2. Деякі властивості дійсних чисел

Наведемо деякі властивості дійсних чисел.

1. Число є розв'язком рівняння .

Доведення. Підставимо в дане рівняння замість його значення:

.

Згідно з

Згідно з

Згідно з

Згідно з

Зауваження. Число називається різницею чиселтаі позначається. Зазначимо, що за умовирізниця. Дійсно, якщо, то заОдержуємо, далі заМаємо, тобто.

2. Число є розв'язком рівняння , якщо.

Доведення. Підставимо в дане рівняння значення : .

Згідно з .

Згідно з .

Згідно з .

Згідно з .

Зауваження. Число називається часткою чиселйі позначаєтьсяабо.

3. Якщо , то.

Дійсно, оскільки , то. Отже, за, звідки одержуємо.

Зокрема, якщо , то, а якщо, то.

Дійсно, згідно з , далі за. Отже,

0= − 0.

4. Якщо і, то.

Дійсно, якщо і, то за,. Далі згідно з.

5. Якщо та, то.

Дійсно, якщо , то згідно з і за 4 одержуємо: .

6. .

Це випливає з того, що .

7. .

Справді, .

8. .

Дана рівність доводиться так: .

8. .

Доведення:

Зокрема, .

8. Якщо і, то.

Дійсно, оскільки , то, а тому(згідно з). Отже,, а звідси.

8. Якщо та, то.

Справді, оскільки , то, а тому(згідно з). Отже,, а звідси маємо.

8. Якщо , то.

Це випливає з і 11.

За властивістю маємо:, тобто.

Надалі будемо використовувати й інші властивості дійсних чисел, не спиняючись на їх формальному доведенні.

Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.

Множину дійсних чисел позначатимемо буквою .

Питання для самостійного опрацювання

7. Поняття ізоморфізму.

8. Інтерпретація множини дійсних чисел.

9. Найбільш вживані числові множини.

10. Межі числових множин.

11. Абсолютна величина числа.

1. Поняття ізоморфізму

Нехай задані дві множини об'єктів і, причому в першій визначені деякі відношенняміж її об'єктами, а в другій – відношенняміж відповідно своїми об'єктами.

Множини із указаними на них відношеннях називаються ізоморфними (позначається), якщо між ними встановлено бієктивне відображення, при якому з наявності відношеннявипливає відношення, де.

Будь-яку множину об'єктів , ізоморфну множині, можна розглядати як "модель" множиниі зводити вивчення властивостей множинидо вивчення властивостей "моделі".

Нехай і− дві частково впорядковані множини і нехай. Якщо з умови, де, випливає нерівність, то говорять, що відображеннязберігає порядок.

Відображення є ізоморфізмом частково впорядкованих множинта, якщо воно бiєктивне, а співвідношення справджується тоді й тільки тоді, коли. Самі множиниіпри цьому ізоморфні.

2. Інтерпретація множини дійсних чисел

Розглянемо пряму з фіксованою точкою − початком координат. Нехай задана одиниця виміру. Тоді множину дійсних чисел можна поставити у взаємно однозначну відповідність із точками прямої: точці, яка лежить справа від точки, поставимо у відповідність число, рівне довжині відрізка. Тоді, яка лежить зліва від точки, число, де– довжина відрізка, а точці– число 0. Число, яке відповідає точці, називається координатою точки. Пряма з описаними властивостями називається числовою прямою. Отже, кожній точці числової прямої відповідає дійсне число – її координата. Має місце й обернене твердження: кожному дійсному числовівідповідає деяка точка числової прямої, а саме точка, координата якої. При так установленій відповідності між дійсними числами і точками прямої нерівністьрівносильна тому, що точка з координатоюлежить зліва від точки з координатою. Отже, можна говорити про ізоморфізм множини дійсних чисел і множини точок числової прямої, тобто що числова пряма є моделлю множини дійсних чисел.

Надалі, говорячи про дійсні числа, замість слова "число" іноді вживається слово "точка". У зв'язку з цим числові множини ще називають точковими.

Використовуючи аксіому неперервності множини дійсних чисел, можна встановити, що множина дійсних чисел, яка задовольняє умову , є незчисленною. Говорять, що ця множина має потужність континууму. Із цього випливає, що множина всіх дійсних чисел незчисленна. Можна також довести, що множина раціональних чисел зчисленна. Отже, множина ірраціональних чисел незчисленна, оскільки вона є множиною(якби множинаірраціональних чисел була зчисленною, то і множинабула б зчисленною, оскільки).