра и образа линейного оператора;
3)изоморфизм алгебры линейных операторов алгебре матриц;
4)преобразование матрицы оператора при переходе к новому базису;
5)инвариантность ядра и образа линейного оператора.
Пусть V линейное пространство над полем P . Функция ϕ : V → V
называется линейным оператором, åñëè ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) è ϕ(λa) = λϕ(a)
äëÿ âñåõ a, b V è λ P . (Часто вектор ϕ(x) записывают так: ϕx.) Линейный оператор ϕ полностью определяется заданием образов
ϕe1, . . . , ϕen векторов некоторого базиса e1, . . . , en пространства V . Этот факт позволяет сопоставить каждому оператору ϕ, заданному на конечномерном пространстве V с базисом e1, . . . , en, матрицу A = (aij)n×n, столбцы которой
координаты векторов ϕe1, . . . , ϕen в базисе e1, . . . , en, ò. å. ϕej = |
P |
in=1 aijei, |
||
j {1, . . . , n}. Матрица A называется матрицей линейного |
|
|
ϕ â |
|
|
оператора |
|
базисе e1, . . . , en.
Для линейных операторов на пространстве V операции определены так:
(ϕ + ψ)a = ϕa + ψa, (ϕψ)a = ϕ(ψa), (λϕ)a = λ(ϕa). Здесь ϕ, ψ линейные
операторы на V , a V , λ P . Таким образом, множество всех линейных
операторов на пространстве V образует алгебру над P .
Åñëè A è B матрицы операторов ϕ è ψ в базисе e1, . . . , en, то матрицы
операторов ϕ+ψ, ϕψ è λϕ в том же базисе будут A+B, AB, λA соответственно.
Поэтому взаимно однозначное соответствие, при котором данному оператору сопоставляется его матрица в фиксированном базисе, является изоморфизмом алгебры линейных операторов и алгебры матриц.
Åñëè a = |
in=1 xiei, ϕa = |
in=1 yiei, òî Y = AX. Здесь X è Y одностол- |
||
бцовые |
P |
P |
|
a è ϕa соответственно в базисе e1, . . . , en. |
|
матрицы координат векторов |
|
Пример 1. Пусть ϕ - линейный оператор в R2. Найдите его матрицу в базисе e1=(3; 4), e2=(1; 3), åñëè ϕ(x; x)=(2x; 3x), ϕ(x; 3x)=(x; −x), x R.
22
|
|
|
Ïðè x= 1 получаем ϕ(1; 1) = (2; 3) è ϕ(1; 3) = (1; −1). Òàê êàê (3; 4) = |
|||||
25 (1; 1) + 21 (1; 3), òî ϕe1 |
= ϕ(3; 4) = |
25 ϕ(1; 1) + 21 ϕ(1; 3) = 25 (2; 3) + 21 (1; −1) = |
||||||
|
112 |
; 7 ; ϕe2 = |
ϕ(1; 3) = (1; −1). Разлагая ϕe1 è ϕe2 по базису e1, e2, ïî- |
|||||
|
ϕe1 |
= 10 e1 − 5 e2, |
ϕe2 = 5 e1 |
− 5 e2. Таким образом, искомая матрица |
||||
лучим |
19 |
|
1 |
4 |
7 |
|||
|
|
|
|
|
||||
имеет вид |
19 |
|
4 |
|
|
|||
−51 |
−57 . |
|
||||||
|
|
|
|
10 |
|
5 |
|
|
|
|
|
Пример 2. Пусть ϕ - линейный оператор в R2, переводящий векторы |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
e1 |
= (1; 1) |
è e2 |
= (3; 2) |
в векторы f1 = (1; 4) è f2 = (2; 5) соответственно. |
Найдите, в какие векторы он переводит векторы стандартного базиса. |
|
|
Òàê êàê (1; 0) = −2e1 + e2 è (0; 1) = 3e1 − e2, òî ϕ(1; 0) = −2ϕe1 |
+ |
|
ϕe2 = −2f1 |
+ f2 = −2(1; 4) + (2; 5) = (0; −3); ϕ(0; 1) = 3ϕe1 − ϕe2 = 3f1 − f2 |
= |
3(1; 4) − (2; |
5) = (1; 7). |
|
Пример 3. Пусть ϕ : R2 → R2 - отображение, ϕ(x; y) = (3x+y; x−y).
