Імплікація ( ) – має значення «хиба» тоді і тільки тоді, коли перший операнд має значення «істина», а другий – «хиба».
Логічна еквівалентність ( ) – має значення «істина», якщо обидва операнди мають однакове значення.
Отже, використовуючи описаний вище алгоритм, побудуємо таблицю
3 1 2 5 4
істинності для висловлення ( p (q r)) (q 1).
1.Кількість змінних 4, отже кількість рядків: 24+1=17
2.Кількість логічних операція 5, отже кількість стовпців: 4+5=9.
p |
q |
r |
l |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Завдання 19.
Досконала диз'юнктивна нормальна форма (ДДНФ) - це така диз'юнктивна нормальна форма, у якій в кожну кон'юнкцію входять всі змінні даного списку (або самі, або їх заперечення), причому в одному і тому ж порядку.
Алгоритм побудови ДДНФ:
1. Виберемо інтерпретації у яких значення істинності дорівнює 1.
2.Для кожної такої інтерпретації побудуємо кон’юнкцію атомів або їх заперечень: якщо значення атома хибне, то воно входить до кон'юнкції з запереченням, якщо ні – то без заперечення.
3.Запишемо диз'юнкцію отриманих кон'юнкцій.
Досконала кон'юнктивна нормальна форма (ДКНФ) – це така КНФ, у якої в кожну просту диз'юнкцію входять всі змінні даного списку (або самі, або їх заперечення), причому в однаковому порядку.
Алгоритм побудови ДКНФ:
1.Виберемо інтерпретації у яких значення істинності дорівнює 0.
2.Для кожної такої інтерпретації побудуємо диз’юнкцію атомів або їх заперечень: якщо значення атома хибне, то воно входить до диз'юнкції без заперечення, якщо ні – то з запереченням.
3.Запишемо кон'юнкцію отриманих диз'юнкцій.
Отже, використовуючи наведені вище алгоритми, побудуємо ДДНФ і ДКНФ для висловлення ((z y) x) ( y (x z)) .
За алгоритмом, наведеним у завданні 19, побудуємо таблицю істинності
3 |
1 |
4 |
7 |
|
6 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
для висловлення ((z y) x) ( y (x z)) , на основі якої будемо будувати |
||||||||||||
ДКНФ і ДДНФ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
z |
1 |
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
ДДНФ : (x y z ) (x y z) (x y z ) (x y z)(x y z ) (x y z) (x y z ) (x y z)
ДKНФ не існує, оскільки висловлення є стинним у всіх інтерпретаціях.
Завдання 20.
Поліном Жегалкіна — довільна формула алгебри Жегалкіна, яка має вигляд суми кон’юнкцій булевих змінних. Поліном був запропонований в 1927 році Жегалкіним Іваном Івановичом, для зручного представлення булевих функції алгебри логіки. В зарубіжній літературі представлення полінома Жегалкіна зазвичай називається алгебраїчною нормальною формою (АНФ). Якщо у кожний член поліному Жегалкіна кожна змінна входить один раз та поліном не містить однакових членів, то такий поліном Жегалкіна називається канонічним.
За допомогою логічних перетворень зведемо висловлення ((z y) x) ( y (x z)) до ДНФ та побудуємо логічну схему за отриманою формулою:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__________________ |
|
|
|
||||
((z y) x) ( y (x z)) a b a b ((z y ) x) ( y (x z)) |
|
|||||||||||||||||
|
_______ |
|
|
|
|
|
|
____________ |
|
|
a b (a b) (b a) |
|
||||||
|
a b a |
b |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z y) x y x z |
|
|
a a a |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a (b c) a b c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
__________________________ |
|
_______ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
((z y) ( y z)) x |
y z a b a b |
(z y) ( y z) x y z |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b a b |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
|
|
|
|
|
|
a b b a |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
_______ |
|
|
|
(z y) ( y z ) x y z |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b c a (b c) |
|
|
||||||
a b a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x z (z y) y ( y z ) a (a b) a x z y ( y z )
x |
y |
|
z |
- заперечення |
|
|
|
|
-x |
-y |
-z |
- кон’юнкція |
|
|
|
|
y OR z |
|
-y AND -z |
- диз’юнкція
y OR z OR (-y AND -z)
-x OR y OR z OR (-y AND -z)