- •Министерство высшего и среднего
- •Указания к выполнению контрольных работ
- •Литература
- •Программа курса физики* введение
- •Основы механики
- •Колебания и волны
- •Элементы статистической и молекулярной физики
- •Элементы термодинамики
- •Электрические и магнитные явления
- •Электромагнитное излучение и оптика
- •Элементы учения о строении вещества
- •Раздел 1
- •Примеры решения задач
- •2.Молекулярная физика. Термодинамика Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •3.Электромагнитные явления (электростатика, постоянный ток) Основные законы и формулы
- •Примеры для решения задач
- •Контрольная работа 1
- •Раздел II
- •Примеры для решения задач
- •2.Оптика. Физика атома и атомного ядра Основные законы и формулы
- •Примеры для решения задач
- •Контрольная работа 2
- •Приложения
- •1.Основные физические постоянные (значения округленные)
- •2.Плотность жидкостей при 200с, кг/м3
- •Основные и дополнительные единицы Международной системы едениц
- •12.Важнейшие производные единицы си
- •13.Приставки для образования кратных и дольных единиц
- •14.Значения синусов и тангесов для углов 0-900
- •15.Соотношени единиц си с единицами других систем
- •16.Формулы прближения вычислений
- •Содержание
- •Раздел I.Механика. Молекулярная физика. Термодинамика.Электростат-
- •Раздел II/Электромагнитные явления (электродинамика). Оптика.
- •101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.
Примеры решения задач
Пример 1. У светофора трактор, движущийся равномерно со скоростью 18 км/ч, обогнал автомобиль, который из состояния покоя начал двигаться с ускорением а=1,25 м/с2. Определить: 1)на каком расстоянии от светофора автомобиль обгонит трактор; 2)скорость автомобиля при обгоне.
Решение.1. В начальной момент t=0 скорость автомобиля равна нулю, а скорость трактора ύт=18 км/ч. так как автомобиль движется равноускоренно, пройденный им путь выражается формулой
(1)
где а - ускорение автомобиля; t – время.
Если t – время, за которое автомобиль догонит трактор, то s – расстояние от светофора до места, где произойдет обгон.
За время t такой же путь s пройдет трактор, движущийся равномерно,
т. е.
S=ύтt, (2)
где ύт – скорость трактора.
Приравнивая правые части (1),(2). получаем
at2/2=ύтt, (3)
откуда
t=2ύt/a (3/)
Путь s, пройденный автомобилем от светофора до места обгона, получим по формуле (1), подставив вместо t выражение (3/ ):
(4)
Проверим формулу (4):
Выразим в СИ скорость трактора:
Вычислим искомое расстояние от светофора до места обгона:
2.Скорость автомобиля, движущегося равноускоренно, выражается формулой ύ=аt. При подстановке в нее выражения (3/ ) получим
Вычислим искомую скорость автомобиля:
ύ=2 5,0 м/с=10 м/с.
Пример 2. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массой m1=250г (рис. 1). Тело массой m2=400г подвешено на нити, перекинутой через блок и привязанной к телу m1. Пренебрегая массой блока и трением, определить: 1)силу натяжения нити; 2)ускорение тел.
Решение.1. на тело массой m2действуют сила тяжести Р2=m2g и сила натяжения Т нити.
рис.1.
Силы, направление которых совпадает с направлением ускорения, будем считать положительными. А силы, направление которых противоположно направлению ускорения, - отрицательными. Запишем второй закон Ньютона для тела массой m2:
m2g -T=m2a, (1)
где а – ускорение тела; g – ускорение свободного падения.
На тело массой m1 действуют сила тяжести Р1=m1g сила натяжения Т нити и сила реакции N стола. Силы N и P1 равны по модулю и противоположно направлены поэтому их равнодействующая равна нулю. Вследствие этого отсутствует вертикальное перемещение тела.
Второй закон Ньютона в скалярном виде для тела массой m1 имеет вид
Т=m1a (2)
Чтобы найти ускорение, подставим (2) в (1): m2g-m1a-m2a, или m2g=(m1+m2)a, откуда
a=m2g/(m1+m2). (3)
Выразим массу тел m1и m2 в единицах СИ: m1=0,25 кг и m2=0,40 кг.
Вычислим ускорение а по формуле (3):
2.силу натяжения нити найдем, подставив полученный результат в уравнение (2):
Т==1,51 Н.
Пример3. Тело массой m=1 кг вращается на тонком стержне в вертикальной плоскости. Частота вращения на тонком стержне в вертикальной плоскости. Частота вращения равна п=2с-1 длина стрежня R=1,25 см. Определить силу натяжения стержня: 1)в верхней и 2)в нижней точках.
Решение 1. На тело в верхней точке действуют сила тяжести Р=mg и сила натяжения Т стержня (рис.2). В результате действия двух сил тело движется по окружности, т. е. с центростремительным ускорением
(1)
где ω – угловая скорость; R – радиус траектории. Учитывая, что ω=2πn, можем записать
, (2)
Направление сил Т1 и Р совпадает с вектором , поэтому второй закон Ньютона запишем в скалярном виде:
Т1+mg=m , (3)
или с учетом (2)
Т1+mg=4mπ2п2R, (4)
Откуда
Т1=m(4π2п2R-g). (5)
Выразим в СИ числовые значения R и g: R=0,125 м, g=9,81м/с2.