Докажите, что ϕ - линейный оператор. Найдите его матрицу в базисе e1 =(4; 3), e2 =(1; 1).
Пусть a = (x1; y1), b = (x2; y2), тогда ϕ(a + b) = ϕ(x1 + x2; y1 + y2) =
(3(x1 + x2) + y1 + y2; x1 + x2 − (y1 + y2)) = (3x1 +3x2 +y1 +y2; |
x1 +x2 −y1 −y2). |
Далее, ϕa = (3x1 + y1; x1 − y1), ϕb = (3x2 + y2; x2 − y2); |
ϕa + ϕb = (3x1 + |
3x2 + y1 + y2; x1 + x2 −y1 −y2). Получим, что ϕ(a+ b) = ϕa+ ϕb. Кроме того,
ϕ(λa) = ϕ(λx1; λy1) = (3λx1 + λy1; λx1 − λy1) = λ(3x1 + y1; x1 − y1) = λϕa. Таким образом, - ϕ линейный оператор.
Имеем ϕe1 = ϕ(4; 3) = (15; 1), ϕe2 = (4; 0). Разлагая ϕe1 è ϕe2 ïî áà- çèñó e1, e2, получим ϕe1 = 14e1 − 41e2, ϕe2 = 4e1 − 12e2. Таким образом,
матрица оператора ϕ в базисе e1, e2 имеет вид |
−41 |
−12 . |
|
14 |
4 |
Пусть в конечномерном линейном пространстве V заданы два базиса
e1, . . . , en è f1, . . . , fn. Если A и B матрицы оператора ϕ в базисах e1, . . . , en è f1, . . . , fn соответственно, C матрица перехода от первого базиса ко второму,
òî B = C−1AC.
Пример 4. Для оператора ϕ : R3 → R3 справедливы равенства ϕf1 = f1, ϕf2 = 2f2, ϕf3 = 3f3; f1 = (1; 2; 3), f2 = (1; 1; 1), f3 = (1; 3; 6). Найдите матрицу этого оператора в стандартном базисе.
Т. к. определитель, составленный из координат векторов (1; 2; 3), (1; 1; 1) и (1; 3; 6), отличен от нуля, то эти векторы - базис R3. Матрица
B |
|
ϕ |
|
B = |
0 |
0 |
3!. Матрица перехода |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
оператора |
|
в этом базисе имеет вид |
|
0 |
2 |
0 |
23
C |
|
f1, f2, f3 |
|
C = |
3 |
1 |
6!. |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
от стандартного базиса к базису |
|
имеет вид |
|
2 |
1 |
3 |
Тогда матрица A оператора ϕ в стандартном базисе определяется из
соотношения B = C−1AC, ò. å. A = CBC−1 = |
9 |
−14 |
7 |
!. |
|
6 |
−7 |
3 |
|
|
15 |
−27 |
14 |
|
Ядро Ker ϕ линейного оператора ϕ состоит из тех векторов пространства V , которые переводятся оператором ϕ в нулевой вектор, т. е. Ker ϕ = {a V : ϕa = 0}. Образ Im ϕ линейного оператора ϕ совпадает с областью значений оператора ϕ как функции, т. е. a Im ϕ тогда и только тогда, когда существует вектор b V , такой что ϕb = a.
Для конечномерного пространства V справедливо равенство
dim Ker ϕ + dim Im ϕ = dim V.
