Приклад к-1

Рух точки відбувається в площині і заданий параметричними рівняннями:

(1)

Визначити:

1. Рівняння траєкторії руху точки. Зобразити траєкторію на рисунку.

2. Положення точки на траєкторії в момент часу і.

3. Швидкість точки в момент часу .

4. Прискорення точки в момент часу .

5. Дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу .

6. Радіус кривизни траєкторії точки в момент часу .

Усі знайдені величини зобразити на рисунку в масштабі.

Розв’язування.

1. Для визначення рівняння траєкторії точки виключимо параметр із рівнянь руху (1). Ураховуючи, що часвходить в аргумент тригонометричних функцій, скористаємося формулою:

, тобто (2)

З рівнянь руху знаходимо вирази відповідних функцій і підставляємо в рівність (2)

чи (3)

Рівняння параболи (3) є рівнянням траєкторії руху точки. Враховуючи , що

-1та -1, маємо обмеження для та :

-1та -2, тобто траєкторією руху точки є частина параболи. Побудуємо траєкторію точки на рисунку К1.а з масштабним коефіцієнтом.

2. Визначимо початкове положення точки і положення точки в момент часу на траєкторії. Для цього підставимо в рівняння (1) часі. Отримаємо:

(4)

(5)

Таким чином (1;-2) , а(1,77; -1,41). Покажемо ці точки на траєкторії (рис.К1.а).

3. Визначимо швидкість точки. Проекції швидкості в довільний момент часу дорівнюють:

(6)

В момент часу

Модуль швидкості для моменту :

.

Побудуємо вектор швидкості точкипо його складовим

, , деів масштабі(рис.К1.а).

4. Визначимо прискорення точки. Проекції прискорення в довільний момент часу дорівнюють:

(7)

У момент часу одержимо:

Модуль прискорення точки :

Вектор повного прискорення точкипобудуємо по його складових, деів масштабі(рис.К1.б).

5. Визначимо дотичне і нормальне прискорення точки в момент часу , використовуючи формули :

Побудуємо вектор повного прискорення точкипо проекціяхі(рис.К1.б). Для зображення векторів використовуємо той же масштаб, тобтоЗначення дотичного прискореннявиявилося додатнім, тому відкладаємо його по осі М(дотичної до траєкторії) у напрямку вектора швидкості. Вектор нормального прискореннянаправимо перпендикулярно до осі Мпо нормалі М(вбік увігнутості траєкторії).

Збіг векторів повного прискорення при вирішенні задачі в нерухомій системі координат Оxy і рухомій системі координат Мговорить про правильність результату.

6. Радіус кривизни траєкторії в точці визначимо по формулі:

В

1. Рівняння траєкторії

2. Положення точок (1;-2) ;(1,77; -1,41).

3. Швидкість точки при

4. Прискорення точки при

5. Дотичне та нормальне прискорення і.

6. Радіус кривизни траєкторії при

ідповідь.

Завдання к-2. Кінематика простих рухів тіл

Умова завдання. Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.0 – К2.9, табл.К2). Колеса пов'язані між собою зубчастою або пасовою передачею; рейка знаходиться у зубчастім зачепленні з одним із коліс; а вантаж прикріплений до нитки, яка намотана на колесо. При русі механізму відносне ковзання його елементів не відбувається, а пас і нитка вважаються нерозтяжними.

Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і; у колеса 2 -і; у колеса 3 -і. На ободах коліс розташовані точкиі.

У стовпці «Дано» табл.К2 зазначений закон руху ведучої ланки механізму. Додатний напрямок для кута - проти руху годинникової стрілки; для відстані- униз ;- виражено врад, - усм, час - усек.

Визначити. В момент часу визначити указані в стовпцях «Знайти» швидкості та прискорення відповідних тіл і точок тіл. Знайдені величини показати на рисунку.

Табл.К2

Номер рядка даних	Дано	Знайти
		Швидкості	Прискорення
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Теоретичне обґрунтування : [4] §.48-51, [5] Разд.II, гл. 2,§ 1-3, [6] Разд.2, гл. X ,§ 78-84; [7]; [8].

Методичні вказівки. Задача К-2 – на дослідження простих видів руху твердого тіла (поступального й обертального).

Варто розрізняти кінематичні характеристики твердих тіл і кінематичні характеристики окремих точок цих тіл.

При поступальному русі тіла

Кінематичні характеристики тіла – лінійна швидкість тіла і лінійне прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла - швидкість точки і прискорення точки.

Закон руху тіла задається рівнянням руху однієї з його точок . Швидкість тіла -. Прискорення тіла -.

Кінематичні характеристики тіла й окремих точок тіла збігаються.

При обертальному русі тіла навколо нерухомої осі

Кінематичні характеристики тіла – кутова швидкість тіла і кутове прискорення тіла. Кінематичні характеристики точки тіла – лінійна швидкість точки і лінійне прискорення точки.

Закон обертального руху тіла задається залежністю кута повороту від часу: . Кутова швидкість -. Якщо алгебраїчне значення,то напрямізбігається; якщо, то вони спрямовані протилежно. Кутове прискорення -. Якщоімають однакові знаки , то рух прискорений, якщо різні – сповільнений.

Швидкість довільної точки тіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, визначається за формулою, де- відстань від точкидо осі обертання. Векторшвидкості точкилежить у площині, перпендикулярній осі обертання і спрямований по дотичній до траєкторії руху точки, тобто, за напрямком кутової швидкості.