Вычислим по формуле (5) искомую силу натяжения стержня в верхней точке траектории:
Т1=1(4·3,142·22·0,125-9,81)Н=9,93 Н.
2.В нижней точке траектории на тело действуют (рис. 3) те же силы Р=mg и Т2. Однако сила Р в данном случае направлена противоположно вектору ац.с в связи с этим второй закон Ньютона имеет вид
откуда Т2=m(g+4π2п2R).
После подстановки имеем
Т2=1(9,81+4·3,142·22·0,125)Н=29,55 Н.
Пример 4.Подъемный кран за время t=6ч поднимает строительные материалы массой m=3000т на высоту h=15м. Определить мощность двигателя подъемного крана, если его коэффициент полезного действия =0,8.
Решение. Подъемный кран. Поднимая груз на высоту h, увеличивает его потенциальную энергию. Работа А, совершаемая двигателем подъемного крана, идет на подъем груза и на работу против сил трения в механизмах. Полезная работа двигателя равна увеличению потенциальной энергии груза:
=mgh,
где g – ускорение свободного падения.
Коэффициент полезного действия равен отношению полезной мощности ко всей потребляемой мощностиN:
ή=/N. (1)
Учитывая, что =/t=mgh/t, запишем выражение (1) в виде
ή=mgh /(Nt).
Мощность двигателя равна
N=mgh /(ήt). (2)
Проверим формулу (2):
Выпишем в СИ числовые значения величин, входящих в (2):
m=3·106кг, g=9,8 м/с2, t=2,16·104c.
Вычислим искомую мощность двигателя:
Пример 5. Тело массой m=200г прикреплено к нити и вращается по
окружности радиусом R1=80 см с постоянной линейной скоростью ύ1=150 см/с. при вращении нить укорачивается на длину l=30 см. Определить: 1) установившуюся скорость вращения; 2) частоту вращения.
Решение.1. При равномерном вращении тела уменьшение длины нити создается силой F, направленной вдоль радиуса R1. Плечо R этой силы равно нулю; следовательно, момент силы M=FR также равен нулю. Вращение тела, свободного от действия моментов сил, подчиняется закону сохранения момента импульса:
Ј1 1=Ј22, (1)
где Ј1 и ω1 – момент инерции и угловая скорость тела в начальный момент времени; Ј2 и ω2 – то же, в конечный момент времени.
Следовательно, начальный момент импульса Ј1ω1 равен моменту импульса Ј2ω2 тела после укорачивания нити. Считая, что тело представляет собой материальную точку, определим его момент инерции:
Ј=mR2, (2)
где R – радиус окружности, по которой вращается тело.
Угловую скорость выразим через линейную:
ω = ύ /R (3)
Для начального момента времени по формулам (2) и (3) получим
Ј1=m, ω1=ύ1/R1. (4)
После укорачивания нити
Ј2=m, ω2= /R2. (5)
Подставляя в (1) выражения (4) и (5), получаем
После преобразований с учетом того, что R2=R1-l, окончательно имеем
ύ1R1 = ύ2 (R1-l), откуда
(6)
ύ2 =ύ1R1 / (R1-l).
Проверим расчетную формулу (6):
Выразим числовые значения величин в СИ: ύ1=1,50 м/с, R1=0,80 м, l=0,30 м.
Вычислим искомую конечную скорость:
2.Для определения частоты вращения п2 после укорачивания нити воспользуемся формулами ω2=ύ2/R2=ύ2/(R1-l) и ω2=2πп2. Приравнивая их правые части, получаем 2πп2 =ύ2(R1-l), откуда
(7)
Проверим формулу (7):
Вычислим искомую конечную частоту вращения:
Пример 6. Диск, катившийся со скоростью ύ1 = 3 м/с, ударился о стену и покатился назад со скоростью ύ2 =2 м/с. Масса диска равна m = 3 кг. Определить уменьшение кинетической энергии диска.
Решение. Кинетическая энергия диска равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:
Е= (1)
здесь =mύ2/2; =Јω2/2, где m – масса диска; ύ – скорость поступательного движения; Ј=mR2/2 –момент инерции диска; ω = ύ/R – угловая скорость диска; R – радиус окружности диска.
Подставив в (1) выражения для ,, Ј и ω, получим
(2)
Выражение (2) можно использовать для записи полной кинетической энергии Е1 до удара о стену и полной кинетической энергии Е2 после взаимодействия со стеной:
Разность кинетических энергий
Подставив данные задачи, вычислим искомую разность энергий:
Знак минус показывает, что произошло уменьшение кинетической энергии диска.
Пример 7. Точка совершает гармонические колебания согласно уравнению . Определить скорость и ускорение точки через 1/6 с от начала колебаний.
Решение. Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде:
х=А sin ωt, (1)
где х – смещение точки; А – амплитуда; ω – круговая частота; t – время.
По определению, скорость равна производной от смещения по времени:
(2)
Подставив (1) в (2), продифференцируем полученное выражение:
(3)
По определению, ускорение равно производной от скорости по времени:
(4)
Подставив (3)в (4), продифференцируем полученное выражение:
(5)
Из сравнения уравнения и формулы (1) видно, что А=0,1 м, ω=πс-1. По формулам (3) и (5) вычислим скорость и ускорение:
(6)
Проверим формулы (6):
вычислим искомые скорость и ускорение точки:
ύ=0,1·3,14 cos(π/6) м/с=0,272 м/с,
а=-0,1·3,142 sin(π/6) м/с2=-0,492 м/с2.