|
Пример 5. Найдите ядро и образ линейного оператора ϕ â |
|
||||||||||||
|
|
|
|
y + z; z) = (2x + y + z; −x − y; |
|
|||||||||
пространстве R3, |
ϕ(x + y + z; |
x + z). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+y+z =0 |
|
|
Рассмотрим однородную систему линейных уравнений 2x−x−y =0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+z =0 |
|
Найдем фундаментальную систему ее решений - базис Ker ϕ: |
|
|
||||||||||||
|
−1 −1 |
0 0! |
2 |
|
1 1 |
0! |
0 |
−1 |
1 |
0!. |
|
|
||
2 |
1 |
1 0 |
−1 |
−1 0 0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
||||
1 |
0 |
1 0 |
1 |
|
0 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базис Ker ϕ состоит из вектора ( |
|
1; 1; 1), |
ò.å. Ker ϕ= |
( |
c1; c1 |
; c1), c1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
{ − |
|
R} |
|
|
Полагая сначала x = 1, |
y = 0, z = 0, затем x = 0, |
y = 1, z = 0 è |
x = 0, y = 0, z = 1, найдем, что ϕ(1; 0; 0) = (2; −1; 1), ϕ(1; 1; 0) = (1; −1; 0),
ϕ(1; 1; 1) = (1; 0; 1). Так как определитель, составленный из координат векторов (1; 0; 0), (1; 1; 0) и (1; 1; 1), отличен от нуля, то эти векторы - базис R3. Тогда Im ϕ - линейная оболочка векторов (2; −1; 1), (1; −1; 0) и (1; 0; 1). Составим матрицу из этих векторов и приведем ее к ступенчатому виду:
1 |
0 |
1! |
|
1 |
0 |
1! |
|
0 |
0 |
0! |
2 |
−1 |
1 |
|
1 |
−1 |
0 |
|
1 |
−1 |
0 |
1 |
−1 |
0 |
|
2 |
−1 |
1 |
|
0 |
1 |
1 . |
Получим, что векторы f1 = (1; −1; 0) è f2 = (0; 1; 1) будут базисом Im ϕ, т. е. Im ϕ = {(c1; −c1 + c2; c2), c1, c2 R}.
Пример 6. Оператор ϕ задан на пространстве многочленов над R степени не выше 3: (ϕf)(x) = f0(x) + f00(x). Найдите его ядро и образ.
ßäðî Ker ϕ составляют те многочлены f(x) = ax2 +bx+c, для которых f0(x) + f00(x) = 0. Òàê êàê f0(x) + f00(x) = 2ax + b + 2a, имеем тождество
24
2ax+2a+b ≡ 0, откуда 2a = 0, 2a+b = 0, ò. å. a = b = 0. Таким образом, Ker ϕ состоит из многочленов вида f(x) = c, c R.
Образ Im ϕ - это линейная оболочка многочленов ϕ(1) = 0, ϕ(x) = 1, ϕ(x2) = 2x + 2. Сопоставляя каждому многочлену строку его коэффицие-
|
1, x, x |
|
2 |
2 |
0! |
èç |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
нтов (в стандартном базисе |
|
2), составим матрицу |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
строк, соответствующих |
многочленам ϕ(1), ϕ(x) è ϕ(x2). Приводя эту |
|||
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
матрицу к ступенчатому |
виду, получим матрицу |
0 |
0 |
0!. Ненулевым ее |
строчкам соответствуют |
многочлены 1 è x. Значит, Im ϕ - линейная |
оболочка многочленов 1 и x, т. е. Im ϕ состоит из многочленов вида f(x) = c1 + c2x, c1, c2 R.
Если линейный оператор ϕ : V → V взаимно однозначен (как функция), то он называется обратимым. Оператор ϕ обратим в точности тогда, когда Ker ϕ = {0} и Im ϕ = V . В конечномерном пространстве достаточно любого
из этих условий (второе будет из него следовать). Если линейный оператор ϕ взаимно однозначен, то отображение ϕ−1 : V → V будет линейным оператором,
обратным ê ϕ. Его матрица в некотором базисе (в конечномерном случае)
будет обратной к матрице оператора ϕ в том же базисе. Поэтому оператор ϕ
в конечномерном пространстве обратим в точности тогда, когда его матрица невырождена в некотором (а, значит, и в произвольном) базисе.
Подпространство U линейного пространства называется инвариантным относительно линейного оператора ϕ, если ϕ(U) U. Здесь ϕ(U) множество
образов векторов из U при действии оператором ϕ.
Несобственными (тривиальными) инвариантными подпространствами относительно любого оператора ϕ : V → V являются {0} и V . Также подпрос-
транствами, инвариантными относительно оператора ϕ, являются его ядро и образ.
