Розфарбовуванням простого графа G називають таке приписування кольорів (або натуральних чисел) його вершинам, що ніякі дві суміжні вершини не набувають однакового кольору. Найменшу можливу кількість кольорів у розфарбуванні називають хроматичним числом і позначають (G) . Очевидно, що існує розфарбування графа G в k кольорів (k-розфарбувашія) для будь-якого k в діапазоні (G) k n, де n — кількість вершин графа. Множину вершин,
розфарбованих в один колір, називають одноколірним класом. Такі класи утворюють незалежні множний вершин, тобто ніякі дві вершини в одноколірному класі не суміжні.
Розфарбуємо утворений граф:
V3(2)
V1(1) |
V4(1) |
V2 (2)
|
Отже, хроматичне число даного графа (G) 2. |
|
|
||||
Завдання 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
Деревом називають зв'язний граф без простих |
|||
0 |
|
|
циклів. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.1. Певну вершину дерева означають як корінь. |
|||
1 |
|
b |
|
c |
Тоді можна природно приписати напрямок |
||
|
|
|
кожному ребру. Оскільки існує єдиний |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
простий шлях від кореня до кожної |
||
|
|
|
|
|
вершини графа, то можна орієнтувати |
||
2 |
d |
e |
f |
|
g кожне ребро в напрямку від кореня. |
||
|
|
|
|
|
Отже, дерево разом із виділеним |
||
|
|
|
|
|
коренем утворює орієнтований граф, |
||
|
|
|
|
|
який |
називають |
кореневим |
3 i |
j k |
l |
m деревом. Різні способи вибору |
||||
|
|
|
кореня дають змогу утворити різні |
||||
|
|
|
кореневі дерева. |
|
|
||
4 n |
o |
p |
q |
Нехай Т |
— |
кореневе |
|
дерево. Якщо |
v |
— його |
|||||
|
|
|
|
||||
вершина, відмінна від кореня, то її батьком називають єдину вершину u таку, що є орієнтоване ребро u,v . Якщо u — батько, то v — син. Аналогічно за
генеалогічною термінологією можна означити інших предків і нащадків вершини v. Вершини дерева, які не мають синів, називають листками. Вершини, які мають синів, називають внутрішніми.
Тоді для поданого дерева:
- |
Корінь: |
а; |
- |
Батьки: |
b,c,d,e, g, j,m. |
- |
Сини: |
b,c,d,e, f , g,i, j,k,l,m,n,o, p, g. |
- |
Листки: |
f ,i,k,l,n,o, p,q. |
-Внутршні вершини: a,b,c,d,e, g, j,m.
2.2.Рівнем вершини v в кореневому дереві називають довжину простого шляху від кореня до цієї вершини (цей шлях, очевидно, єдиний). Рівень кореня вважають нульовим. Висотою кореневого дерева називають максимальний із рівнів його вершин. Інакше кажучи, висота кореневого дерева — це довжина найдовшого простого шляху від кореня до будь-якої вершини.
Запишемо рівень кожної вершини даного дерева:
h(a) 0; |
h(b) 1; |
h(c) 1; |
h(d) 2; |
h(e) 2; |
h( f ) 2; |
h(g) 2; |
h(i) 3; |
h( j) 3; |
h(k) 3; |
h(l) 3; |
h(m) 3; |
h(n) 4; |
h(o) 4; |
h( p) 4; |
h(q) 4; |
Висота даного дерева: h 4. |
|
|
|
|
|
||
2.3. Повне m-арне дерево, у якого всі листки на одному рівні, називають
завершеним.
Перевіримо, чи є дане дерево повним. Дерево називають повним m -арним, якщо кожна його внутрішня вершина має точно m синів. У даному дереві внутрішні вершини a,b,c,d, g, j,m мають по 2 сини, в той час як вершина е – лише одного сина, тому дане дерево не є повним. Крім того, листок f має рівень 2, листки i, k,l - рівень 3, а листки n,o, p,q - рівень 4, тобто листки не знаходяться на одному рівні, а тому дане дерево не є завершеним.
2.4. Кореневе m-арне дерево з висотою h називають збалансованим, якщо всі його листки на рівнях h або h-1.
Оскільки висота дерева 4, а листки розмщені на 2, 3 і 4 рівнях, то задане дерево не є збалансованим.
R |
|
2.5. |
Існує три способи обходу дерев: |
|
|
1. |
Обхід у прямому порядку (preorder), або зверху |
|
|
вниз: R, А, В (корінь відвідують до обходу піддерев). |
|
|
|
2. |
Обхід у внутрішньому порядку (inorder), або зліва |
A |
B |
направо: A, R, В. |
|
3. Обхід у зворотному порядку (postorder), або знизу вверх: А, В, R (корінь відвідують після обходу піддерев).
