Тема 2. Числові послідовності лекція 4

12. Означення числової послідовності.

13. Арифметичні дії з числовими послідовностями.

14. Обмежені і необмежені числові послідовності.

15. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.

16. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.

1. Означення числової послідовності

Числовою послідовністю називається відображення .

Отже, якщо кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число, то множина дійсних чисел

(1)

називається числовою послідовністю.

Числа називаються елементами (або членами) послідовності. Символназивається загальним елементом послідовності, айого номером. Скорочено послідовність (1) позначається так:. Наприклад,є послідовність.

Послідовність вважається заданою, якщо вказано правило, за яким кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число. Найчастіше числову послідовність задають формулою загального (го) члена послідовності:. Наприклад, формулазадає числову послідовність

Числову послідовність можна задати рекурентною формулою, тобто формулою, в якій указується правило, за котрим можна виразити наступний її член через попередні. Наприклад, арифметична прогресія з першим членом та різницеювизначається рекурентною формулою

або .

Рекурентною формулою

задається послідовність

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,

що відома в математиці як " ряд Фібоначчі", а її члени – як числа Фібоначчі. Ці числа мають ряд цікавих властивостей. Нині вони використовуються при обробці інформації на ЕОМ, при відшуканні оптимальних методів програмування тощо.

2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і.

Добутком послідовності на числоназивається послідовність, тобто

.

Сумою послідовностей іназивається послідовність:

;

різницею – послідовність :

;

добутком – послідовність :

;

часткою - послідовність :

; де .

2. Обмежені і необмежені числові послідовності

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує таке число, що для всіх її членіввиконується нерівність

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує таке число, що для всіх її членіввиконується нерівність

Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена зверху й знизу.

Нехай послідовність обмежена, тобто існують такі числаі, що для будь-якого її членавиконується нерівністьНехай. Тоді умову обмеженості послідовності можна записати так:.

Послідовність називається необмеженою, якщо для будь-якого числаіснує елементцієї послідовності, для якого виконується нерівність.

Зауваження. Необмежена послідовність може бути обмеженою зверху або знизу.

Приклади.

Послідовність обмежена знизу (), але не обмежена зверху.

Послідовність обмежена зверху (), але не обмежена знизу.

Послідовність обмежена зверху і знизу ().

Послідовність не обмежена.

4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.

Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого числа існує такий номер, що для всіх елементівіз номеромвиконується нерівність.

Зауваження.У наведеному означенні номерзалежить від числа, тобто.

Очевидно, що всяка нескінченно велика послідовність є необмеженою, проте не всяка необмежена послідовність є нескінченно великою. Наприклад, необмежена послідовність 0, 1, 0, 2, 0, 3, ..., n, 0, n+1, … не є нескінченно великою, оскільки не існує такого номера, щоб для всіх, девиконувалася б, наприклад, нерівність.

Послідовність називається нескінченно малою, якщо для будь-якого (як завгодно малого) числа існує такий номер , що для всіх елементівіз номером виконується нерівність .

Зауваження.У наведеному означенні номерзалежить від числа, тобто .

Приклад 1.Показати, що послідовність є нескінченно великою.

Нехай маємо довільне число . Із нерівностіабо.

Покладемо .

Тоді . Оскільки, то. Отже, привиконується нерівність.

Приклад 2.Показати, що послідовністьє нескінченно малою.

Нехай маємо довільне число . Із нерівностіодержуємо. Покладемо. Тоді для всіхмаємо, тобтоабо.

Теорема.Якщо-нескінченно велика послідовність і всі її члени відмінні від нуля, то послідовністьнескінченно мала, і, навпаки, якщо-нескінченно мала послідовність й, то послідовністьнескінченно велика.

Доведення. Нехай - нескінченно велика послідовність. Візьмемо довільне і покладемо. Оскількинескінченно велика послідовність, то для вказаногоіснує номертакий, що привиконується нерівність. Звідси маємо. Отже, послідовність- нескінченно мала.

Друга частина теореми доводиться аналогічно.