25
Индивидуальное задание
Задача 1. Пусть ϕ линейный оператор в R2. Найдите его матрицу в базисе
e1, e2.
|
|
ϕ |
e1 |
e2 |
|
|
|
|
|
1 |
(x; 0) 7→(x; 2x) |
(x; x) 7→(3x; x) |
(1; 2) |
(2; 1) |
2 |
(x; x) 7→(x; −x) |
(x; −x) 7→(2x; x) |
(2; 3) |
(1; 2) |
3 |
(x; 2x) 7→(x; x) |
(x; −x) 7→(x; 0) |
(2; 1) |
(1; 1) |
4 |
(0; x) 7→(x; x) |
(x; x) 7→(x; 0) |
(1; 1) |
(1; 3) |
5 |
(0; −x) 7→(x; 0) |
(x; −x) 7→(x; 3x) |
(1; 2) |
(3; 1) |
6 |
(x; 2x) 7→(x; 0) |
(2x; x) 7→(0; x) |
(2; 1) |
(3; 1) |
7 |
(0; x) 7→(x; 2x) |
(x; x) 7→(x; 3x) |
(1; 2) |
(2; 1) |
8 |
(x; x) 7→(−x; x) |
(−x; x) 7→(x; −2x) |
(3; 2) |
(1; 2) |
9 |
(2x; x) 7→(x; −x) |
(x; x) 7→(0; x) |
(1; 2) |
(1; 1) |
10 |
(x; 0) 7→(x; x) |
(x; −x) 7→(0; x) |
(1; −1) |
(3; 1) |
11 |
(−x; 0) 7→(0; x) |
(−x; x) 7→(3x; x) |
(2; 1) |
(3; −1) |
12 |
(2x; x) 7→(0; x) |
(x; 2x) 7→(−x; 0) |
(1; 2) |
(−3; 1) |
Задача 2. Пусть ϕ линейный оператор в R2, переводящий векторы e1, e2 â
векторы f1, f2 соответственно. Найдите, в какие векторы он переводит векторы стандартного базиса.
|
|
e1 |
e2 |
f1 |
f2 |
|
|
e1 |
e2 |
f1 |
f2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
(1; 2) |
(1; 3) |
(3; 1) |
(3; 2) |
|
7 |
(2; 3) |
(1; 1) |
(2; 5) |
(3; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
(1; 4) |
(1; 3) |
(2; 2) |
(1; 2) |
|
8 |
(3; 4) |
(1; 1) |
(1; 1) |
(2; 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
(3; 1) |
(5; 2) |
(1; 0) |
(0; 1) |
|
9 |
(2; 4) |
(1; 1) |
(1; 1) |
(1; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
(2; 1) |
(3; 1) |
(1; 3) |
(2; 3) |
|
10 |
(3; 2) |
(1; 1) |
(5; 2) |
(3; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
(4; 1) |
(1; 3) |
(2; 2) |
(2; 1) |
|
11 |
(4; 3) |
(1; 1) |
(1; 1) |
(3; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
(1; 3) |
(2; 5) |
(2; 3) |
(1; 1) |
|
12 |
(4; 2) |
(1; 1) |
(2; 1) |
(1; 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Пусть ϕ : R2 → R2 отображение. Докажите, что ϕ линейный оператор. Найдите его матрицу в базисе e1, e2.
|
ϕ |
e1 |
e2 |
|
ϕ |
e1 |
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(x; y)7→(x+2y; −x+y) |
(2; 1) |
(1; 2) |
7 |
(x; y)7→(x+3y; x+y) |
(1; 1) |
(0; 1) |
2 |
(x; y)7→(2x+3y; x+2y) |
(1; 2) |
(1; 1) |
8 |
(x; y)7→(x+y; x+4y) |
(2; 1) |
(1; 1) |
3 |
(x; y)7→(x+5y; 2x+2y) |
(3; 4) |
(2; 3) |
9 |
(x; y)7→(x+y; y) |
(2; 3) |
(1; 2) |
4 |
(x; y)7→(x+y; 2x+y) |
(1; 2) |
(2; 1) |
10 |
(x; y)7→(3x+y; x+y) |
(0; 1) |
(1; 1) |
5 |
(x; y)7→(3x+2y; 2x+y) |
(2; 1) |
(1; 1) |
11 |
(x; y)7→(x+y; 4x+y) |
(1; 2) |
(1; 1) |
6 |
(x; y)7→(2x+2y; x) |
(3; 2) |
(2; 1) |
12 |
(x; y)7→(5x+y; x+y) |
(4; 3) |
(3; 2) |
26
Задача 4. Для оператора ϕ : R3 → R3 справедливы равенства ϕfj = λjfj, j = 1, 2, 3. Найдите матрицу этого оператора в стандартном базисе.