Вектор прискорення довільної точкитіла, якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, дорівнює геометричній сумі обертального(дотичного) і доцентрового(нормального) прискорень, тобто, деі. Вектор, збігається за напрямком зі швидкістю, якщо рух прискорений, або спрямований протилежно, якщо рух сповільнений. Векторлежить у площині, перпендикулярній осі обертання і завжди спрямований до осі обертання.

Модуль прискорення точки визначається за формулою .

Приклад К-2

Механізм складається зі ступінчастих коліс 1-3, зубчастої рейки 4 і вантажу 5 (рис.К2.а). Колеса 1 і 2 пов'язані між собою пасовою передачею; колеса 2 і 3 – зубчастою передачею; рейка 4 знаходиться в зубчастім зачепленні із колесом 1; а вантаж 5 прикріплений до нитки, яка намотана на колесо 3. Пас і нитка нерозтяжні. При русі механізму відносне ковзання елементів не відбувається.

Радіуси зовнішніх та внутрішніх ободів (ступіней) коліс дорівнюють відповідно: у колеса 1 - і; у колеса 2 -і; у колеса 3 -і.

Рейка рухається за законом. Вісьспрямована вертикально вниз. Точканалежить зовнішньому ободу колеса 3.

Визначити швидкості та прискорення всіх тіл і точки в момент часу. Усі знайдені величини зобразити на рисунку.

Розв’язування.

Механізм (рис.К2.а) є механічною системою з одним ступенем вільності. Тобто рух кожного з елементів пов’язаний з рухом інших елементів жорсткими кінематичними співвідношеннями. Тому, якщо рух одного з тіл задається, кінематичні характеристики інших тіл і їх точок фактично є визначеними. В умові даної задачі задається рух рейки 4.

1. Визначимо швидкості тіл механізму.

Знаючи закон поступального руху рейки 4, знайдемо її швидкість

. При .

Знак « - » указує на те, що в даний момент часу вектор швидкості спрямований протилежно додатному напрямку осі, тобто вгору (рис.К2.б).

Рейка 4 контактує без ковзання з внутрішнім ободом колеса 1. Враховуючи це, отримаємо рівняння зв’язку рухів тіл 1 і 4:

. При одержимо.

Напрямок кутової швидкості залежить від напрямку швидкості рейки. У даному випадкуспрямована проти руху годинникової стрілки.

Колеса 1 і 2 з'єднуються зворотною пасовою передачею по зовнішньому ободу колеса 1 (радіус ) і внутрішньомуободу колеса 2 (радіус ) .

Швидкість точок паса і швидкість точок коліс по зазначених радіусах однакова і дорівнює:

. Звідси маємо .

При зворотній (перехресної) пасовій передачі напрямок обертання коліс 1 і 2 протилежний. Тому кутова швидкість спрямована за рухом годинникової стрілки.

Колеса 2 і 3 зв'язані між собою зубчастим зачепленням по зовнішніх радіусах коліс. Тому спільна для обох коліс точка контакту має швидкість:

. Звідси маємо .

При зовнішнім зачепленні напрямок обертання коліс протилежний, тобто колесо 3 обертається проти руху годинникової стрілки.

Вантаж 5 зв'язаний з колесом 3 за допомогою нерозтяжної нитки, намотаної на внутрішній обід колеса. У цьому випадку спільною точкою зв’язку рухів тіл 5 і 3 є точка дотику колеса й нитки, яка має таку ж швидкість як вантаж, тобто:

. У момент часу маємо.

Напрямок руху вантажу визначається напрямком обертання колеса 3, тобто вантаж має швидкість , спрямовану вниз.

2. Визначимо швидкість точки колеса 3 в момент часу.

Точка належить колесу 3, яке обертається з кутовою швидкістюі розташована на відстанівід осі його обертання. Тому її швидкість :

. При одержимо.

Вектор спрямований по дотичній до обода вбік обертання колеса 3 (рис.К2.б).

3. Визначимо прискорення тіл.

Знаючи закон руху рейки, визначимо її прискорення:

і при .

Маємо> 0, тому векторспрямований у напрямку осі, тобто вниз (рис.К2.в).

Кутове прискорення колеса 1 залежить від дотичного прискорення точки з'єднання з рейкою, що збігається з прискоренням .

Таким чином маємо:

. При

Якщо вектор спрямований вниз, то напрямок- за рухом годинникової стрілки.

Точки з'єднання коліс 1 і 2 мають однакові дотичні прискорення. Тому справедливо: .

Тоді при .

Кутове прискорення спрямоване протилежно пришвидшенню, тобто проти руху годинникової стрілки.

За аналогією можна записати , тобто примаємо

. Напрямок прискорення протилежний, тобто за рухом годинникової стрілки.

Прискорення вантажу 5 :

Вектор спрямований вгору.

4. Визначення прискорення точки .

Точка належить колесу 3, яке обертається з кутовою швидкістюі з кутовим прискоренням. Відстань точкивід осі обертання -.

Модуль прискорення точки визначимо за формулою:

Дотичне прискорення точки :

Вектор прикладений у точціі спрямований по дотичній до обода колеса 3 у напрямку кутового прискорення.

Нормальне прискорення точки :

Вектор прикладений у точціі спрямований до осі обертання колеса 3.

Таким чином : .

Напрямок повного прискорення точки визначається векторною сумою векторіві(рис.К2.в).

Кінематичні характеристики тіл 1-5 і точки :

1. Колесо 1 - ;

2. Колесо 2 - ;

3. Колесо 3 - ;

4. Рейка 4 - ;

5. Вантаж 5 - ;

6. Точка -

Напрямок векторів швидкостей і прискорень – рис.К2,б,в.

Відповідь.