Виконаємо обходи заданого дерева:
- Прямий: a,b,d,i, j,n,o,e,k,c, f , g,l,m, p,q; - Внутрішній: i,d,n, j,o,b,k,e,a, f ,c,l, g, p,m,q;
-Зворотній: i,n,o, j,d,k,e,b, f ,l, p,q,m, g,c,a;
2.6.Ексцентриситет вершини в некореневому дереві — це довжина найдовшого простого шляху, який починається в цій вершині. Вершину називають центром, якщо вона має найменший ексцентриситет.
Визначимо ексцентриситет кожної вершини даного дерева:
a(4)
b(5) c(5)
d(6) |
e(6) |
f(6) |
g(6) |
i(7) |
j(7) |
k(7) |
l(7) |
m(7) |
|
|
n(8) |
o(8) |
p(8) |
q(8) |
|
|
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
(a) 4, |
(b) 5, |
(c) 5, |
(d) 6, |
(e) 6, |
( f ) 6, |
(g) 6, |
(i) 7, |
( j) 7, |
(k) 7, |
(l) 7, |
(m) 7, |
(n) 8, |
(o) 8, |
( p) 8, |
(q) 8. |
Як бачимо, min (a) 4 , тобто вершина а – центр дерева.
Завдання 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Початок |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n - К-сть |
|
Задається значення змінної, яке |
||
|
|
|
вершин |
|
|||
|
|
|
позначає кількість вершин у графі |
||||
|
|
|
2 |
|
Задається значення лічильника, яке |
||
|
|
|
і := 1 |
||||
|
|
|
|
відповідає номеру рядка |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Виконується перевірка змінної і. Якщо |
||
|
|
|
|
|
значення більше кількості вершин, |
||
|
|
|
3 |
|
|
відбувається завершення роботи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ні |
i > n |
Так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j := 1 |
|
|
|
Задається значення лічильника, яке |
|
|
|
|
|
|
відповідає номеру стовпця |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Виконується перевірка змінної j. Якщо |
|
Так |
5 |
|
|
|
|
значення більше кількості вершин, |
|
|
Ні |
|
|
переходимо на новий рядок |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
j > n |
|
|
|
Перевіряється, чи існує хоча б одне |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Ні 7 |
|
|
ребро (дуга) між даними поточними |
||
|
|
Так |
|
вершинами. Якщо ні, переходимо до |
|||
6 |
|
V(j,i) != 0 |
|
|
наступної вершини |
||
i := i + 1; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
Задається значення лічильника k, який |
|
|
|
|
|
|
k := 0 |
перевіряє кількість ребер (дуг) між |
|
|
|
|
|
|
|
поточними вершинами |
|
|
|
|
Ні |
9 |
|
Так |
|
|
|
|
|
k < V(j,i) |
Записується |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
поточна пара |
|
|
|
|
|
|
“V”+i+”,V”+j |
вершин, якщо між |
|
|
|
|
|
|
ними існує ребро |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(дуга) |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
k := k + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
Перехід до |
|
|
|
|
|
|
j := j + 1; |
перевірки наступної |
|
|
|
|
|
|
|
вершини |
|
|
|
|
|
Кінець |
|
|
ВИСНОВКИ
Варто зазначити, що на практиці безліч елементарних логічних операцій є обов'язковою частиною набору інструкцій всіх сучасних мікропроцесорів і відповідно входить до мови програмування. Це є одним з найважливіших практичних додатків методів математичної логіки, що вивчаються в сучасних підручниках інформатики.
В основі теорії множин лежать первинні поняття: множина та елемент множини. Елемент множини перебуває щодо множини у відношенні бути елементом множини (позначається як x A[2] — «x є елемент множини A»).
Над множинами визначені наступні операції:
• |
об'єднання (або сума) (позначається як A B ); |
|
• |
перетин (або добуток) (позначається як A B ); |
|
• |
різниця (позначається як A \ B рідше A B ); |
|
• |
симетрична різниця (позначається як A B рідше |
A B ). |
• |
доповнення (позначається як \ A або A ); |
|
Комбінато́рика — розділ математики, присвячений розв'язанню задач вибору та розташування елементів деякої, зазвичай скінченної, множини відповідно до заданих правил. Найпростішими прикладами комбінаторних конфігурацій є перестановки, розміщення, комбінація та розбиття.
Комбінаторика пов'язана з багатьма іншими розділами математики.