|
|
|
|
|
|
f1 |
(1; 1; 2) |
(1; 0; −1) |
(0; 1; 2) |
(1; −2; −2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
(2; 2; 3) |
(0; 1; 1) |
(1; 2; 3) |
(−1; 1; 3) |
|
|
|
|
|
λ1 |
λ2 |
λ3 |
f3 |
(1; 2; 2) |
(−1; 2; 2) |
(2; 2; 3) |
(−1; 1; 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
1 |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
2 |
2 |
3 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 5. Найдите ядро и образ линейного оператора ϕ в пространстве R3. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
(x+y; y+z; x+z) 7→(2x+y+z; x; x+2y+2z) |
|
||||||||
|
2 |
|
(x−y; y; y+z) 7→(x−2y+z; −2x+y+z; x+y−2z) |
|
||||||||
|
3 |
|
(x−y; y−z; x+z) 7→(x+2y+3z; −x−2y−3z; 2x+4y+6z) |
|
||||||||
|
4 |
|
(x; x+y; x+y+z) 7→(x−y; y−z; z−x) |
|
|
|
||||||
|
5 |
|
(x+y; y; x+z) 7→(x+y−z; x+z; 2x+y) |
|
|
|
||||||
|
6 |
|
(x+y+z; y+z; z) 7→(x+y+z; −x+y; −2y−z) |
|
||||||||
|
7 |
|
(y; x−y; y+z) 7→(−2x+y+z; x−2y+z; x+y−2z) |
|
||||||||
|
8 |
|
(y+z; x+z; x+y) 7→(−x; 2x+y+z; x+2y+2z) |
|
||||||||
|
9 |
|
(y−z; x+z; x−y) 7→(x+2y+3z; x+2y+3z; 2x+4y+6z) |
|
||||||||
|
10 |
|
(x+y; −x; x+y+z) 7→(z−x; y−z; x−y) |
|
|
|
||||||
|
11 |
|
(y; x+z; x+y) 7→(x+z; x+y−z; 2x+y) |
|
|
|
||||||
|
12 |
|
(z; x+y+z; y+z) 7→(x−y; x+y+z; 2y+z) |
|
|
|
Задача 6. Оператор ϕ задан на пространстве многочленов над R степени не выше 3. Найдите его ядро и образ.
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
f(x) |
f(x)+f( |
− |
x) |
5 |
f(x) |
f(x) |
− |
f( x) |
|
9 |
f(x) |
f00(x) |
|
|
||||||||
|
|
7→ |
|
|
|
|
|
|
|
7→ |
− |
|
|
|
7→ |
|
|
|
|
||||
2 |
f(x) |
f(x+1) |
− |
f(x) |
6 |
f(x) |
f(x) |
− |
xf0 |
(x) |
|
10 |
f(x) |
f(x) |
− |
f(0) |
|||||||
|
|
7→ |
|
|
|
|
|
|
|
7→ |
|
|
|
|
|
7→ |
|
|
|
||||
3 |
f(x) |
f(x) |
− |
x2f00(x) |
7 |
f(x) |
f(x) |
− |
xf0 |
(0) |
|
11 |
f(x) |
xf00 |
(0) |
|
|||||||
|
|
7→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
7→ |
|
|
|
|
|
7→ |
|
|
|
|
||
4 |
f(x) |
f0 |
(x+1) |
|
|
|
8 |
f(x) |
xf0(x)+f00(0) |
|
12 |
f(x) |
f(x) |
− |
f0 |
(x) |
|||||||
|
|
7→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7→ |
|
|
|
|
|
|
7→ |
|
|
|
27
Литература по теории
[1: ãë. 5, 1,2], [2: ãë. 1, 9, 10]
Номера практических заданий
[6: 1434-1462]
Вопросы для самопроверки
1)Всегда ли линейный оператор переводит линейно независимые векторы в линейно независимые?
2)Тот же вопрос для линейно зависимых векторов.
3)Что представляют собой ядро и образ тождественного и нулевого операторов?
