Примеры решения задач

Пример 1. Материальная точка движется по прямой. Уравнение ее движения . Определить мгновенную скорость и ускорение точки в конце второй секунды от начала движения, среднюю скорость и путь, пройденный за это время.

Решение. Мгновенная скорость – это первая производная от пути по времени:

.

Мгновенное ускорение – это первая производная от скорости по времени:

.

Средняя скорость точки за времяопределяется по формуле

.

Так как , то.

Путь, пройденный точкой за время с, будет равен

.

Ответ: ,,,.

Пример 2. Тело движется вниз равноускоренно по наклонной плоскости, и зависимость пройденного пути от времени задается уравнением . Найти коэффициент трения тела о плоскость, если угол наклона плоскости к горизонту равен 30^о.

Решение. Коэффициент трения определяет силу трения при движении тел. Для нахождениярассмотрим, под действием каких сил находится тело. В данном случае на тело действуют силы: сила тяжести, сила реакции опорыи сила трения.

Рисунок 1

Выберем систему координат так, чтобы ось ОХ была параллельна наклонной плоскости (рисунок 1). Тогда согласно второму закону Ньютона, запишем проекции сил на оси:

на OY: ; на ОХ:.

Преобразовывая это выражение, можно найти коэффициент трения :

.

Определим величину ускорения :

.

Подставив в формулу для численные значения входящих в нее величин, получим коэффициент трения:

.

Ответ: .

Пример 3. Металлический шарик массой 5 г падает с высоты 1 м на горизонтальную поверхность стола и, отразившись от нее, поднимается на высоту 0,8 м. Определить среднюю силу удара, если соприкосновение шарика со столом длилось 0,01 с.

Решение. Импульс силы за время, с которым шарик воздействует на поверхность, равен. Этот импульс силы будет равен изменению импульса шарика, гдемасса шарика,скорость, с которой шарик опустился на поверхность стола,скорость, с которой шарик отскочил от поверхности стола. Знак «-» означает, что скоростиинаправлены противоположно.

При свободном падении тела с высоты его скорость на уровнеопределяется по формуле.

Таким образом, ,, откуда

.

Ответ: .

Пример 4. Зависимость угла поворота от времени для точки, лежащей на ободе колоса радиуса , задается уравнением. К концу третьей секунды эта точка получила нормальное ускорение, равное 153 м/с². Определить радиус колеса.

Решение. Для определения радиуса колеса воспользуемся формулой связи нормального ускорения с угловой скоростью:

.

Отсюда . Угловую скорость найдем, как первую производную от угла поворота по времени:

.

Численное значение угловой скорости в конце третьей секунды найдем. Подставив в полученное уравнение для время.

Радиус колеса равен .

Ответ: .

Пример 5. Горизонтальная платформа массой кг и радиусомм вращается с частотойоб/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от докг м²? Считать платформу однородным диском.

(1)

Решение. Момент инерции платформы с человеком складывается из момента инерции пустой платформы и момента инерции человека. В начальном положении

,

а когда человек опустил руки

,

где

.

По закону сохранения момента импульса

,

где

, .

Тогда

,

откуда

(2)

.

Решая совместно (1) и (2), получим:

,

откуда .

Ответ: .

Пример 6. Два свинцовых шарика диаметрами 1 и 2 мм опускают в сосуд с глицерином высотой 0,5 м. Считая, что скорость шариков сразу становится в равномерной, определить, на сколько раньше и какой из шариков достигнет дна сосуда.

Решение. На каждый из шариков, опускающийся в жидкости, действуют три силы – сила тяжести ; сила внутреннего трения (вязкость), определяемая по формуле Стокса и выталкивающая сила – сила Архимеда.

Если скорость опускания шариков постоянна, то время опусканиябудет равно:

.

Для шариков, опускающихся в глицерин, выполняется условие

.

Учитывая, что , получим выражение для:

.

Так как ,,, то

.

Найдем время опускания каждого шарика:

,

.

Учитывая, что , делаем вывод, что шарик меньшего диаметра будет опускаться медленнее.

Ответ: шарик большего диаметра достигнет дна сосуда быстрее на 41,64 с.

Пример 7. Ракета движется с большой относительной скоростью. Релятивистское сокращение ее дины составило 15 %. Найти скорость ракеты.

Решение. В системе координат, относительно которой ракета покоится, ее длина равна . В системе координат, относительно которой ракета и связанная с ней система движутся со скоростью, – равна. Эти длины связаны соотношением

, откуда .

По условию задачи:

; ;;;

; ;.

Получили, что

.

Ответ: .

Таблица вариантов

Номер студента по списку	Номера задач
1, 11, 21, 31 2, 12, 22, 32 3, 13, 23, 33 4, 14, 24, 34 5, 15, 25, 35 6, 16, 26, 36 7, 17. 27, 37 8, 18, 28, 38 9, 19, 29, 39 10, 20, 30, 40	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	31 32 33 34 35 36 37 38 39 40	41 42 43 44 45 46 47 48 49 50	51 52 53 54 55 56 57 58 59 60	61 62 63 64 65 66 67 68 69 70