4)Как изменится матрица линейного оператора в данном базисе, если два базисных вектора поменять местами?
5)Пусть оператор в некотором базисе задан невырожденной матрицей. Может ли в другом базисе матрица этого оператора быть вырожденной?
6)Верно ли, что пространство V , в котором действует оператор, является прямой суммой ядра и образа этого оператора?
7)Верно ли, что линейный оператор нулевой вектор переводит в нулевой?
8)Пусть ϕ è ψ операторы, причем ϕψ = 0. Всегда ли из этого следует равенство ψϕ = 0?
9)Какова размерность пространства всех линейных операторов в n мерном пространстве?
10)Опишите все линейные операторы в одномерном пространстве.
11) Какие включения справедливы: Ker ϕ Ker ϕ2, Ker ϕ Ker ϕ2, Im ϕ
Im ϕ2, Im ϕ Im ϕ2?
12)Всегда ли оператор, действующий в вещественном пространстве V , обладает инвариантными подпространствами, отличными от {0} è V ?
Дополнительные задачи
1)Пусть ϕ оператор дифференцирования, ψ оператор умножения на x в пространстве всех многочленов от x íàä R. Докажите, что ϕψn −ψnϕ =
nψn−1.
2) Докажите, что если U подпространство, ϕ линейный оператор, то
dim ϕ(U) 6 dim U.
3)Докажите, что всякое подпространство является: а) ядром; б) образом некоторого линейного оператора.
28
4)Докажите, что два линейных оператора, образы которых различны, являются линейно независимыми.
5)В пространстве Mn многочленов степени 6 n постройте два различных
линейных оператора, совпадающих на подпространстве Mn−1 с операто- ром дифференцирования.
6)Докажите, что если оператор ϕ в пространстве V íàä R удовлетворяет условию ϕ2 = ϕ, òî V = Ker ϕ Im ϕ.
7)Докажите, что для любого оператора ϕ в конечномерном пространстве
Vнайдется номер k такой, что Ker ϕk = Ker ϕk+1 = Ker ϕk+2 = . . . .
8)Докажите, что для линейного оператора ϕ в конечномерном пространстве
Vсправедливо, что V = Ker ϕn Im ϕn для некоторого натурального n
(лемма Фиттинга).
9)Докажите, что для оператора ϕ : V → V выполнено ϕ2 = ϕ в точности тогда, когда ϕ проектор, т. е. когда V = Ker(ϕ − E) Ker ϕ.
10)Докажите, что для оператора ϕ : V → V выполнено ϕ2 = E в точности тогда, когда ϕ отражение, т. е. когда V = Ker(ϕ − E) Ker(ϕ + E).
11)Пусть ϕ оператор сдвига в пространстве C[−1, 1]. ò. å. ϕ : f(x) 7→
f(x − a). Докажите, что L(sin x, cos x) инвариантное подпространство
относительно ϕ.
12)Пусть пространство V прямая сумма m подпространств U1, . . . , Um, инвариантных относительно оператора ϕ. Докажите, что матрица опера-
òîðà ϕ в некотором базисе является блочно диагональной, т. е. имеет вид
B1 ... |
, ãäå B1, . . . , Bm квадратные матрицы, а все невыписан- |
|
|
Bm
ные элементы равны нулю.
29
IV. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Понятия:
1)собственные значения, собственные векторы, спектр оператора;
2)характеристический многочлен и характеристическое уравнение;
3)диагонализуемость оператора;
4)жорданова клетка;
5)жорданова нормальная форма матрицы, канонический (жорданов) базис.
Факты:
1)свойства собственных значений и собственных векторов оператора;
2)теорема Гамильтона Кэли;
3)критерий диагонализуемости оператора;
4)приведение матрицы оператора к жордановой нормальной форме.
Пусть ϕ линейный оператор в линейном пространстве V над полем P . Число λ P называется собственным значением оператора ϕ, åñëè ϕv = λv для некоторого ненулевого вектора v V . При этом вектор v называется
собственным вектором оператора ϕ, отвечающим собственному значению λ.
Совокупность собственных значений оператора в конечномерном пространстве называется спектром этого оператора.
Пример 1. В геометрическом трехмерном пространстве с ортонормированным базисом e1, e2, e3 задан линейный оператор ϕ ортогонального проектирования на плоскость (e1, e2). Найдите его собственные значения и собственные векторы.
Ненулевой вектор v является собственным для оператора ϕ â
точности тогда, когда векторы v è ϕv коллинеарны. Так как ϕv -
ортогональная проекция вектора v на плоскость (e1, e2), то равенство ϕv = λv возможно в двух случаях:
1) вектор v лежит в плоскости проектирования. В этом случае ϕv = v, откуда λ = 1 è v = c1e1 + c2e2, ãäå c21 + c22 6= 0;
2) вектор v ортогонален плоскости проектирования. В этом случае ϕv = 0, откуда λ = 0 è v = c3e3, ãäå c3 6= 0.
Таким образом, оператор ϕ имеет два собственных значения 1 è 0.
Собственные векторы, отвечающие первому собственному значению, имеют вид c1e1 + c2e2, c21 + c22 6= 0, а собственные векторы, отвечающие второму собственному значению, имеют вид c3e3, c3 6= 0.
Если пространство V конечномерно и A матрица оператора ϕ в некотором его базисе, то многочлен fϕ(λ) := det(A−λE) не зависит от выбора базиса и
30
называется характеристическим многочленом оператора ϕ. Уравнение fϕ(λ) =
0 называется характеристическим уравнением линейного оператора ϕ. Свойства собственных значений и собственных векторов:
1) линейный оператор в конечномерном пространстве над C имеет хотя бы
одно собственное значение и, значит, существует одномерное подпространство, инвариантное относительно этого оператора;
2) число λ0 является собственным значением оператора ϕ в точности тогда, когда fϕ(λ0) = 0;
3) собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.
Координаты собственных векторов оператора, отвечающих собственному
значению λ0, в базисе, в котором задана матрица A этого оператора, могут быть найдены как нетривиальные решения однородной системы линейных уравнений
с вырожденной матрицей (A − λ0E).
|
|
|
Пример 2. Пусть ϕ - линейный оператор в пространстве V íàä R ñ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
базисом a, b, |
ϕ(a + b) = a + b, ϕ(a − b) = b. Найдите его собственные зна- |
|||||||||||||||||||
чения и собственные векторы. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Найдем сначала матрицу A оператора ϕ в базисе a, b. Òàê êàê |
|||||||||||||||||
ϕa+ϕb = a+b |
|
|
ϕa−ϕb = b, то, решая эту систему |
|
|
1 |
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
относительно векторов |
||||
ϕa è ϕb, получим ϕa = 2 a + b, ϕb = 2 a, ò. å. A = |
1 |
0 . Составим |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
è1 |
решим |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ. Имеем: det(A−λE) = |
|||||||
|
|
|
|
характеристическое уравнение оператора |
|
|
− |
|
|
|||||||||||
значения оператора |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
− λ |
2 |
|
= 0, λ2 |
1 |
λ |
− |
1 = 0. Значит, λ1 = 1 è λ2 = |
|
1 |
- собственные |
||||||||
|
1 |
− |
λ |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения |
собственных векторов, отвечающих собственным значе- |
íèÿì λi, найдем фундаментальные системы решений однородных систем с ма-
трицами |
1A−1λiE. Для первого собственного значения имеем: A−λ1E = A− |
||||||
|
1 |
−1 |
|
0 |
0 |
|
|
E = |
− |
2 |
2 |
|
1 |
−1 |
. ФСР этой системы образует вектор f1 = (1; 1). |
Т.е. множество собственных векторов, отвечающих собственному значению
λ = 1, имеет вид (c1; c1) = c1(a + b), ãäå c116= 0. Äëÿ |
1второго собственного |
|||||
значения имеем: A − λ2E = A + 2 E = |
1 |
21 |
|
|
0 |
0 . ФСР этой системы |
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
образует вектор f2 = (2; −1). Т. е. множество собственных векторов, отвечающих собственному значению λ = −12 , имеет вид (2c2; −c2) = c2(2a − b), ãäå c2 6= 0.
Характеристический многочлен fϕ(λ) оператора ϕ в конечномерном пространстве V аннулирует матрицу A этого оператора в произвольном базисе, т. е. fϕ(A) = O (теорема Гамильтона Кэли). Коэффициенты многочлена